1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 讲 空间图形的基本关系与公理 一、选择题 1 (2015 湖北卷 )l1， l2表示空间中的两条直线，若 p： l1， l2是异面直线； q： l1， l2不相交，则 ( ) A p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 B p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 C p 是 q 的充分必要条件 D p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 解析 直线 l1， l2是异面直线，一定有 l1与 l2不相交，因此 p 是 q 的充分条件；若 l1与 l2不相交，那么 l1与 l2可能平行，也可能是异面直线，所以 p 不是 q 的必要
2、条件故选 A. 答案 A 2 (2017 郑州联考 )已知直线 a 和平面 ， ， l， a ， a ，且 a 在 ， 内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是 ( ) A相交或平行 B相交或异面 C平行或异面 D相交、平行或异面 解析 依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面，选 D. 答案 D 3给出下列说法： 梯形的四个顶点共面； 三条平行直线共面； 有三个公共点的两个平面重合； 三条直线两两相交，可以确定 1 个或 3 个平面其中正确的序号是 ( ) A B C D 解析 显然命题 正确 由于三棱柱的三条平行棱不共面， 错 命题 中，两个平面重
3、合或相交， 错 三条直线两两相交，可确定 1 个或 3 个平面，则命题 正确 答案 B 4 (2017 安庆模拟 )a， b， c 是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是 ( ) A若直线 a， b 异面， b， c 异面，则 a， c 异面 =【 ;精品教育资源文库 】 = B若直线 a， b 相交， b， c 相交，则 a， c 相交 C若 a b，则 a， b 与 c 所成的角相等 D若 a b， b c，则 a c 解析 若直线 a， b 异面， b， c 异面，则 a， c 相交、平行或异面；若 a， b 相交， b， c相 交，则 a， c 相交、平行或异面；若 a b，
4、b c，则 a， c 相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知 C 正确故选 C. 答案 C 5已知正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别为 BB1， CC1的中点，那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为 ( ) A.45 B.35 C.23 D.57 解析 连接 DF，则 AE DF， D1FD 为异面直线 AE 与 D1F 所成的角 设正方体棱长为 a， 则 D1D a， DF 52 a， D1F 52 a， cos D1FD ? ?52 a 2 ? ?52 a 2 a22 52 a 52 a 35. 答案 B 二、填空题 6.如图，在正方体 ABCD A1B
5、1C1D1中， M， N 分别为棱 C1D1， C1C 的中点，有以下四个结论： 直 线 AM 与 CC1是相交直线； 直线 AM 与 BN 是平行直线； =【 ;精品教育资源文库 】 = 直线 BN 与 MB1是异面直线； 直线 MN 与 AC 所成的角为 60. 其中正确的结论为 _(填序号 ) 解析 A， M， C1三点共面，且在平面 AD1C1B 中，但 C?平面 AD1C1B， C1?AM，因此直线 AM与 CC1是异面直线，同理 AM 与 BN 也是异面直线， 错； M， B， B1三点共面，且在平面 MBB1中，但 N?平面 MBB1， B?MB1，因此直线 BN 与 MB1是异
6、面直线， 正确；连接 D1C，因为 D1C MN，所以直线 MN 与 AC 所成的角就是 D1C 与 AC 所成的角，且角为 60. 答案 7如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上，且 AB CD，则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 _ 解析 取 CD 的中点 H，连接 EH， FH.在正四面体 CDEF 中，由于 CD EH， CD HF，且 EH FH H，所以 CD 平面 EFH，所以 AB 平面 EFH，则平面 EFH 与正方体的左右两侧面平行，则 EF 也与之平行，与其余四个平面相交 答案 4 8 (2014 全国 卷改编 )直三棱柱 ABC A1B1
7、C1 中， BCA 90 ， M， N 分别 是 A1B1， A1C1的中点， BC CA CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为 _ 解析 如图所示， 取 BC 中点 D，连接 MN， ND， AD. M， N 分别是 A1B1， A1C1的中点， MN 綊 12B1C1.又 BD 綊 12B1C1， MN 綊 BD，则四边形 BDNM 为平行四边形，因此 ND BM， AND 为异面直线 BM 与 AN 所成的角 (或其补角 ) 设 BC 2，则 BM ND 6， AN 5， AD 5， 在 ADN 中，由余弦定理得 =【 ;精品教育资源文库 】 = cos AND ND2 AN2
