1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 讲 第 3 课时 导数与函数的综合问题 一、选择题 1.方程 x3 6x2 9x 10 0 的实根个数是 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析 设 f(x) x3 6x2 9x 10， f (x) 3x2 12x 9 3(x 1)(x 3)， 由此可知函数的极大值为 f(1) 6 0， 极小值为 f(3) 10 0， 所以方程 x3 6x2 9x 10 0 的实根个数为 1. 答案 C 2.若存在正数 x 使 2x(x a) 1 成立 ， 则实数 a 的取值范围是 ( ) A.( ， ) B.( 2， ) C.(0， ) D.( 1， ) 解析
2、 2 x(x a) 1， a x 12x. 令 f(x) x 12x， f (x) 1 2 xln 2 0. f(x)在 (0， ) 上单调递增 ， f(x) f(0) 0 1 1， 实数 a 的取值范围为 ( 1， ). 答案 D 3.(2017 山东省实验中学诊断 )若函数 f(x)在 R 上可导 ， 且满足 f(x) xf( x)0， 则( ) A.3f(1)f(3) C.3f(1) f(3) D.f(1) f(3) 解析 由于 f(x)xf( x)， 则 ? ?f（ x）x xf （ x） f（ x）x2 f(3). 答案 B 4.(2017 德阳模拟 )方程 f(x) f( x)的实
3、数根 x0叫作函数 f(x)的 “ 新驻点 ” ， 如果函数 g(x) ln x 的 “ 新驻点 ” 为 a， 那么 a 满足 ( ) A.a 1 B.00， h(x)在 (1， 2)上有零点 ， 10. 即 kx2 2x 对任意 x(0 ， 2)恒成立 ， 从而 k0 ， 因此由原不等式 ， 得 k0， 函数 f(x)在 (1， 2)上单调递增 ， 当x(0 ， 1)时 ， f (x)1 时 ， 令 g( x) 0 解得 x ea 1 1. 当 0ea 1 1 时 ， g (x)0， g(x)在 (0， ea 1 1)上递减 ， 在 (ea 1 1， ) 上递增 ， g(ea 1 1)1 时
4、 ， 不是对所有的 x0 ， 都有 f(x) ax 成立 . 综上 ， 由 (1)(2)可知 ， 实数 a 的取值范围是 ( ， 1. 10.(2017 武汉调研 )已知函数 f(x) ln x a（ x 1）x (a R). (1)求函数 f(x)的单 调区间； (2)求证：不等式 (x 1)ln x2(x 1)对 ? x (1， 2)恒成立 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)解 定义域为 (0， ) ， f (x) x ax2 . a 0 时 ， f (x)0， f(x)在 (0， ) 上为增函数； a0 时 ， f(x)在 (a， ) 上为增函数 ， 在 (0， a) 上为减函
5、数 . (2)证明 法一 x(1 ， 2)， x 10， 要证原不等式成立 ， 即证 ln x2（ x 1）x 1 对 ? x (1， 2)恒成立 ， 令 g(x) ln x2（ x 1）x 1 ， g( x) （ x 1）2（ x 1） 2 0， g(x)在 (0， ) 上为增函数 ， 当 x(1 ， 2)时 ， g(x)g(1) ln 1 2（ 1 1）1 1 0， ln x2（ x 1）x 1 对 ? x (1， 2)恒成立 ， (x 1)ln x2(x 1)对 ? x (1， 2)恒成立 . 法二 令 F(x) (x 1)ln x 2(x 1)， F (x) ln x x 1x 2，
6、ln x x 1x . 令 (x) ln x x 1x ， 由 (1)知 a 1 时 ， (x)在 (0， 1)上为减函数 ， 在 (1， ) 上为增函数 . x (1， 2)， 则 (x)在 (1， 2)为增函数 ， (x) (1) 0， 即 x(1 ， 2)， F (x)0， F(x)在 (1， 2)上为增函数 ， F(x)F(1) 0， (x 1)ln x2(x 1)对 ? x (1， 2)恒成立 . 11.函数 f(x) 3x2 ln x 2x 的极值点的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.无数个 解析 函数定义域为 (0， ) ， 且 f( x) 6x 1x 2 6x2 2x
7、 1x ， 由于 x0， g(x) 6x2 2x 1 中 200 恒成立 ， 故 f( x)0 恒成立 ， 即 f(x)在定义域上单调递增 ， 无极值点 . 答案 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 12.(2014 全国 卷 )已知函数 f(x) ax3 3x2 1， 若 f(x)存在唯一的零点 x0， 且 x00，则实数 a 的取值范围是 ( ) A.(2， ) B.( ， 2) C.(1， ) D.( ， 1) 解析 法一 由题意 a0 ， 由 f( x) 3ax2 6x 0 得 x 0 或 x 2a. 当 a0 时 ， f(x)在 ( ， 0)和 ? ?2a， 上单调递增 ， 在 ?
8、 ?0， 2a 上单调递减 . 且 f(0) 10， 故 f(x)有小于 0 的零点 ， 不符合题意 ， 排除 A， C. 当 a0 且唯一 ， 只需 f? ?2a 0， 即 a24， a1 时 ， g(x)0， g(x)的大致图 像如图： 直线 y a 与 y g(x)有唯一交点 ， 且横坐标 x00， 只需 a0， 不等式的解集为 (0， ). =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 C 14.(2017 广州调研 )已知函数 f(x) ex m x， 其中 m 为常数 . (1)若对任意 x R 有 f(x)0 恒成立 ， 求 m 的取值范围； (2)当 m1 时 ， 判断 f(x)在
9、0， 2m上零点的个数 ， 并说明理由 . 解 (1)依题意 ， 可知 f( x) ex m 1， 令 f( x) 0， 得 x m. 故当 x( ， m)时 ， ex m1， f (x)0， f(x)单调递增 . 故当 x m 时 ， f(m)为极小值也是最小值 . 令 f(m) 1 m0 ， 得 m1 ， 即对任意 x R ， f(x)0 恒成立时 ， m 的取值范围 是 (， 1. (2)f(x)在 0， 2m上有两个零点 ， 理由如下： 当 m1 时 ， f(m) 1 m0， f(0) f(m)1 时 ， g (m) em 20， g(m)在 (1， ) 上单调递增 . g(m)g(1) e 20， 即 f(2m)0. f(m) f(2m)0， f(x)在 (m， 2m)上有一个零点 . 故 f(x)在 0， 2m上有两个零点 .
