1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 9.3 圆的方程 最新考纲 考情考向分析 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程 . 以考查圆的方程，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现 . 圆的定义与方程 定义 平面内到 定点 的距离等于 定长 的点的轨迹叫作圆 方程 标准式 (x a)2 (y b)2 r2(r0) 圆心为 (a， b) 半径为 r 一般式 x2 y2 Dx Ey F 0 充要条件： D2 E2 4F0 圆 心坐标： ? ? D2， E2 半径 r 12 D2 E2 4F 知识拓展 1
2、确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程 (2)根据条件列出关于 a， b， r 或 D， E， F 的方程组 (3)解出 a， b， r 或 D， E， F 代入标准方程或一般方程 2点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种 已知圆的标准方程 (x a)2 (y b)2 r2，点 M(x0， y0) (1)点在圆上： (x0 a)2 (y0 b)2 r2； (2)点在圆外： (x0 a)2 (y0 b)2r2； =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)点在圆内： (x0 a)2 (y0 b)20.( ) (4)方程 x2
3、2ax y2 0 一定表示圆 ( ) (5)若点 M(x0， y0)在圆 x2 y2 Dx Ey F 0 外，则 x20 y20 Dx0 Ey0 F 0.( ) (6)方程 (x a)2 (y b)2 t2(t R)表示圆心为 (a， b)，半径为 t 的圆 ( ) 题组二 教材改编 2以点 (3， 1)为圆心，并且与直线 3x 4y 0 相切的圆的方程是 ( ) A (x 3)2 (y 1)2 1 B (x 3)2 (y 1)2 1 C (x 3)2 (y 1)2 1 D (x 3)2 (y 1)2 1 答案 A 3圆 C 的圆心在 x 轴上，并且过点 A( 1,1)和 B(1,3)，则圆
4、C 的方程为 _ 答案 (x 2)2 y2 10 解析 设圆心坐标为 C(a,0)， 点 A( 1,1)和 B(1,3)在圆 C 上， | CA| |CB|， 即 ?a 1?2 1 ?a 1?2 9， 解得 a 2， 圆心为 C(2,0)， 半径 |CA| ?2 1?2 1 10， 圆 C 的方程为 (x 2)2 y2 10. 题组三 易错自纠 4点 (m2,5)与圆 x2 y2 24 的位置关系是 ( ) A点在圆外 B点在圆内 C点在圆上 D不能确定 答案 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 将点 (m2， 5)代入圆方程，得 m4 2524.故点在圆外，故选 A. 5若 x2 y
5、2 4x 2y 5k 0 表示圆，则实数 k 的取值范围是 ( ) A R B ( ， 1) C ( ， 1 D 1， ) 答案 B 解析 由方 程 x2 y2 4x 2y 5k 0 可得 (x 2)2 (y 1)2 5 5k，此方程表示圆，则 5 5k0，解得 k0)，又圆与直线 4x 3y 0相切， |4a 3|5 1，解得 a 2 或 a 12(舍去 ) 圆的标准方程为 (x 2)2 (y 1)2 1.故选 A. 题型一 圆的方程 典例 (1)(2018 届黑龙江伊春市第二中学月考 )过点 A(1， 1)， B( 1， 1)，且圆心在 x y 2 0 上的圆的方程是 ( ) A (x 3
6、)2 (y 1)2 4 B (x 3)2 (y 1)2 4 C (x 1)2 (y 1)2 4 D (x 1)2 (y 1)2 4 答案 C 解析 AB 的中垂线方程为 y x，所以由 y x， x y 2 0 的交点得圆心 (1,1)，半径为 2， 因此圆的方程是 (x 1)2 (y 1)2 4，故选 C. (2)已知圆 C 经过 P( 2,4)， Q(3， 1)两点，且在 x 轴上截得的弦长等于 6，则圆 C 的方程为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 x2 y2 2x 4y 8 0 或 x2 y2 6x 8y 0 解析 设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2
7、4F0)， 将 P， Q 两点的坐标分别代入得 ? 2D 4E F 20， 3D E F 10. 又令 y 0，得 x2 Dx F 0. 设 x1， x2是方程 的两根， 由 |x1 x2| 6，即 (x1 x2)2 4x1x2 36， 得 D2 4F 36， 由 解得 D 2， E 4， F 8 或 D 6， E 8， F 0. 故所求圆的方程为 x2 y2 2x 4y 8 0 或 x2 y2 6x 8y 0. 思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程 (2)待定系数法 若已知条件与圆心 (a， b)和 半径 r 有关，则设圆的标准方程，求出 a， b， r 的值； 选择圆的
