1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 6 讲 抛物线 一、选择题 1.(2016 全国 卷 )设 F 为抛物线 C： y2 4x 的焦点 ， 曲线 y kx(k0)与 C 交于点 P， PF x 轴 ， 则 k ( ) A.12 B.1 C.32 D.2 解析 由题可知抛物线的焦点坐标为 (1， 0)， 由 PF x 轴知 ， |PF| 2， 所以 P 点的坐标为 (1， 2). 代入曲线 y kx(k0)得 k 2， 故选 D. 答案 D 2.点 M(5， 3)到抛物线 y ax2(a0) 的准线的距离为 6， 那么 抛物线的方程是 ( ) A.y 12x2 B.y 12x2或 y 36x2
2、 C.y 36x2 D.y 112x2或 y 136x2 解析 分两类 a0， a0)的焦点为 F， 其准线 与双曲线 y2 x2 1 相交于 A， B 两点 ， 若 ABF 为等边三角形 ， 则 p _. 解析 y2 2px 的准线为 x p2.由于 ABF 为等边三角形 .因此不妨设 A? ? p2， p3 ，B? ? p2， p3 ， 又点 A， B 在双曲线 y2 x2 1 上 ， 从而 p23p24 1， 所以 p 2 3. 答案 2 3 三、解答题 9.(2016 江苏卷 )如图 ， 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 已知直 线 l： x y 2 0， 抛物线 C： y2 2px(
3、p 0). (1)若直线 l 过抛物线 C 的焦点 ， 求抛物线 C 的方程； (2)已知抛物线 C 上存 在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q. 求证：线段 PQ 的中点坐标为 (2 p， p)； 求 p 的取值范围 . (1)解 l： x y 2 0， l 与 x 轴的交点坐标为 (2， 0). 即抛物线的焦点为 (2， 0)， p2 2， p 4. 抛物线 C 的方程为 y2 8x. (2) 证明 设点 P(x1， y1)， Q(x2， y2). 则?y21 2px1，y22 2px2， 则 ?x1 y212p，x2 y222p， kPQ y1 y2y212py222p 2py1
4、y2， 又 P， Q 关于 l 对称 . kPQ 1， 即 y1 y2 2p， y1 y22 p， 又 PQ 的中点一定在 l 上 ， x1 x22 y1 y22 2 2 p. 线段 PQ 的中点坐标为 (2 p， p). 解 PQ 的中点为 (2 p， p)， =【 ;精品教育资源文库 】 = ?y1 y2 2p，x1 x2 y21 y222p 4 2p，即?y1 y2 2p，y21 y22 8p 4p2， ?y1 y2 2p，y1y2 4p2 4p， 即关于 y 的方程 y2 2py 4p2 4p 0， 有两个不等实根 . 0. 即 (2p)2 4(4p2 4p) 0， 解得 0 p 43
5、， 故所求 p 的范围为 ? ?0， 43 . 10.已知抛物线 y2 2px(p0)的焦点为 F， A(x1， y1)， B(x2， y2)是过 F 的直线与抛物线的两个交点 ， 求证： (1)y1y2 p2， x1x2 p24； (2) 1|AF| 1|BF|为定值； (3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 . 证明 (1)由已知得抛物线焦点 坐标为 (p2， 0). 由题意可设直线方程为 x my p2， 代入 y2 2px， 得 y2 2p(my p2)， 即 y2 2pmy p2 0.(*) 则 y1， y2是方程 (*)的两个实数根 ， 所 以 y1y2 p2. 因为 y21
6、 2px1， y22 2px2， 所以 y21y22 4p2x1x2， 所以 x1x2 y21y224p2p44p2p24. (2) 1|AF| 1|BF| 1x1 p2 1x2 p2 x1 x2 px1x2 p2（ x1 x2） p24. 因为 x1x2 p24， x1 x2 |AB| p， 代入上式 ， 得 1|AF| 1|BF| |AB|p24p2（ |AB| p）p24 2p(定值 ). =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)设 AB 的中点为 M(x0， y0)， 分别过 A， B 作准线的垂线 ， 垂足为 C， D，过 M 作准线的垂线 ， 垂足为 N， 则 |MN| 12(|A
