1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 1.1 集合及其运算 最新考纲 考情考向分析 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系 2.能用自然语言、图形语言、集合语言 (列举法或描述法 )描述不同的具体问题 3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 4.在具体情境中，了解全集与空集的含义 5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 7.能使用韦恩 (Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算 . 集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系 是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时
2、常用到数轴和韦恩 (Venn 图 )，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择题为主，低档难度 . 1集合与元素 (1)集合中元素的三个特征： 确定性 、 互异性 、 无序性 (2)元素与集合的关系是 属于 或 不属于 ，用符号 或 ?表示 (3)集合的表示法： 列举法 、 描述法 、 图示法 (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N (或 N*) Z Q R 2.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn 图 =【 ;精品教育资源文库 】 = 子集 集合 A 中所有元素都是集合 B 中的元素 (即若 x A，则 x B) A?B
3、(或 B?A) 真子集 集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B中至少有一个元素不在集合 A 中 A B(或B A) 集合相等 集合 A， B 中的元素相同或集合 A，B 互为子集 A B 3.集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn 图 交集 由属于集合 A 且属于集合 B的所有元素组成的集合 A B x|x A 且 x B 并集 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合 A B x|x A 或 x B 补 集 由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合 ?UA x|x U 且 x?A 知识拓展 1若有限集合 A 中有 n 个元素，则集合 A 的子集个数为 2n
4、，真子集的个数为 2n 1. 2 A?B?A B A?A B B. 3 A( ?UA) ?； A( ?UA) U； ?U(?UA) A. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)任何一个集合都至少有两个子集 ( ) (2)x|y x2 1 y|y x2 1 (x， y)|y x2 1 ( ) (3)若 x2,1 0,1，则 x 0,1.( ) (4)x|x1 t|t1 ( ) (5)对于任意两个集合 A， B，关系 (A B)?(A B)恒成立 ( ) (6)若 A B A C，则 B C.( ) 题组二 教材改编 2已知 U |0 180 ， A x
5、|x 是锐角 ， B x|x 是钝角 ，则 ?U(A B)=【 ;精品教育资源文库 】 = _. 答案 x|x 是直角 3已知集合 A (x， y)|x2 y2 1， B (x， y)|y x，则 A B 中元素的个数为 _ 答案 2 解析 集合 A 表示以 (0,0)为圆心， 1 为半径的单位圆，集合 B 表示直线 y x，圆 x2 y2 1与直线 y x 相交于两点 ? ?22 ， 22 ， ? ? 22 ， 22 ，则 A B 中有两个元素 题组三 易错自纠 4若集合 A 1,1， B 0,2，则集合 z|z x y， x A， y B中的元素的个数为 ( ) A 5 B 4 C 3 D
6、 2 答案 C 解析 当 x 1， y 0 时， z 1；当 x 1， y 2 时， z 1；当 x 1， y 0 时， z 1；当 x 1， y 2 时， z 3，故集合 z|z x y， x A， y B中的元素个数为 3，故选 C. 5已知集合 A x|x2 2x 30 ， B x|x3. 6若集合 A x R|ax2 3x 2 0中只有一个元素，则 a _. 答案 0 或 98 解析 若 a 0，则 A ? ?23 ，符合题意； 若 a0 ，则由题意得 9 8a 0，解得 a 98. 综上， a 的值为 0 或 98. 题型一 集合的含义 1若集合 A a 3,2a 1， a2 4，且
7、 3 A，则实数 a _. 答案 0 或 1 解析 若 a 3 3，则 a 0，此时集合 A 中含有元素 3， 1， 4，满足题意； 若 2a 1 3，则 a 1，此时集合 A 中的三个元素为 4， 3， 3，不满足集合中元素=【 ;精品教育资源文库 】 = 的互异性； 若 a2 4 3，则 a 1 ，当 a 1 时，集合 A 中的三个元素为 2,1， 3，满足题意； 当 a 1 时，不符合题意 综上可知， a 0 或 a 1. 2设 P， Q 为两个非空实数集合，定义集合 P Q a b|a P， b Q，若 P 0,2,5， Q 1,2,6，则 P Q 中元素的个数是 ( ) A 9 B
