1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 11.2 古典概型 最新考纲 考情考向分析 1.理解古典概型及其概率计算公式 2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率 . 全国 对古典概型每年都会考查，主要考查实际背景的可能事件，通常与互斥事件、对立事件一起考查在高考中单独命题时，通常以选择题、填空题形式出现，属于中低档题；与统计等知识结合在一起考查时，以解答题形式出现，属中档题 . 1基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是 互斥 的； (2)任何事件 (除不可能事件 )都可以表示成 基本事件 的和 2古典概型 具有以下两个 特点的概率模型称为 古典概率模型 ，简称古典概型 (1)试验的所
2、有可能结果 只有有限个 ，每次试验只出现其中一个结果； (2)每一个试验结果出现的可能性相同 3如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 1n；如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P(A) mn. 4古典概型的概率公式 P(A) A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 . 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在 括号中打 “” 或 “”) (1)“ 在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽 ” 属于古典概型，其基本事件是 “ 发芽 ”与 “ 不发芽 ” ( ) (2)掷一枚硬币两次，出现 “ 两个正
3、面 ”“ 一正一反 ”“ 两个反面 ” ，这三个结果是等可能=【 ;精品教育资源文库 】 = 事件 ( ) (3)从市场上出售的标准为 5005 g 的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型 ( ) (4)有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 13.( ) (5)从 1,2,3,4,5 中任取出两个不同的数，其和为 5 的概率是 0.2.( ) (6)在古典概型中，如果事件 A 中基本事件构成集合 A，且集合 A 中的元素个数为 n，所有的基本事件构成集合 I，且集合 I 中元素个数为 m，则事件 A
4、 的概率为 nm.( ) 题组二 教材改编 2一个盒子里装有标号为 1,2,3,4 的 4 张卡片，随机地抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率是 ( ) A.14 B.13 C.12 D.23 答案 D 解析 抽取两张卡片的基本事件有： (1,2)， (1,3)， (1,4)， (2,3)， (2,4)， (3,4)，共 6种，和为奇数的事件有： (1,2)， (1,4)， (2,3)， (3,4)，共 4 种 所求概率为 46 23. 3袋中装有 6 个白球， 5 个黄球， 4 个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为 ( ) A.25 B.415 C.35 D.23
5、答案 A 解析 从袋中任取一 球，有 15 种取法，其中取到白球的取法有 6 种，则所求概率为 P 61525. 4同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为 _ 答案 56 解析 掷两个骰子一次，向上的点数共 66 36(种 )可能的结果，其中点数相同的结果共=【 ;精品教育资源文库 】 = 有 6 种，所以点数不相同的概率 P 1 666 56. 题组三 易错自纠 5将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为( ) A.12 B.13 C.23 D.56 答案 C 解析 设两本不同的数学书为 a1， a2,1 本语文书为 b，则在书架上的摆放方法有
6、 a1a2b， a1ba2，a2a1b， a2ba1， ba1a2， ba2a1，共 6 种，其中数学书相邻的有 4 种 因此 2 本数学书相邻的概率 P 46 23. 6将号码分别为 1,2,3,4 的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为 a，放 回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为 b，则使不等式 a 2b 40，就去打球，若 X 0，就去唱歌，若 X300 为严重污染一环保人士记录了某 地 2016 年某月 10 天的 AQI 的茎叶图如图所示 (1)利用该样本估计该地本月空气质量优良 (AQI100) 的天数； (按这个月总共有 3
7、0 天计算 ) (2)若从样本中的空气质量不佳 (AQI100)的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率 解 (1)从茎叶图中发现该样本中空气质量优的天数为 1，空气质量良的天数为 3，故该样本中空气质量优良的频率为 410 25，估计该月空气质量优良的频率为 25，从而估计该月 空气质量优良的天数为 30 25 12. (2)该样本中为轻度污染的共 4 天，分别记为 a1， a2， a3， a4； 为中度污染的共 1 天，记为 b；为重度污染的共 1 天，记为 c. 从中随机抽取两天的所有可能结果有： (a1， a2)， (a1， a3)， (a1
