1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 5 讲 二项分布与正态分布 一、选择题 1.(2014 全国 卷 )某地区空气质量监测资料表明 ， 一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是 0.6， 已知某天的空气质量为优良 ， 则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( ) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 解析 记事件 A 表示 “ 一天的空气质量为优良 ” ， 事件 B 表示 “ 随后一天的空气质量为优良 ” ， P(A) 0.75， P(AB) 0.6.由条件概率 ， 得 P(B|A) P（ AB）P（ A） 0.60.75 0.8. 答案 A 2.(2017
2、衡水模拟 )先后抛掷硬币三次 ， 则至少一次正面朝上的概率是 ( ) A.18 B.38 C.58 D.78 解析 三次均反面朝上的概率是 ? ?123 18，所以至少一次正面朝上的概率是 1 18 78. 答案 D 3.(2016 青岛一模 )设随机变量 X 服从正态分布 N(1， 2)， 则函数 f(x) x2 2x X 不存在零点的概率为 ( ) A.14 B.13 C.12 D.23 解析 函数 f(x) x2 2x X 不存在零点 ， 4 4X1， X N(1， 2)， P(X1) 12， 故选 C. 答案 C 4.(2017 上饶 模拟 )某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 A
3、 和 B， 系统 A 和系统 B在任意时刻 发生故障的概率分别为 18和 p， 若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为 940， 则 p ( ) A.110 B.215 C.16 D.15 解析 由题意得 18(1 p) ? ?1 18 p 940， p 215， 故选 B. 答案 B 5.(2016 天 津南开调研 )一袋中有 5 个白球 ， 3 个红球 ， 现从袋中往外取球 ， 每次任取一个记下颜色后放回 ， 直到红球出现 10 次时停止 ， 设停止时共取了 X 次球 ， 则 P(X 12)=【 ;精品教育资源文库 】 = 等于 ( ) A.C1012? ?3810?582B.C912
4、? ?389?58238 C.C911? ?582?382D.C911? ?3810?582解析 由题意知第 12 次取到红球 ， 前 11 次中恰有 9 次红球 2 次白球 ， 由于每次取到红球的概率为 38， 所 以 P(X 12) C911? ?389 ? ?582 38. 答案 D 二、填空题 6.有一批种子的发芽率为 0.9， 出芽后的幼苗成活率为 0.8， 在这批种子中 ， 随机抽取一粒 ， 则这 粒种子能成长为幼苗的概率为 _. 解析 设种子发芽为事件 A， 种子成长为幼苗为事件 B(发芽又成活为幼苗 ). 依题意 P(B|A) 0.8， P(A) 0.9. 根据条件概率公式 P
5、(AB) P(B|A) P(A) 0.8 0.9 0.72， 即 这粒种子能成长为幼苗的概率为 0.72. 答案 0.72 7.假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N(800， 502)的随机变量 ， 记一天中从甲 地去乙地的旅客人数 800 X900 的概率为 p0， 则 p0 _. 解析 由 X N(800， 502)， 知 800， 50， 又 P(700 X900) 0.954 4， 则 P(800 X900) 12 0.954 4 0.477 2. 答案 0.477 2 8.设随机变量 X B(2， p)， 随机变量 Y B(3， p)， 若 P(X 1) 59，则
6、P(Y1) _. 解析 X B(2， p)， P(X1) 1 P(X 0) 1 C02(1 p)2 59， 解得 p 13.又 Y B(3，p)， P(Y1) 1 P(Y 0) 1 C03(1 p)3 1927. 答案 1927 三、解答题 9.(2015 湖南卷 )某商场举行有奖促销活动 ， 顾客购买一定金额的商品后即可抽奖 ， 每次=【 ;精品教育资源文库 】 = 抽奖 都是从装有 4 个红球、 6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、 5 个白球的乙箱中 ， 各随机摸出 1 个球 ， 在摸出的 2 个球中 ， 若都是红球 ， 则获一等奖；若只有 1 个红球 ， 则获二等奖；若没有红球 ， 则
7、不获奖 . (1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率； (2)若某顾客有 3 次抽奖机会 ， 记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X， 求 X 的分布列 . 解 (1)记事件 A1为 “ 从甲箱中摸出的 1 个球 是红球”， A2为 “ 从乙箱中摸出的 1 个球是红球 ” ， B 为 “ 顾客抽奖 1 次能获奖 ” ， 则 B 表示 “ 顾客抽奖 1 次没有获奖 ”. 由题意 A1与 A2相互独立 ， 则 A 1与 A 2相互独立 ， 且 B A 1 A 2， 因为 P(A1) 410 25， P(A2) 510 12， 所以 P(B ) P(A 1 A 2) ? ?1 25 ? ?1 12
8、 310， 故所求事件的概率 P(B) 1 P(B ) 1 310 710. (2)设 “ 顾 客抽奖一次获得一等奖 ” 为事件 C， 由 P(C) P(A1 A2) P(A1) P(A2) 15， 顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验 ， 则 X B? ?3， 15 ， 于是 P(X 0) C03? ?150?453 64125， P(X 1) C13? ?151?452 48125， P(X 2) C23? ?152?451 12125， P(X 3) C33? ?153?450 1125. 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 1
