1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 讲 离散型随机变量及其分布列 一、选择题 1.某射手射击所得环数 X 的分布列为 X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 则此射手 “ 射击一次命中环数大于 7” 的概率为 ( ) A.0.28 B.0.88 C.0.79 D.0.51 解析 P(X 7) P(X 8) P(X 9) P(X 10) 0.28 0.29 0.22 0.79. 答案 C 2.设 X 是一个离散型随机变量 ， 其分布列为： X 1 0 1 P 13 2 3q q2 则 q 的值为 ( ) A.1 B.32
2、336 C.32 336 D.32 336 解析 由 分布列的性质知?2 3q0 ，q2 0，13 2 3q q2 1，解得 q 32 336 . 答案 C 3.设某项试验的 成功率是失败率的 2 倍 ， 用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数 ， 则 P(X 0)等于 ( ) A.0 B.12 C.13 D.23 解析 由已知得 X 的所有可能取值为 0， 1， 且 P(X 1) 2P(X 0)， 由 P(X 1) P(X 0) 1， 得 P(X 0) 13. 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 4.袋中装有 10 个红球、 5 个黑球 .每次随机抽取 1 个球后 ， 若取得黑
3、球则另换 1 个红球放回袋中 ， 直到取到红球为止 .若抽取的次数为 ， 则表示 “ 放回 5 个红球 ” 事 件的是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 5 解析 “ 放回五个红球 ” 表示前五次摸到黑球 ， 第六次摸到红球 ， 故 6. 答案 C 5.从装有 3 个白球、 4 个红球的箱子中 ， 随机取出了 3 个球 ， 恰好是 2 个白球、 1 个红球的概率是 ( ) A.435 B.635 C.1235 D.36343 解析 如果将白球视为合格品 ， 红球视为不合格品 ， 则这是一个超几何分布问题 ， 故所求概率为 P C23C14C37 1235. 答案 C 二、填空题 6.设
4、离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 M 若随机变量 Y |X 2|， 则 P(Y 2) _. 解析 由分布列的性质 ， 知 0.2 0.1 0.1 0.3 m 1， m 0.3. 由 Y 2， 即 |X 2| 2， 得 X 4 或 X 0， P(Y 2) P(X 4 或 X 0) P(X 4) P(X 0) 0.3 0.2 0.5. 答案 0.5 7. (2017九江调研 )袋中有 4 只红球 3 只黑球 ， 从袋中任取 4 只球 ， 取到 1 只红球得 1分 ， 取到 1 只黑球得 3 分 ， 设得 分为随机变量 X， 则 P(X6)
5、_. 解析 P(X6) P(取到 3 只红球 1 只黑球 ) P(取到 4 只红球 ) C34C13C47 C44C471335. 答 案 1335 8.在一个口袋中装有黑、白两个球 ， 从中随机取一球 ， 记 下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数 的分布列为 _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 的所有可能值为 0， 1， 2. P( 0) C11C11C12C1214， P( 1) C11C11 2C12C12 12， P( 2) C11C11C12C1214. 的分布列为 0 1 2 P 14 12 14 答案 0 1 2 P 14 12 14 三
6、、解答题 9.(2017 合肥模拟 )某高校一专业在一次自主招生中 ， 对 20 名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试 ， 结果如下表： 由于部分数据丢失 ， 只知道从这 20 名参加测试的学生中随机抽取一人 ， 抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为 25. (1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取 2 名 ， 求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率； (2)从参加测试的 20 名 学生中任意抽取 2 名 ， 设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为 X， 求随机变量 X 的 分布列 . 解 (1)用 A 表示 “ 从这 20 名参加测
