1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 最新考纲 考情考向分析 1.了解任意角的概念和弧度制的概念 2.能进行弧度与角度的互化 3.理解任意角三角函数 (正弦、余弦、正切 )的定义 . 以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主，常与向量、三角恒等变换相结合，考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识题型以选择题为主，低档难度 . 1角的概念 (1)任意角： 定义：角可以看成平面内 一条射线 绕着端点从一个位置旋转到另 一个位置所成的 图形 ； 分类：角按旋转方向分为 正角 、 负
2、角 和 零角 (2)所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成的角的集合是 S | k360 ， k Z (3)象限角：使角的顶点与 原点 重合，角的始边与 x 轴的非负半轴 重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限 2弧度制 (1)定义：把长度等于 半径 长的弧所对的圆心角叫作 1弧度的角，用符号 rad表示，读作弧度正角的弧度数是一个 正数 ，负角的弧度数是一个 负数 ，零角的弧度数是 0. (2)角度制和弧度制的互化： 180 rad,1 180 rad， 1 rad ? ?180 . (3)扇形的弧长公式： l |
3、| r，扇形的面积公式： S 12lr 12| | r2. 3任意角的三角函数 任意角 的终边与单位圆交于点 P(x， y)时， 则 sin y， cos x， tan yx(x0) 三个三角函数的性质如下表： =【 ;精品教育资源文库 】 = 三 角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin R cos R tan | k 2 ，k Z 4.三角函数线 如下图，设角 的终边与单位圆交于点 P，过 P 作 PM x 轴，垂足为 M，过 A(1,0)作单位圆的切线与 的终边或终边的反向延长线相交于点 T. 三角函数线 有向线段 MP为正弦线；有向线段 OM为余弦
4、线；有向线段 AT 为正切线 知识拓展 1三角函数值的符号规律 三角 函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦 2任意角的三角函数的定义 (推广 ) 设 P(x， y)是角 终边上异于顶点的任一点，其到原点 O 的距离为 r，则 sin yr， cos xr， tan yx(x0) =【 ;精品教育资源文库 】 = 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角 ( ) (2)角 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关 ( ) (3)不相等的角终边一 定不相同 ( ) (4)若 为第一象限角，则 si
5、n cos 1.( ) 题组二 教材改编 2角 225 弧度，这个角在第 象限 答案 54 二 3设角 的终边经过点 P(4， 3)，那么 2cos sin . 答案 115 解析 由已知并结合三角函数的定义，得 sin 35， cos 45，所以 2cos sin 2 45 ? ? 35 115. 4一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为 弧度 答案 3 题组三 易错自纠 5 (2018 秦皇岛模拟 )下列与 94 的终边相同的角的表达式中正确的是 ( ) A 2k 45( k Z) B k360 94 (k Z) C k360 315( k Z) D k 54 (k Z) 答案 C
6、解析 与 94 的终边相同的角可以写成 2k 94 (k Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案 C 正确 =【 ;精品教育资源文库 】 = 6集合? ? k 4 k 2 ， k Z 中的角所表示的范围 (阴影部分 )是 ( ) 答案 C 解析 当 k 2n(n Z)时， 2n 4 2 n 2 ，此时 表示的范围与 4 2 表示的范围一样；当 k 2n 1 (n Z)时， 2n 4 2 n 2 ，此时 表示的范围与 4 2 表示的范围一样，故选 C. 7已知角 ( 0， 4m264m2 9125，即 m12. (2)设 是第三象限角，且 ? ?cos 2 cos 2 ，则 2 是 (
7、) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 答案 B 解析 由 是第三象限角知， 2 为第二或第四象限角， ? ?cos 2 cos 2 ， cos 20，1 2cos x0 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即? sin x12，cos x 12，如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为 ?2k 3 ， 2k 56 (k Z) 思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角 终边上一点 P 的坐标可求 的三角函数值；已知角 的三 角函数值，也可以求出点 P 的坐标 (2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围 跟踪训
8、练 (1)(2017 济南模拟 )已知点 P(tan ， cos )在第三象限，则角 的终边在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 B 解析 tan 0， cos 0， 在第二象限 (2)(2017 石家庄模拟 )若 34 2 ，从单位圆中的三角函数线观察 sin ， cos ，tan 的大小是 ( ) A sin tan cos B cos sin tan C sin cos tan D tan sin cos 答案 C 解析 如图，作出角 的正弦线 MP，余弦线 OM，正切线 AT， 观察可知 sin cos tan . =【 ;精品教育资源文库 】 = 数形结合思
9、想在三角函数中的应用 典例 (1)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在 (0,1)，此时圆上一点 P 的位置在 (0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于 C(2,1)时， OP 的坐标为 (2)(2017 合肥调研 )函数 y lg(3 4sin2x)的定义域为 思想方法指导 在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集 解析 (1)如图所示， 过圆心 C 作 x 轴的垂线，垂足为 A，过 P 作 x 轴的垂线与过 C 作 y 轴的垂线交于点 B.因为圆心移动的距离为 2，所以劣弧 PA 2，即圆心角 PCA 2， 则 PCB 2 2 ，所以 PB sin? ?2 2 cos 2， CB cos? ?2 2 sin 2，设点 P(xP， yP)， 所以 xP 2 CB 2 sin 2， yP 1 PB 1 cos 2， 所以 OP (2 sin 2,1 cos 2) (2)因为 3 4sin2x 0， 所以 sin2x 34， 所以 32 sin x 32 . 利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围 (如图阴影部分所示 )， 所以 x ? ?k 3 ， k 3 (k Z)