9、0.挑选空军飞行员可以说是 “ 万里挑一 ” ， 要想通过需要五关：目测、初检、复检、文=【 ;精品教育资源文库 】 = 考 (文化考试 )、政审 .若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关 ， 根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是 0.5， 0.6， 0.75， 能通过文考关的概率分别是 0.6，0.5， 0.4， 由于他们平时表现较好 ， 都能通过政审关 ， 若后三关之间通过与否没有影响 . (1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率； (2)设只要通过后三关就可以被录取 ， 求录取人数 X 的分布列 . 解 (1)设 A， B， C 分别表示事件 “ 甲、乙、丙通
10、过复检 ” ， 则所求概率 P P(AB C )P(A BC ) P(A B C) 0.5(1 0.6) (1 0.75) (1 0.5)0.6(1 0.75) (1 0.5)(1 0.6)0.75 0.275. (2)甲被录取的概率为 P 甲 0.50.6 0.3， 同理 P 乙 0.60.5 0.3， P 丙 0.750.4 0.3. 甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为 0.3， 故可看成是独立重复试验 ， 即 X B(3， 0.3)，X 的可能取值为 0， 1， 2， 3， 其中 P(X k) Ck3(0.3)k (1 0.3)3 k. 故 P(X 0) C03 0.30 (1 0.3)
11、3 0.343， P(X 1) C13 0.3 (1 0.3)2 0.441， P(X 2) C23 0.32 (1 0.3) 0.189， P(X 3) C33 0.33 0.027， 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 11.(2016 郑州二模 )先后掷骰子两次 ， 落在水平桌面后 ， 记正面朝上的点数分别为 x， y，设事件 A 为 “ x y 为偶数 ” ， 事件 B 为 “ x y” ， 则概率 P(B|A) ( ) A.12 B.14 C.13 D.23 解析 若 x y 为偶数 ， 则 x， y 两数均为奇数或均为偶数 .
12、故 P(A) 2 3 36 6 12， 又 A， B同时发生 ， 基本事件一共有 233 6 12 个 ， P(AB) 126 6 13， P(B|A) P（ AB）P（ A）1312 23. 答案 D 12.(2017 长沙模拟 )排球比赛的规则是 5 局 3 胜制 (无平局 )， 甲在每局比赛获胜的概率都为 23， 前 2 局中乙队以 2 0 领先 ， 则最后乙队获胜的概率是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.49 B.827 C.1927 D.4081 解析 乙队 30 获胜的概率为 13， 乙队 31 获胜的概率为 23 13 29， 乙队 32 获胜的概率为 ? ?232
13、 13 427. 最后乙队获胜的概率为 P 13 29 427 1927， 故选 C. 答案 C 13.某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成 ， 元件 1 或元件 2 正常工作 ， 且元件 3 正常工作 ， 则部件正常工作 .设三个电子元件的使用寿命 (单位：小时 )均服从正态分布 N(1 000， 502)， 且各个元件能否正常工作相互独立 ， 那么该部件的使用寿命超过 1 000小时的概率为 _. 解析 设元件 1， 2， 3 的使用寿命超过 1 000 小时的事件分别记为 A， B， C， 显然 P(A) P(B) P(C) 12， 该部件的使用寿命超过 1 000 小时的事件为
14、 (AB AB AB)C， 该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率 P ? ?12 12 12 12 12 12 12 38. 答案 38 14.(2016 山东卷节选 )甲、乙两人组成 “ 星队 ” 参加猜成语活动 ， 每轮活动由甲、乙各猜一个成语 ， 在一轮活动中 ， 如果两人都猜对 ， 则 “ 星对 ” 得 3 分；如果只有一人猜对 ，则 “ 星对 ” 得 1 分；如果两人都没猜对 ， 则 “ 星对 ” 得 0 分 .已知甲每轮猜对的概率是 34，乙每轮猜对的概率是 23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响 ， 各轮结果亦互不影响 .假设 “ 星队 ” 参加两轮活动 ， 求： (1)
15、“ 星队 ” 至少猜对 3 个成语的概率； (2)“ 星队 ” 两轮得分之和 X 的分布列 . 解 (1)记事件 A： “ 甲第一轮猜对 ” ， 记事件 B： “ 乙第一轮猜对 ” ， 记事件 C： “ 甲第二轮猜对 ” ， 记事件 D： “ 乙第二轮猜对 ” ， 记事件 E： “ 星队 至少猜对 3 个成语 ”. 由题意 ， E ABCD A BCD AB CD ABC D ABCD . 由 事件的独立性与互斥性 ， 得 =【 ;精品教育资源文库 】 = P(E) P(ABCD) P(A BCD) P(AB CD) P(ABC D) P(ABCD ) P(A)P(B)P(C)P(D) P(A )P(B)P(C)P(D) P(A)P(B )P(C)P(D) P(A)P(B)P(C )P(D) P(A)P(B)P(C)P(D ) 34 23 34 23 2 ? ?14 23 34 23 34 13 34 23 23. 所以 “ 星队 ” 至少猜对 3 个成语的概率为 23. (2)由题意 ， 随机变量 X 可能的取值为 0， 1， 2， 3， 4， 6. 由事件的独立性与互斥性 ， 得 P(X 0) 14 13 14 13 1144， P(X 1) 2 ? ?34 13 14 13 14
