1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 4.6 正弦定理和余弦定理 最新考纲 考情考向分析 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 . 以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识题型多样，中档难度 . 1正弦定理、余弦定理 在 ABC 中，若角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c， R 为 ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 asin A bsin B csin C 2R a2 b2 c2 2bccos A； b2 c2 a2 2cacos B； c2 a2 b2
2、2abcos C 变形 (1)a 2Rsin A， b 2Rsin B， c 2Rsin C； (2)sin A a2R， sin B b2R， sin C c2R； (3)a b c sin Asin Bsin C； asin B bsin A， bsin C csin B， asin C csin A (4)cos A b2 c2 a22bc ； cos B c2 a2 b22ac ； cos C a2 b2 c22ab 2.在 ABC 中，已知 a， b 和 A 时，解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 =【 ;精品教育资源文库 】 = 关系式 a bsin A bsin Ab
3、解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形常用面积公式 (1)S 12a ha(ha表示边 a 上的高 )； (2)S 12absin C 12acsin B 12bcsin A； (3)S 12r(a b c)(r 为三角形内切圆半径 ) 知识拓展 1三角形内角和定理 在 ABC 中， A B C ； 变形： A B2 2 C2. 2三角形中的三角函数关系 (1)sin(A B) sin C； (2)cos(A B) cos C； (3)sin A B2 cos C2； (4)cos A B2 sin C2. 3三角形中的射影定理 在 ABC 中， a bcos C ccos B； b a
4、cos C ccos A； c bcos A acos B. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比 ( ) (2)在 ABC 中，若 sin A sin B，则 A B.( ) (3)当 b2 c2 a20 时，三角形 ABC 为锐角三角形 ( ) (4)在 ABC 中， asin A a b csin A sin B sin C.( ) (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积 ( ) 题组二 教材改编 2在 ABC 中， acos A bcos B，则这个三角形的形状为 答案 等腰三角形或直角三角
5、形 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由正弦定理，得 sin Acos A sin Bcos B， 即 sin 2A sin 2B，所以 2A 2B 或 2A 2B， 即 A B 或 A B 2 ， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形 3在 ABC 中， A 60 ， AC 4， BC 2 3，则 ABC 的面积为 答案 2 3 解析 2 3sin 60 4sin B， sin B 1， B 90 ， AB 2， S ABC 1222 3 2 3. 题组三 易错自纠 4在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 c0， cos B1. 角 B 不存在，即满
6、足条件的三角形不存在 6 (2018 包头模拟 )设 ABC 的内角 A， B， C 所对边的长分别为 a， b， c.若 b c 2a,3sin A 5sin B，则角 C . 答案 23 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由 3sin A 5sin B，得 3a 5b.又因为 b c 2a， 所以 a 53b， c 73b， 所以 cos C a2 b2 c22ab ?53b2 b2?73b22 53b b 12. 因为 C(0 ， ) ，所以 C 23 . 题型一 利用正、余弦定理解三角形 1 (2016 山东 ) ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，已知
7、 b c， a2 2b2(1 sin A)，则 A 等于 ( ) A.34 B. 3 C. 4 D. 6 答案 C 解析 在 ABC 中，由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos A， b c， a2 2b2(1 cos A)，又 a2 2b2(1 sin A)， cos A sin A， tan A 1， A(0 ， ) ， A 4 ，故选 C. 2在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c.已 知 8b 5c， C 2B，则 cos C 等于 ( ) A.725 B 725 C 725 D.2425 答案 A 解析 8 b 5c， 由正弦定理，得 8sin B
8、5sin C. 又 C 2B， 8sin B 5sin 2B， 8sin B 10sin Bcos B. sin B0 ， cos B 45， cos C cos 2B 2cos2B 1 725. 3设 ABC 的内 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 a 3， sin B 12， C 6 ，则 b . 答案 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 因为 sin B 12且 B(0 ， ) ， 所以 B 6 或 B 56 . 又 C 6 ， B C2，x 2 2x，解得 2 2 20， sin A 1， 即 A 2 ， ABC 为直角三角形 引申探究 1本例 (2)中，若
9、将条件变为 2sin Acos B sin C，判断 ABC 的形状 解 2sin Acos B sin C sin(A B)， 2sin Acos B sin Acos B cos Asin B， sin( A B) 0. 又 A， B 为 ABC 的内角 A B， ABC 为等腰三角形 2本例 (2)中，若将条件变为 a2 b2 c2 ab，且 2cos Asin B sin C，判断 ABC 的形状 解 a2 b2 c2 ab， cos C a2 b2 c22ab 12， =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 0C ， C 3 ， 又由 2cos Asin B sin C 得 sin(B
10、 A) 0， A B， 故 ABC 为等边三角形 命题点 2 求解几何计算问题 典例 (1)如图，在 ABC 中， B 45 ， D 是 BC 边上一点， AD 5， AC 7， DC 3，则 AB . 答案 5 62 解析 在 ACD 中，由余弦定理可得 cos C 49 9 25273 1114， 则 sin C 5 314 . 在 ABC 中，由正弦定理可得 ABsin C ACsin B， 则 AB ACsin Csin B 7 5 31422 5 62 . (2)(2018 吉林三校联考 )在平面四边形 ABCD 中， A B C 75 ， BC 2，则 AB 的取值范围是 答案 (
11、 6 2， 6 2) 解析 如图所 示，延长 BA 与 CD 相交于点 E，过点 C 作 CF AD 交 AB 于点 F，则 BFABBE. 在等腰三角形 CBF 中， FCB 30 ， CF BC 2， BF 22 22 222cos 30 6 2. 在等腰三角形 ECB 中， CEB 30 ， ECB 75 ， BE CE， BC 2， BEsin 75 2sin 30 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = BE 212 6 24 6 2. 6 2AB 6 2. 思维升华 (1)判断三角形形状的方法 化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系 化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要
12、注意应用 A B C 这个结论 (2)求解几何计算问题要注意： 根据已知的边角画出图形并在图中标示； 选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理 跟踪训练 (1)(2018 安徽六校联考 )在 ABC 中， cos2B2 a c2c (a， b， c 分别为角 A， B， C的对边 )，则 ABC 的形状为 ( ) A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形 答案 B 解析 cos 2B2 1 cos B2 ， cos2B2 a c2c ， (1 cos B) c a c， a cos B c a2 c2 b22a ， 2 a2 a2 c2 b2， a2 b2 c2， ABC 为直角 三角形 (2)如图，在 ABC 中，已知点 D 在 BC 边上， AD AC， sin BAC 2 23 ， AB 3 2， AD 3，则 BD 的长为 答案 3 解析 因为 sin BAC 2 23 ，且 AD AC，
