1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2.1 函数及其表示 最新考纲 考情考向分析 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 (如图象法、列表法、解析法 )表示函数 3.了解简单的分段函数，并能简单应用 (函数分段不超过三段 ). 以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度 . 1函数与映射 函数 映射 两个集合A， B 设 A， B 是两个 非空数集 设 A， B 是两 个非空 集合 对应关系f： A B 如果按照某个对应
2、关系 f，使对于集合 A 中的 任何 一个数 x，在集合 B 中都存在 唯一确定 的数 f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的 每一个 元素 x，在集合 B 中都有 唯一 的元素 y 与之对应 名称 称 f： A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 称 f： A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 函数记法 函数 y f(x)， x A 映射： f： A B =【 ;精品教育资源文库 】 = 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数 y f(x)， x A 中， x 叫作自变量， x 的取值范围 A 叫作函数的 定义域 ；与 x 的 值相
3、对应的 y 值叫作 函数值 ，函数值的集合 f(x)|x A叫作函数的 值域 (2)函数的三要素： 定义域 、 对应关系 和 值域 (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法 、 图像法 和 列表法 3分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 ，其值域等于各段函数的值域的 并集 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数 知识拓展 简单函数定义域的类型 (1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零 的实数集合； (2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式
4、非负的实数的集合； (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为 1 的实数集合； (4)若 f(x) x0，则定义域为 x|x0 ； (5)指数函数的底数大于 0 且不等于 1； (6)正切函数 y tan x 的定义域为?x? x k 2 ， k Z . 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请 在括号中打 “” 或 “”) (1)对于函数 f： A B，其值域就是集合 B.( ) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等 ( ) (3)函数 f(x)的图像与直线 x 1 最多有一个交点 ( ) (4)若 A R， B x|x0， f： x y |x
5、|，其对应是从 A 到 B 的映射 ( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的 ( ) 题组二 教材改编 2函数 f(x) x 3 log2(6 x)的定义域是 _ 答案 3,6) 3函数 y f(x)的图 像如图所示，那么， f(x)的定义域是 _；值域是 _；其中=【 ;精品教育资源文库 】 = 只有唯一的 x 值与之对应的 y 值的范围是 _ 答案 3,02,3 1,5 1,2) (4,5 题组三 易错自纠 4 (2017 湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考 )已知 f(x)? 2x 2， x0 ， x2 3， x0 恒成立， 得 a 0 或? a0， ? 4a?2 4 a21， 则
6、f?43 f? 43 的值为 ( ) A.12 B 12 C 1 D 1 答案 D 解 析 f ? ?43 f ? ? 43 f ? ?13 f? ? 43 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = cos 3 cos? ? 43 1 1. 命题点 2 分段函数与方程、不等式问题 典例 (1)(2018 届东莞外国语学校月考 )已知函数 f(x)? 2x 1 2， x1 ， log2?x 1?， x1， 且 f(a) 3，则 f(6 a)等于 ( ) A 74 B 54 C 34 D 14 答案 A 解析 函数 f(x)? 2x 1 2， x1 ， log2?x 1?， x1 且 f(a) 3，
7、若 a1 ，则 2a 1 2 3，即有 2a 1 11，则 log2(a 1) 3，解得 a 7， 则 f(6 a) f( 1) 2 1 1 2 74. (2)(2017 广东汕头、河北石家庄二中联考 )设函数 f(x)? x2 x， x0，则 x0， 由题意，知 f( 2) 2， f(g(a)2 即为 f(g(a) f( 2) 又 f(x)? x2 x， x0， a2 2a 5 2 或 a 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = a 1 或 0 a2 2 1.故选 A. 思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路 求函数值：当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值 求自变量的值：先
8、假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相 应自变量的值，切记要代入检验 (2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来 跟踪训练 设函数 f(x)? 2x， x0 ，|log2x|， x0， 则使 f(x)12的 x 的集合为 _ 答案 ? 1， 2， 22 解析 由题意知，若 x0 ，则 2x 12，解得 x 1；若 x0，则 |log2x| 12，解得 x 12 或 x 122 .故 x 的集合为? 1， 2， 22 . 分类讨论思想在函数中的应用 典例 (1)设函数 f(x)? 3x 1， x 1，2x， x1 ， 则满足 f
9、(f(a) 2f(a)的 a 的取值范围是 ( ) A.? ?23， 1 B 0,1 C.? ?23， D 1, ) (2)(2017 全国 ) 设函数 f(x)? x 1， x0 ，2x， x 0， 则满足 f(x) f?x 12 1 的 x 的取值范围是 _ 思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分 类讨论求解； (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围 解析 (1)令 f(a) t，则 f(t) 2t， 当 t0， g(t)g(1) 0， 3 t 1 2t无解
