1、天津大学电信学院天津大学电信学院电路分析基础第十一章 交流电路的功率分析2022-6-9天津大学电信学院2本章主要内容本章主要内容本章概述2022-6-9天津大学电信学院311.1 瞬时功率1、定义、定义( )cos()( )cos()mvmiv tVti tIt单口网络的端口电压、电流分别为单口网络的端口电压、电流分别为:则该单口网络吸收的则该单口网络吸收的瞬时功率瞬时功率定义为定义为:( ) ( )cos()cos() 11cos(2)2cos ()2mmvimiimvvmmV IVpv t i tVtIItt:vi电压电流相位差2022-6-9天津大学电信学院411.1 瞬时功率常数项常
2、数项, 反映了单口网络反映了单口网络吸收的电能吸收的电能周期正弦函数周期正弦函数, 反映单口网络反映单口网络与外部电路交换能量与外部电路交换能量 p0表示电路吸收功率表示电路吸收功率, p0表示电路发出功率表示电路发出功率, 单口网络与单口网络与外电路之间有能量交换外电路之间有能量交换.11coscos(2)22mmmmvipV IV It2022-6-9天津大学电信学院52、电阻、电容、电感的瞬时功率、电阻、电容、电感的瞬时功率11coscos(2)22mmmmvipV IV It(a):,=,0vi电阻 电压和电流同相位 即有11( )cos(2)22RmmmmviptV IV It(b)
3、:90 ,90 ,90vi电感 电压超前电流即有L11( )cos(2290 )sin(22)22mmimmiptV ItV It C11( )cos(2290 )sin(22 )22mmimmiptV ItV It (c):90 ,90 ,90iv 电容 电流超前电压即有11.1 瞬时功率2022-6-9天津大学电信学院611.1 瞬时功率例例1 电路图如下图所示电路图如下图所示, 求电阻、电感和电源吸收的瞬时功率求电阻、电感和电源吸收的瞬时功率.(练习练习11.1 pp.375)12 0200400SSj VV2147 21.56 VSV( )2147cos(200021.56 ) VSv
4、tt( )( ) ( )SSSptvt i t( )( )12cos200020012cos200010.735cos(200021.56 )SLvti tttt2R( )( ) ( )( )RRSptvt itvtR( )( ) ( )( ) ( )LLLSLptvt i tvt i t2022-6-9天津大学电信学院711.2 平均功率 平均功率平均功率: 瞬时功率在一个周期内的平均值瞬时功率在一个周期内的平均值1、定义、定义0001( )11cos()cos(2)2211cos()cos22TTTmmvimmvimmvimmPp t dtTV IdtV ItdtTTV IV I1( )c
5、o1cos)2s2(2mmvimmviV Ip tV It1cos2mmPV I 电压和电流的相位差电压和电流的相位差2022-6-9天津大学电信学院811.2 平均功率11cos()cos22mmvimmPV IV I2、电阻、电容、电感的平均功率、电阻、电容、电感的平均功率(a):,=,0vi电阻 电压和电流同相位 即有2211222mRmmmVPV II RR(b):90 ,90 ,90vi电感 电压超前电流即有L1cos9002mmPV I C1cos( 90 )02mmPV I (c):90 ,90 ,90iv 电容 电流超前电压即有2022-6-9天津大学电信学院911.2 平均功
6、率2211222mRmmmVPV II RRLC0PP 平均功率平均功率与电压与电压/电流电流的的振幅振幅有关有关, 还还与电压和电流与电压和电流的的相位差相位差( )有关有关. 平均功率表示电路实际消耗的功率平均功率表示电路实际消耗的功率, 实际上是电阻实际上是电阻消耗的功率消耗的功率, 亦称为亦称为有功功率有功功率. 正弦激励下正弦激励下, 电感和电容吸收的平均功率为零电感和电容吸收的平均功率为零.11cos()cos22mmvimmPV IV I2022-6-9天津大学电信学院1011.2 平均功率例例2 给定时域电压给定时域电压v=4cos( t/6), 阻抗阻抗Z=2 60, 阻抗上
7、的相量电阻抗上的相量电压压V=4 0 V, 求阻抗上的瞬时功率和平均功率求阻抗上的瞬时功率和平均功率.(例例11.2 pp.377)11cos()(4)(2)cos602W22mmviPV I ( )4cosV4 0 V6tv t V4 0260 A2 60 VIZ( )( ) ( )2cos4cos6024cos60W663tttp tv t i t ( )2cos60A6ti t( )4cosV6tv t2022-6-9天津大学电信学院1111.2 平均功率例例3 电流电流I=5 20 A, 流过阻抗流过阻抗ZL=8j11 , 求电流提供的平求电流提供的平均功率均功率.(例例11.3 pp