8、8 C 7 D 6 答案 B 解析 当 a 0 时， a b 1,2,6； 当 a 2 时， a b 3,4,8； 当 a 5 时， a b 6,7,11. 由集合中元素的互异性知， P Q 中有 1,2,3,4,6,7,8,11，共 8 个元素 思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合 (2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意分类讨论的思想方法常用于解决集合问题 题型二 集合的基本关系 典例 (1)设 A， B 是全集 I 1,2,3,4的子集， A 1,2，则满足 A?B 的集合
9、 B 的 个数是( ) A 5 B 4 C 3 D 2 答案 B 解析 1,2 ?B， I 1,2,3,4， 满足条件的集合 B 有 1,2， 1,2,3， 1,2,4， 1,2,3,4，共 4 个 (2)已知集合 A x|x2 2 019x 2 0181 D A B ? 答案 A 解析 B x|3x0， B x| 12 C a 1 D a 1 答案 D 解析 因为 A B ?，所以集合 A， B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知 a 1. (2)集合 A 0,2， a， B 1， a2，若 A B 0,1,2,4,16，则 a 的值为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 4 答案 D 解
10、析 由题意可得 a， a2 4,16， a 4. (3)设集合 A 0， 4， B x|x2 2(a 1)x a2 1 0， x R若 A B B，则实数 a的取值范围是 _ 答案 ( ， 11 解析 因为 A 0， 4，所以 B?A 分以下三种情况： 当 B A 时， B 0， 4，由此可知， 0 和 4 是方程 x2 2(a 1)x a2 1 0 的两个根，=【 ;精品教育资源文库 】 = 由根与系数的关系，得 ? 4?a 1?2 4?a2 1?0， 2?a 1? 4，a2 1 0，解得 a 1； 当 B ?且 B A 时 ， B 0或 B 4， 并且 4(a 1)2 4(a2 1) 0，
11、 解得 a 1，此时 B 0满足题意； 当 B ?时， 4(a 1)2 4(a2 1)0， 解得 a 1. 综上所述，所求实数 a 的取值范围是 ( ， 11 思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用 Venn 图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况 (2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化 跟踪训练 (1)(2017 天津 )设集合 A 1,2,6， B 2,4， C x R| 1 x5 ，则(A B) C 等于 ( ) A 2 B 1,2,4 C 1,2,4,6 D x R| 1 x5 答案 B 解析 A B 1
12、,2,4,6 又 C x R| 1 x5 ，则 (A B) C 1,2,4， 故选 B. (2)已知集合 A x|x2 x 120 ， B x|2m 1xm 1，且 A B B，则实数 m 的取值范围为 ( ) A 1,2) B 1,3 C 2， ) D 1， ) 答案 D 解析 由 x2 x 120 ，得 (x 3)(x 4)0 ，即 3 x4 ，所以 A x| 3 x4 又 A B B，所以 B?A. 当 B ?时，有 m 12 m 1，解得 m2 ； 当 B ?时，有? 32 m 1，m 14 ，2m 1m 1，解得 1 m2. 综上， m 的取值范围为 1， ) =【 ;精品教育资源文
13、库 】 = =【 ;精品教育资源文库 】 = 题型四 集合的新定义问题 典例 已知集合 A (x， y)|x2 y21 ， x， y Z， B (x， y)|x|2 ， |y|2 ， x， y Z，定义集合 A B (x1 x2， y1 y2)|(x1， y1) A， (x2， y2) B，则 A B 中元素的个数为 ( ) A 77 B 49 C 45 D 30 答案 C 解析 如图，集合 A 表示如图所示的所有圆点 “ ” ，集合 B 表示如图所示的所有圆点 “ ”所有圆点 “ ” ，集合 A B 显然是集合 (x， y)|x|3 ， |y|3 ， x， y Z中除去四个点( 3， 3)，
14、 ( 3,3)， (3， 3)， (3,3)之外的所有整点 (即横坐标与纵坐标都为整数的点 )，即集合 A B 表示如图所示的所有圆点 “ ” 所有圆点 “ ” 所有圆点 “ ” ，共 45个故 A B 中元素的个数为 45.故选 C. 思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： (1)紧扣新定义首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中 (2)用好集合的性质解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素 跟踪训练 定义一种新的集合运算 ： A B x|x A，且 x?B若集合 A x|x2 4x 30，B x|2 x4 ，则按运算 ， B A 等于 ( ) A x|3x4 B x|3 x4 C x|3x4 D x|2 x4 答案 B 解析 A x|1x3， B x|2 x4 ，由题意知， B A x|x B，且 x?A x|3 x4 1已知集合 A y|y |x| 1， x R， B x|x2 ，则下列结论正确的是 ( ) A 3 A B 3?B C A B B D A B B 答