7、C| |BD|) 12(|AF| |BF|)12|AB|. 所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 . 11.(2017 汉中 模拟 )已知抛物线 y2 2px(p0)的焦点弦 AB的两端点坐标分别为 A(x1， y1)，B(x2， y2)， 则 y1y2x1x2的值一定等于 ( ) A. 4 B.4 C.p2 D. p2 解析 若焦点弦 AB x 轴 ， 则 x1 x2 p2， 则 x1x2 p24； 若焦点弦 AB 不垂直于 x 轴 ， 可设 AB： y k(x p2)， 联立 y2 2px 得 k2x2 (k2p 2p)x p2k24 0， 则 x1x2 p24.又 y21 2px1
8、， y22 2px2， y21y22 4p2x1x2 p4， 又 y1y2 0， y1y2 p2. 故 y1y2x1x2 4. 答案 A 12.(2016 四川卷 )设 O 为坐标原点 ， P 是以 F 为焦点的抛物线 y2 2px(p0)上任意一点 ，M 是线段 PF 上的点 ， 且 |PM| 2|MF|， 则直线 OM 的斜率的最大值为 ( ) A. 33 B.23 C. 22 D.1 解析 如图 ， 由题可知 F? ?p2， 0 ， 设 P 点坐标为 ? ?y202p， y0 (y0 0)， 则 OM OF FM OF 13FP OF 13(OP OF ) 13OP 23OF ? ?y2
9、06pp3，y03 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = kOMy03y206pp3 2y0p2py0 22 2 22 ， 当且仅当 y20 2p2等 号成立 .故选 C. 答案 C 13.(2016 湖北七校联考 )已知抛物线方程为 y2 4x， 直线 l 的方程为 2x y 4 0， 在抛物线上有一动点 A， 点 A 到 y 轴的距离为 m， 到直线 l 的距离为 n， 则 m n 的最小值为 _. 解析 如图 ， 过 A 作 AH l， AN 垂直于抛物线的准线 ， 则 |AH| |AN| m n 1， 连接 AF，则 |AF| |AH| m n 1， 由平面几何知识 ， 知当 A， F
10、， H 三点共线时 ， |AF| |AH| mn 1 取得最小值 ， 最小值为 F 到直线 l 的距离 ， 即 65 6 55 ， 即 m n 的最小值为 6 55 1. 答案 6 55 1 14.(2017 南昌模拟 )已知抛物线 C1： y2 4x 和 C2： x2 2py(p 0)的焦点分别为 F1， F2，点 P( 1， 1)， 且 F1F2 OP(O 为坐标原点 ). (1)求抛物线 C2的方程； (2)过点 O 的直线交 C1的下半部分于点 M， 交 C2的左半部分于点 N， 求 PMN 面积的最小值 . 解 (1)由题意知 F1(1， 0)， F2? ?0， p2 ， F1F2
11、? ? 1， p2 ， F1F2 OP， F1F2 OP ? ? 1， p2 ( 1， 1) 1 p2 0， p 2， 抛物线 C2的方程为 x2 4y. (2)设过点 O 的直线为 y kx(k 0)， 联立?y kx，y2 4x 得 M?4k2，4k ， 联立?y kx.x2 4y得 N(4k， 4k2)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 从而 |MN| 1 k2? ?4k2 4k 1 k2? ?4k2 4k ， 又点 P 到直线 MN 的距离 d |k 1|1 k2， 进而 S PMN 12 |k 1|1 k2 1 k2 ? ?4k2 4k 2 （ 1 k）（ 1 k3）k2 2（ 1 k） 2（ 1 k k2）k2 2? ?k 1k 2 ? ?k 1k 1 ， 令 t k 1k(t 2)， 则有 S PMN 2(t 2)(t 1)， 当 t 2 时 ， 此时 k 1， S PMN取得最小值 . 即当过点 O 的直线为 y x 时 ， PMN 面积的最小值为 8.
