1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 讲 函数 y Asin(x )的图像及应用 一、选择题 1.(2016 全国 卷 )若将函数 y 2sin 2x 的图像向左平移 12个单位长度 ， 则平移后图像的对称轴为 ( ) A.x k2 6(k Z) B.x k2 6(k Z) C.x k2 12(k Z) D.x k2 12(k Z) 解析 由题意 将函数 y 2sin 2x 的图像向左平移 12个单位长度后得到函数的解析式为 y 2sin? ?2x 6 ， 由 2x 6 k 2 得函数的对称轴为 x k2 6(k Z)， 故选 B. 答案 B 2.(2017 衡水中学金卷 )若函数 y s
2、in(x )( 0， | |0)个单位后的图像关于 y 轴对称 ， 则 a 的最小值是 ( ) A. 6 B. 3 C. 2 D.23 解析 依题意得 f(x) 2sin? ?x 6 ， 因为函数 f(x a) 2sin? ?x a 6 的图像关于 y轴对称 ， 所以 sin? ? a 6 1 ， a 6 k 2 ， k Z， 即 a k 3 ， k Z， =【 ;精品教育资源文库 】 = 因此正数 a 的最小值是 3 ， 选 B. 答案 B 4.(2016 长沙模拟 )函数 f(x) 3sin 2x log12x 的零点的个数是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析 函数 y 3si
3、n 2x 的周期 T 22 4， 由 log12x 3， 可得 x 18.由 log12x 3， 可得 x 8.在同一平面直角坐标系中 ， 作出函数 y 3sin 2x和 y log12x的图像 (如图所示 )，易知有 5 个交点 ， 故函数 f(x)有 5 个零点 . 答案 D 5.(2017 宜春 调研 )如图是函数 f(x) sin 2x 和函数 g(x)的部分图像 ， 则 g(x)的图像可能是由 f(x)的图像 ( ) A.向右平移 23 个单位得到的 B.向右平移 3 个单位得到的 C.向右平移 712 个单位得到的 D.向右 平移 6 个单位得到的 解析 由函数 f(x) sin
4、2x 和函数 g(x)的部分图像 ， 可得 g(x)的图像位于 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 m， 则有 1724 m 4 8 ， 解得 m 712 ， 故把函数 f(x) sin 2x的图像向右平移 712 4 3 个 单 位 ，即可得到函数 g(x)的图像 ， 故选 B. 答案 B 二、填空题 6.(2016 龙岩模拟 )某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数 y a=【 ;精品教育资源文库 】 = Acos? ? 6 （ x 6） (x 1， 2， 3，?， 12)来表示 ， 已知 6 月份的月平均气温最高为 28 ，12 月份的月平均气温最低为 18 ， 则
5、 10 月份的平均气 温为 _ . 解析 因为当 x 6 时 ， y a A 28； 当 x 12 时 ， y a A 18， 所以 a 23， A 5， 所以 y f(x) 23 5cos? ? 6 （ x 6） ， 所以当 x 10 时 ， f(10) 23 5cos? ? 6 4 23 5 12 20.5. 答案 20.5 7.(2016 全国 卷 )函数 y sin x 3cos x 的图像可由函数 y sin x 3cos x 的图像至少向右平移 _个单位长度得到 . 解 析 y sin x 3cos x 2sin? ?x 3 ， y sin x 3cos x 2sin? ?x 3
6、， 因此至少向右平移 23 个单位长度得到 . 答案 23 8.已知函数 f(x) sin(x )? ? 0， 2 2 的图像上的两个相邻的最高点和最 低点的距离为 2 2， 且过点 ? ?2， 12 ， 则函数 f(x)的解析式为 _. 解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为 2 2， 可得 ? ?T22（ 1 1） 2 2 2， 解得T 4， 故 2T 2 ， 即 f(x) sin? ? x2 .又函数图像过点 ? ?2， 12 ， 故 f(2) sin? ? 2 2 sin 12， 又 2 2 ， 解得 6 ， 故 f(x) sin? ? x2 6 . 答案 f(x) sin? ? x2
7、 6 =【 ;精品教育资源文库 】 = 三、解答题 9.已知函数 f(x) sin x cos? ? x 6 ， 其中 x R， 0. (1)当 1 时 ， 求 f? ? 3 的值； (2)当 f(x)的最小正周 期为 时 ， 求 f(x)在 ? ?0， 4 上取得最大值时 x 的值 . 解 (1)当 1 时 ， f? ? 3 sin 3 cos 2 32 0 32 . (2)f(x) sin x cos? ? x 6 sin x 32 cos x 12sin x 12sin x 32 cos x sin? ? x 3 . 2| | ， 且 0， 得 2， f(x) sin? ?2x 3 .