7、试的学生中随机抽取一人 ， 抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生 ” ， 语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有 (6 n)名 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = P(A) 6 n20 25， 解得 n 2， m 4， 用 B 表示 “ 从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取 2 名 ， 其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生 ” ， P(B) 1 C26C29712. (2)随机变量 X 的可能取值为 0， 1， 2. 20 名学生中 ， 语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有 8 名 ， P(X 0) C212C2203395， P(X 1) C18C112C
8、220 4895， P(X 2) C28C2201495， X 的分布列为 X 0 1 2 P 3395 4895 1495 10.某超市在节日期间进行有奖促销 ， 凡在该超市购物满 300 元的顾客 ， 将获得一次摸奖机会 ， 规则如下： 奖盒中放有除颜色外完全相同的 1 个红球 ， 1 个黄球 ， 1 个白球和 1 个黑球 .顾客不放回地每次摸出 1 个球 ， 若摸到黑球则停止摸奖 ， 否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止 .规定摸到红球奖励 10 元 ， 摸到白球或黄球奖励 5 元 ， 摸到黑球不奖励 . (1)求 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率； (2)记 X 为 1 名顾客摸奖获
9、得的奖金数额 ， 随机变量 X 的分布列 . 解 (1)设 “1 名顾客摸球 3 次停止摸奖 ” 为事件 A， 则 P(A) A23A3414， 故 1 名顾客摸球 3 次停止摸球的概率为 14. (2)随机变量 X 的所有取值为 0， 5， 10， 15， 20. P(X 0) 14， P(X 5) 2A24 16， P(X 10) 1A24 A22A3416， P(X 15)C12 A22A34 16， P(X 20) A33A4414. 所以 ， 随机变量 X 的分布列为 =【 ;精品教育资源文库 】 = X 0 5 10 15 20 P 14 16 16 16 14 11.随机变量 X
10、 的分布列如下： X 1 0 1 P a b c 其中 a， b， c 成等差数列 ， 则 P(|X| 1)等于 ( ) A.16 B.13 C.12 D.23 解析 a， b， c 成 等差数列 ， 2b a c.又 a b c 1， b 13， P(|X| 1) a c 23. 答案 D 12.若随机变量 X 的分布列为 X 2 1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当 P(Xa) 0.8 时 ， 实数 a 的取值范围是 ( ) A.( ， 2 B.1， 2 C.(1， 2 D.(1， 2) 解析 由随机变量 X 的分布列知： P(X 1) 0.1， P
11、(X0) 0.3， P(X1) 0.5， P(X2) 0.8， 则当 P(Xa) 0.8 时 ， 实数 a 的取值范围是 (1， 2. 答案 C 13.(2017 石家庄调研 )为检测某产品的质量 ， 现抽取 5 件产品 ， 测量产品中微量元素 x，y 的含量 (单位：毫克 )， 测量数 据如下： 编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81 如果产品中的微量元素 x， y 满足 x175 且 y75 时 ， 该产品为优等品 . 现从上述 5件产品中 ， 随机抽取 2件 ， 则抽取的 2件产品中优等品数 X的分布列为 _. 解析 5 件
12、抽测品中有 2 件优等品 ， 则 X 的可能取值为 0， 1， 2.P(X 0) C23C25 0.3， P(X 1) C13 C12C25 0.6， P(X 2) C22C25 0.1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 优等品数 X 的分布列为 X 0 1 2 P 0.3 0.6 0.1 答案 X 0 1 2 P 0.3 0.6 0.1 14.盒内有大小相同的 9 个球 ， 其中 2 个红色球 ， 3 个白色球 ， 4 个黑色 球 .规定取出 1 个红色球得 1 分 ， 取出 1 个白色球得 0 分 ， 取出 1 个黑色球得 1 分 .现从盒内任取 3 个球 . (1)求取出的 3 个球中
13、至少有 1 个红球的概率； (2)求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率； (3)设 X 为取出的 3 个球中白色球的个数 ， 求 X 的分布列 . 解 (1)P 1 C37C39712. (2)记 “ 取出 1 个红色球 ， 2 个白色球 ” 为事件 B，“ 取出 2 个红色球 ， 1 个黑色球 ” 为事件 C， 则 P(B C) P(B) P(C) C12C23C39 C22C14C39 542. (3)X 可能的取值为 0， 1， 2， 3， X 服从超几何分布 ， 所以 P(X k) Ck3C3 k6C39 ， k 0， 1， 2， 3. 故 P(X 0) C36C39521， P(X 1)C13C26C39 1528， P(X 2) C23C16C39 314， P(X 3)C33C39184. 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 521 1528 314 184
