1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 课时 导数与函数的综合问题 题型一 导数与不等式 命题点 1 证明不等式 典例 (2017 贵阳模拟 )已知函数 f(x) 1 x 1ex ， g(x) x ln x. (1)证明： g(x)1 ； (2)证明： (x ln x)f(x)1 1e2. 证明 (1)由题意得 g( x) x 1x (x0)， 当 01 时， g( x)0， 即 g(x)在 (0,1)上是减少的，在 (1， ) 上是增加的 所以 g(x) g(1) 1，得证 (2)由 f(x) 1 x 1ex ，得 f( x) x 2ex ， 所以当 02 时， f( x)0， 即 f(x
2、)在 (0,2)上是减少的，在 (2， ) 上是增加的， 所以 f(x) f(2) 1 1e2(当且仅当 x 2 时取等号 ) 又由 (1)知 x ln x1( 当且仅当 x 1 时取等号 )， 且 等号不同时取得， 所以 (x ln x)f(x)1 1e2. 命题点 2 不等式恒成立或有解问题 典例 (2018 大同模拟 )已知函数 f(x) 1 ln xx . (1)若函数 f(x)在区间 ? ?a， a 12 上存在极值，求正实数 a 的取值范围； (2)如果当 x1 时，不等式 f(x) kx 1恒成立，求实数 k 的取值范围 解 (1)函数的定义域为 (0， ) ， f( x) 1
3、1 ln xx2 ln xx2 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 令 f( x) 0，得 x 1. 当 x?(0,1) 时 ， f( x)0， f(x)是增加的； 当 x?(1 ， ) 时， f( x)0， 所以 g(x)是增加的，所以 g(x) g(1) 2， 故 k2 ，即实数 k 的取值范围是 ( ， 2 引申探究 本例 (2)中若改为：存在 x?1 ， e，使不等式 f(x) kx 1成立，求实数 k 的取值范围 解 当 x?1 ， e时， k ?x 1?1 ln x?x 有解， 令 g(x) ?x 1?1 ln x?x (x?1 ， e)，由例 (2)解题知， g(x)是增加的，
4、所以 g(x)max g(e) 2 2e， 所以 k2 2e，即实数 k 的取值范围是 ? ? ， 2 2e . 思维升华 (1)利用导数证明不等式的方法 证明 f(x)1 时， h( x)0， h(x)是增加的， 当 00) 易求 f(x) xln x(x0)的最小值为 f? ?1e 1e， 设 (x) xex 2e(x0)，则 ( x) 1 xex ， 当 x?(0,1) 时， ( x)0， (x)是增加的； 当 x?(1 ， ) 时， ( x)xex 2e恒成立， 即 F(x)0 恒成立， 函 数 F(x)无零点 思维升华 利用导数研究方程的根 (函数的零点 )的策略 研究方程的根或曲线
5、的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图像，然后根据图像判断函数的零点个数 跟踪训练 (1)(2017 贵阳联考 )已知函数 f(x)的定义域为 1,4，部分对应值如下表： x 1 0 2 3 4 f(x) 1 2 0 2 0 f(x)的导函数 y f( x)的图像如图所示当 10，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 ( ， 2) 解析 当 a 0 时， f(x) 3x2 1 有两个零点，不合题意，故 a0 ， f( x) 3ax2 6x3x(ax 2)， 令 f( x) 0，得 x1 0， x2 2a.
6、若 a0，由三次函数图像知 f(x)有负数零点，不合题意，故 a0 知， f? ?2a 0， 即 a ? ?2a 3 3 ? ?2a 2 10，化简得 a2 40， 又 a0)，为使耗电量最小，则速度应定为 _ 答案 40 解析 令 y x2 39x 40 0，得 x 1 或 x 40， 由于当 040 时， y0. 所以当 x 40 时， y 有最小值 一审条件挖隐含 典例 (12 分 )设 f(x) ax xln x， g(x) x3 x2 3. (1)如果存在 x1， x2?0, 2使得 g(x1) g(x2) M 成立，求满足上述条件的最大整数 M； (2)如果对于任意的 s， t?