8、由 x ? ?0， 4 ， 得 2x 3 ? ? 3 ， 56 ， 当 2x 3 2 ， 即 x 12时 ， f(x)max 1. 10.已知函数 f(x) 3sin(x )? ? 0， 2 2 的图像关于直线 x 3 对称 ，且图像上相邻最高点的距离为 . (1)求 f? ? 4 的值； (2)将函数 y f(x)的图像向右平移 12个单位后 ， 得到 y g(x)的图像 ， 求 g(x)的单调递减区间 . 解 (1)因为 f(x)的图像上相邻最高点的距离为 ， 所以 f(x)的最小正周期 T ， 从而 2T 2. 又 f(x)的图像关于直线 x 3 对称 ， 所以 2 3 k 2(k Z)
9、， 因为 2 2 ，所以 k 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 2 23 6 ， 所以 f(x) 3sin? ?2x 6 ， 则 f? ? 4 3sin? ?2 4 6 3sin 3 32. (2)将 f(x)的图像向右平移 12个单位后 ， 得到 f? ?x 12 的图像 ， 所以 g(x) f? ?x 12 3sin? ?2? ?x 12 6 3sin? ?2x 3 . 当 2k 2 2x 3 2k 32 (k Z)， 即 k 512 x k 1112 (k Z)时 ， g(x)单调递减 . 因此 g(x)的单调递减区间为 ? ?k 512 ， k 1112 (k Z). 11
10、.(2017 西安调研 )设函数 f(x) sin? ?2x 6 ， 则下列结论正确的是 ( ) A.f(x)的图像关于直线 x 3 对称 B.f(x)的图像关于点 ? ? 6 ， 0 对称 C.f(x)的最小正周期为 ， 且在 ? ?0， 12 上为增函数 D.把 f(x)的图像向右平移 12个单位 ， 得到一个偶函数的图像 解析 对于函数 f(x) sin? ?2x 6 ， 当 x 3 时 ， f? ? 3 sin 56 12， 故 A 错；当 x 6 时 ， f? ? 6 sin 2 1， 故 ? ? 6 ， 0 不是函数的对称点 ， 故 B 错；函数的最小正周期为 T 22 ， 当 x
11、 ? ?0， 12 时 ， 2x 6 ? ? 6 ， 3 ， 此时函数为增函数 ， 故 C 正确； =【 ;精品教育资源文库 】 = 把 f(x)的图像向右 平移 12个单位 ， 得到 g(x) sin? ?2? ?x 12 6 sin 2x， 函数是奇函数 ， 故 D 错 . 答案 C 12.(2017 南昌 一模 )已知函数 f(x) 2sin x 在区间 ? ? 3 ， 4 上的最小值为 2， 则 的取值范围是 ( ) A.? ? ， 92 6， ) B.? ? ， 92 ? ?32， C.( ， 26 ， ) D.( ， 2 ? ?32， 解析 当 0 时 ， 3 x 4 ， 由题意知
12、 3 2 ， 即 32；当 0)， x R.在曲线 y f(x)与直线 y 1 的交点中 ， 若相邻 交点距离的最小值为 3 ，则 f(x)的最小正周期为 _. 解析 f(x) 3sin x cos x 2sin? ? x 6 . 由 2sin? ? x 6 1 得 sin? ? x 6 12， x 6 2k 6 或 x 6 2k 56 (k Z). 令 k 0， 得 x 1 6 6 ， x2 6 56 ， x1 0， x2 23 . 由 |x1 x2| 3 ， 得 23 3 ， 2. 故 f(x)的最小正周期 T 22 . 答案 14.(2017 郑州模拟 )某同学用 “ 五点法 ” 画函数
13、 f(x) Asin(x )? ? 0， | | 2=【 ;精品教育资源文库 】 = 在某一个周期内的图像时 ， 列表并填入了部分数 据，如下表： x 0 2 32 2 x 3 56 Asin(x ) 0 5 5 0 (1)请将上表数据补充完整 ， 并求出函数 f(x)的解析式； (2)将 y f(x)的图像向左平移 6 个单位 ， 得到函数 y g(x)的图像 .若关于 x的方程 g(x) (2m 1) 0 在区间 ? ?0， 2 上有两个不同的解 ， 求实数 m 的取值范围 . 解 (1)根据表中已知数据 ， 解得 A 5， 2， 6. 数据补全如下表： x 0 2 32 2 x 12 3 712 56 1312 Asin(x ) 0 5 0 5 0 且函数表达式为 f(x) 5sin? ?2x 6 . (2)通过平移 ， g(x) 5sin? ?2x 6 ， 方程 g(x) (2m 1) 0 可看成函数 y g(x)和函数 y 2m 1 的图像在 ? ?0， 2 上有两个交点 ， 当 x ? ?0， 2 时 ， 2x 6 ? ? 6 ， 76 ， 为使直线 y 2m 1 与函数 y g(x)的图像在?0， 2 上有两个交点 ， 结合函数 y g(x)在 0，2上的图像 ， 只需 52 2m 15， 解得 34 m2. 即实数 m 的取值范围为 ? ?34， 2 .