8、， a4)， (a1， b)， (a1， c)，(a2， a3)， (a2， a4)， (a2， b)， (a2， c)， (a3， a4)， (a3， b)， (a3， c)， (a4， b)， (a4， c)，(b， c)，共 15 个 其中空气质量等级恰好不同的结果有 (a1， b)， (a1， c)， (a2， b)， (a2， c)， (a3， b)， (a3，c)， (a4， b)， (a4， c)， (b， c)，共 9 个 所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为 915 35. =【 ;精品教育资源文库 】 = 思维升华 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题
9、型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键 跟踪训练 从某学校 2016 届高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高，被测学生身高全部介于 155 cm 和 195 cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组 155,160)，第二组 160,165)， ? ，第八组 190,195)，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多 1 人，第一组和第八组人数相同 (1)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图； (2)若从身高属于第六组和第八组
10、的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为 x， y，求 |x y|5 的概率 解 (1)由频率分布直方图知，前五组的频率为 (0.008 0.016 0.04 0.04 0.06)5 0.82， 所以后三组的频率为 1 0.82 0.18， 人数为 0.1850 9， 由频率分布直方图得第八组的频率为 0.0085 0.04，人数为 0.0450 2，设第六组人数为 m，则第七组人数为 m 1，又 m m 1 2 9，所以 m 4，即第六组人数为 4，第七组人数为 3，频率分别为 0.08,0.06，频率除以组距分别等于 0.016,0.012，则完整的频率分布直方图如图所示： =【 ;精
11、品教育资源文库 】 = (2)由 (1)知身高在 180,185)内的男生有四名，设为 a， b， c， d，身高在 190,195)的男生有两名，设为 A， B. 若 x， y?180,185) ，有 ab， ac， ad， bc， bd， cd 共 6 种情况； 若 x， y?190,195) ，只有 AB 1 种情况； 若 x， y 分别在 180,185)， 190,195)内，有 aA， bA， cA， dA， aB， bB， cB， dB 共 8 种情况， 所以基本事件的总数为 6 8 1 15， 事件 |x y|5 包含的基本事件的个数为 6 1 7， 故所求概率为 715. 六
12、审细节更完善 典例 (12 分 )一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1,2,3,4. (1)从袋 中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率； (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 n，求 nm 2 的概率 (1)基本事件为取两个球 ( 两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示 ) 把取两个球的所有结果列举出来 1,2， 1,3， 1,4， 2,3， 2,4， 3,4 两球编号之和不大于 4 (注意：和不大于 4，应为小于 4 或等于 4) 1,2， 1,3 =【 ;精品教育资源文库 】 = 利用古
13、典概型概率公式求解 P 26 13 (2)两球分两次取，且有放回 ( 两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示 ) 基本事件的总数可用列举法表示 (1,1)， (1,2)， (1,3)， (1,4)， (2,1)， (2,2)， (2,3)， (2,4)， (3,1)， (3,2)， (3,3)， (3,4)， (4,1)， (4,2)， (4,3)， (4,4) ( 注意细节， m 是第 1 个球的编号， n 是第 2 个球的编号 ) nm 2 的情况较多，计算复杂 ( 将复杂问题转化为简单问题 ) 计算 n m 2 的概率 n m 2 的所有情况为 (1,3)， (1,4)， (2,4)
14、 P1 316 注意细节， P1 316是 n m 2 的概率，需转化为其 ,对立事件的概率 nm 2 的概率为 1 P1 1316. 规范解答 解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有 1,2， 1,3， 1,4，2,3， 2,4， 3,4，共 6 个 从袋中取出的球的编号之和不大于 4 的事件有 1,2， 1,3，共 2 个 因此所求事件的概率 P 26 13.4 分 (2)先从袋中随机取一个球，记下编号为 m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为 n，其一切可能的结果有 (1,1)， (1,2)， (1,3)， (1,4)， (2,1)， (2,2)， (2,3)， (2,4)， (3,1)，(3,2)， (3,3)， (3,4)， (4,1)， (4,2)， (4,3)， (4,4)，共 16 个 6 分 又满足条件 n m 2 的事件为 (1,3)， (1,4)， (2,4)，共 3 个， 所以满足条件 n m 2 的事件的概率 P1 316.10 分