7、? ?12， 2 ，都有 f(s) g(t)成立，求实数 a 的取值范围 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)存在 x1， x2?0,2 使得 g(x1) g(x2) M (正确理解 “ 存在 ” 的含义 ) g(x1) g(x2)max M 挖掘 g(x1) g(x2)max的隐含实质 g(x)max g(x)min M 求得 M 的最大整数值 (2)对任意 s， t? ? ?12， 2 都有 f(s) g(t) (理解 “ 任意 ” 的含义 ) f(x)min g(x)max 求得 g(x)max 1 ax xln x1 恒成立 分离参数 a a x x2ln x 恒成立 求 h(x)
8、 x x2ln x 的最大值 a h(x)max h(1) 1 a1 规范解答 解 (1)存在 x1， x2?0,2 使得 g(x1) g(x2) M 成立，等价于 g(x1) g(x2)max M.2 分 由 g(x) x3 x2 3，得 g( x) 3x2 2x 3x? ?x 23 . 令 g( x)0，得 x23， 又 x?0,2 ，所以 g(x)在区间 ? ?0， 23 上是减少的，在区间 ? ?23， 2 上是增加的，所以 g(x)min g? ?23 8527， g(x)max g(2) 1. 故 g(x1) g(x2)max g(x)max g(x)min 11227 M， 则满
9、足条件的最大整数 M 4.5 分 (2)对于任意的 s， t? ? ?12， 2 ，都有 f(s) g(t)成立，等价于在区间 ? ?12， 2 上，函数=【 ;精品教育资源文库 】 = f(x)min g(x)max. 7 分 由 (1)可知在区间 ? ?12， 2 上， g(x)的最大值为 g(2) 1. 在区间 ? ?12， 2 上， f(x) ax xln x1 恒成立等价于 a x x2ln x 恒成立 设 h(x) x x2ln x， h( x) 1 2xln x x，可知 h( x)在区间 ? ?12， 2 上是减少的，又 h(1) 0， 所以当 10.10 分 即函数 h(x)
10、 x x2ln x 在区间 ? ?12， 1 上是增加的，在区间 (1,2)上是减少的，所以 h(x)max h(1) 1， 所以 a1 ，即实数 a 的取值范围是 1， ) 12 分 1 (2018 天津调研 )已知函数 y x3 3x c 的图像与 x 轴恰有两个公共点，则 c 等于 ( ) A 2 或 2 B 9 或 3 C 1 或 1 D 3 或 1 答案 A 解析 y 3x2 3， 当 y 0 时， x 1. 则当 x 变化时， y ， y 的变化情况如下表： x ( ， 1) 1 ( 1,1) 1 (1， ) y 0 0 y c 2 c 2 因此，当函数图像与 x 轴恰有两个公共点
11、时，必有 c 2 0 或 c 2 0， c 2 或 c 2. 2 (2017 福建莆田一模 )定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为 f( x)， f(0) 0.若对任意x? R，都有 f(x)f( x) 1，则 使得 f(x) exf( x) 1， g( x) f ?x?ex f?x? 1ex?ex?2 f ?x? 1 f?x?ex 0. 使得 f(x) ex0， g(x)是增加的，当 x?(1 ， ) 时， g( x)0，得 x2，由 f( x)0，得 1x2， 所以函数 f(x)在 ( ， 1)， (2， ) 上是增加的， 在 (1,2)上是减少的，从而可知 f(x)的极大值和极小值分别为 f(1)， f(2) 若函数 f(x)恰好有两个不同的零点，则 f(1) 0 或 f(2) 0，解得 a 5 或 a 4，故选 A. 5某公司生产某种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位产品，成本增加 100 元，已