8、AD22ND AN 3010 . 故异面直线 BM 与 AN 所成角的余弦值为 3010 . 答案 3010 三、解答题 9.如图所示，正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N 分别是 A1B1， B1C1的中点问： (1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由； (2)D1B 和 CC1是否是异面直线？说明理由 解 (1)AM， CN 不是异面直线理由：连接 MN， A1C1， AC. 因为 M， N 分别是 A1B1， B1C1的中点，所以 MN A1C1. 又因为 A1A 綊 C1C，所以四边形 A1ACC1为平行四边形， 所以 A1C1 AC，所以 MN AC， 所以 A，
9、M， N， C 在同一平面内， 故 AM 和 CN 不是异面直线 (2)直线 D1B 和 CC1是异面直线 理由：因为 ABCD A1B1C1D1是正方体，所以 B， C， C1， D1不共面假设 D1B 与 CC1不是异面直线， 则存在平面 ，使 D1B 平面 ， CC1 平面 ， 所以 D1， B， C， C1 ， 这与 B， C， C1， D1不共面矛盾所以假设不 成立， 即 D1B 和 CC1是异面直线 10 (2017 咸阳中学月考 )如图所示，在三棱锥 P ABC 中， PA 底面 ABC， D 是 PC 的中点 =【 ;精品教育资源文库 】 = 已知 BAC 2 ， AB 2，
10、AC 2 3， PA 2.求： (1)三棱锥 P ABC 的体积； (2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值 解 (1)S ABC 1222 3 2 3， 三棱锥 P ABC 的体积为 V 13S ABC PA 132 32 43 3. (2) 如图，取 PB 的中点 E，连接 DE， AE，则 ED BC，所以 ADE 是异面直线 BC 与 AD 所成的角 (或其补角 ) 在 ADE 中， DE 2， AE 2， AD 2， cos ADE 22 22 2222 34. 故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 34. 11以下四个命题中， 不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若
11、点 A， B， C， D 共面，点 A， B， C， E 共面，则点 A， B， C， D， E 共面； 若直线 a， b 共面，直线 a， c 共面，则直线 b， c 共面； 依次首尾相接的四条线段必共面 正确命题的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析 假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不=【 ;精品教育资源文库 】 = 共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以 正确 从条件看出两平面有三个公共点 A，B， C，但是若 A， B， C 共线，则结论不正确； 不正确； 不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形 答案 B 1
12、2若空间中四条 两两不同的直线 l1， l2， l3， l4，满足 l1 l2， l2 l3， l3 l4，则下列结论一定正确的是 ( ) A l1 l4 B l1 l4 C l1与 l4既不垂直也不平行 D l1与 l4的位置关系不确定 解析 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，记 l1 DD1， l2 DC， l3 DA.若 l4 AA1，满足 l1 l2，l2 l3， l3 l4，此时 l1 l4，可以排除选项 A 和 C. 若取 C1D 为 l4，则 l1与 l4相交；若取 BA 为 l4，则 l1与 l4异面；取 C1D1为 l4，则 l1与 l4相交且垂直 因此 l1与
13、l4的位置关系不能确定 答案 D 13如图，正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所在的平面互相垂直，且 AC BC 2， ACB 90 ， F， G 分别是线段 AE， BC 的中点，则 AD 与 GF 所成的角的余弦值为 _ 解析 取 =【 ;精品教育资源文库 】 = DE 的中点 H，连接 HF， GH.由题设， HF 綊 12AD. GFH 为异面直线 AD 与 GF 所成的角 (或其补角 ) 在 GHF 中，可求 HF 2， GF GH 6， cos HFG 2 6 62 2 6 36 . 答案 36 14.如图，在四棱锥 O ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方
14、形， OA 底面 ABCD， OA 2，M 为 OA 的中点 (1)求四棱锥 O ABCD 的体积； (2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值 解 (1)由已知可求得正方形 ABCD 的面积 S 4， 所以四棱锥 O ABCD 的体积 V 1342 83. (2)如图，连接 AC，设线段 AC 的中点为 E，连接 ME， DE，又 M 为 OA 中点， ME OC， 则 EMD(或其补角 )为异面直线 OC 与 MD 所成的角，由已知可得 DE 2， EM 3， MD 5， ( 2)2 ( 3)2 ( 5)2， DEM 为直角三角形， tan EMD DEEM 23 63 . 异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值为 63 .