8、一般方程，依据已知条件列出关于 D， E， F 的方程组，进而求出 D， E， F 的值 跟踪训练 (2017 广东七校联考 )一个圆与 y 轴相切，圆心在直线 x 3y 0 上，且在直线 y x 上截得的弦长为 2 7，则该圆的方程为 _ 答案 x2 y2 6x 2y 1 0 或 x2 y2 6x 2y 1 0 解析 方法一 所求圆的圆心在直线 x 3y 0 上， 设所求圆的圆心为 (3a， a)， 又所求圆与 y 轴相切， 半 径 r 3|a|， 又所求圆在直线 y x 上截得的弦长为 2 7，圆心 (3a， a)到直线 y x 的距离 d |2a|2 ， d2 ( 7)2 r2，即 2a
9、2 7 9a2， a 1. 故所求圆的方程为 (x 3)2 (y 1)2 9 或 (x 3)2 (y 1)2 9，即 x2 y2 6x 2y 1 0或 x2 y2 6x 2y 1 0. 方法二 设所求圆的方程为 (x a)2 (y b)2 r2， 则圆心 (a， b)到直线 y x 的距离为 |a b|2 ， r2 ?a b?22 7，即 2r2 (a b)2 14. 由于所求圆与 y 轴相切， r2 a2， 又 所求圆的圆心在直线 x 3y 0 上， a 3b 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 联立 ，解得? a 3，b 1，r2 9或? a 3，b 1，r2 9.故所求圆的方程为 (
10、x 3)2 (y 1)2 9 或 (x 3)2 (y 1)2 9，即 x2 y2 6x 2y 1 0或 x2 y2 6x 2y 1 0. 方法三 设所求圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0，则圆心坐标为 ? ? D2， E2 ， 半径 r 12 D2 E2 4F. 在圆的方程中，令 x 0，得 y2 Ey F 0. 由于所求圆与 y 轴相切， 0，则 E2 4F. 圆心 ? ? D2， E2 到直线 y x 的距离为 d ? ? D2 E22 ， 由已知得 d2 ( 7)2 r2， 即 (D E)2 56 2(D2 E2 4F) 又圆心 ? ? D2， E2 在直线 x 3y 0 上，
11、D 3E 0. 联立 ，解得? D 6，E 2，F 1或? D 6，E 2，F 1.故所求圆的方程为 x2 y2 6x 2y 1 0 或 x2 y2 6x 2y 1 0. 题型二 与圆有关的最值问题 典例 已知点 (x， y)在圆 (x 2)2 (y 3)2 1 上，求 x y 的最大值和最小值 解 设 t x y，则 y x t， t 可视为直线 y x t 在 y 轴上的截距， x y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在 y 轴上的截距 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即 |2 ? 3? t|2 1， 解得 t 2 1 或 t
12、2 1. x y 的最大值为 2 1，最小值为 2 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 引申探究 1在本例的条件下，求 yx的最大值和最小值 解 yx可视为点 (x， y)与原点连线的斜率， yx的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率 设过原点的直线的方程为 y kx，由直线与 圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即 |2k 3|k2 1 1，解得 k 2 2 33 或 k 2 2 33 ， yx的最大值为 2 2 33 ，最小值为 2 2 33 . 2在本例的条件下，求 x2 y2 2x 4y 5的最大值和最小值 解 x2 y2 2x
13、4y 5 ?x 1?2 ?y 2?2，求它的最值可视 为求点 (x， y)到定点 ( 1,2)的距离的最值，可转化为求圆心 (2， 3)到定点 ( 1,2)的距离与半径的和或差又圆心到定点 ( 1,2)的距离为 34， x2 y2 2x 4y 5的最大值为 34 1，最小值为 34 1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解 (2)与圆上点 (x， y)有关代数式的最值的常见类型及解法 形如 u y bx a型的最值问题，可转化为过点 (a， b)和点 (x， y)的直线的斜率的最
14、值问题； 形如 t ax by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题； 形如 (x a)2 (y b)2型的最值问题，可转化为动点到定点 (a， b)的距离的平方的最值问题 跟踪训练 已知点 P(x， y)在圆 C： x2 y2 6x 6y 14 0 上 (1)求 yx的最大值和最小值； (2)求 x y 的最大值与最小值 解 (1)方程 x2 y2 6x 6y 14 0 可变形为 (x 3)2 (y 3)2 4. yx表示圆上的点 P 与原点连线的斜率，显然当 PO(O 为原点 )与圆相切时，斜率最大或最小，如图 所示 =【 ;精品教育资源文库 】 = 设切线方程为 y kx，即 kx y 0， 由圆心 C(3,3)到切线的距离等于半径 2， 可得 |3k 3|k2 1 2， 解得 k 92 145 ， 所以 yx的最大值为 9 2 145 ，最小值为 9 2 145 . (2)设 x y b，则 b 表示动直线 y x b 在 y 轴上的截距，显然当动直线 y x b 与圆 (x 3)2 (y 3)2 4 相切时， b 取得最大值或最小值，如图 所示 由圆心 C(3,3)到切线 x y b 的距离等于圆的半径 2，可得 |3 3 b|12 12 2，即 |b 6| 2 2，解得 b 62 2， 所以 x y 的最大值为 6 2