8、.379)5 20 A I(5 20 )(13.654 )6834 A VIZ1cos()2168 5 cos( 54 )100W2SmmviPV I 阻抗中仅电阻部分吸收平均功率阻抗中仅电阻部分吸收平均功率:2211| |(5)8100W22RPR I2022-6-9天津大学电信学院1211.2 平均功率练习练习1 电流电流I=2+j5A, 流过阻抗流过阻抗ZL=6 25 , 计算阻抗获得的平计算阻抗获得的平均功率均功率.(练习练习11.3 pp.379)2211| |(5.385)5.43878.85W22RPRI阻抗中仅电阻部分吸收平均功率阻抗中仅电阻部分吸收平均功率:255.385 6
9、8.2 AjI6 255.4382.536Lj Z(5.385 68.2 )(6 25 )32.31 93.2 VVIZ11cos()32.31 5.385 cos(25 )78.85 W22RmmviPV I 2022-6-9天津大学电信学院1311.2 平均功率例例3 电路图如下图所示电路图如下图所示, 计算各无源元件吸收的平均功率计算各无源元件吸收的平均功率, 以及以及两电源提供的平均功率两电源提供的平均功率.(例例11.4 pp.379)112212:20 052()0:2()210 0012jj IIIIII网孔网孔1251011.1863.43 A557.07145 AjjII12
10、5590 Aj II215225W2RP 0 WLCPP1(20) 11.18 cos63.4350W2leftP 1(10)(7.071)cos4525W2rightP 2022-6-9天津大学电信学院1411.2 平均功率练习练习2 电路图如下图所示电路图如下图所示, 计算各无源元件吸收的平均功率计算各无源元件吸收的平均功率, 以以及两电源提供的平均功率及两电源提供的平均功率. (练习练习11.4 pp.380)112212:10 50452()0:2()1012050jjIIIIII网孔网孔120.220537.82 A0.0466487.79 AII120.17240.08860.19
11、3827.2 AjII221(0.1938)237.56 mW2P1(10)(0.2205)cos(5037.82 )41.94 mW2leftP 0 WLCPP1(5)(0.04664)cos(87.79 )4.4 mW2rightP 2022-6-9天津大学电信学院153、正弦稳态电路最大功率传输定理、正弦稳态电路最大功率传输定理 共轭匹配共轭匹配:如果负载阻抗如果负载阻抗ZL的模和相角都可改变的模和相角都可改变, 一个与阻一个与阻抗抗Zth相串联的独立电压源相串联的独立电压源, 当负载阻抗当负载阻抗ZL等于等于Zth的复共轭的复共轭(即即ZL = Zth*), 提供给负载阻抗提供给负载阻
12、抗ZL的的平均功率平均功率最大最大.11.2 平均功率LLLthththRRZZXX 2LmaxL8thPRV2022-6-9天津大学电信学院16()thththLthLththLLthLthLRjXRjXRRj XXVVVIZ11.2 平均功率22221|22 ()()thLLLthLthLRPRRRXXVILLLRjXZ共轭匹配最大功率传输共轭匹配最大功率传输: (ZL的幅度和相角都可改变的幅度和相角都可改变)2022-6-9天津大学电信学院1722221| |22 ()()thLLthLthLRPRRRXXVI222222()()2()02 ()()ththLthLLthLLthLthL
13、RRXXRRRdPdRRRXXV2222()0()()thLthLLthLthLRXXdPdXRRXXV*LLLL,thththRRXXZ ZZ当满足时即且取得最大功率222LLmax222LL12 (2)82 ()()thLthththLthLRRPRRRRXXVVVLthRRLthXX 11.2 平均功率2022-6-9天津大学电信学院18 模匹配模匹配: 如果负载阻抗如果负载阻抗ZL的模的模|ZL|可以改变可以改变, 阻抗角阻抗角 L不能改不能改变时变时, 则则当当|ZL|等于等于|Zth|的模值时的模值时, 该网络提供给负载该网络提供给负载阻抗阻抗ZL的平均功率最大的平均功率最大.11
14、.2 平均功率22LthththZZRX2LLmax22LLcos2 (cos)(sin)ththththththPRXVZZZ2022-6-9天津大学电信学院1911.2 平均功率4、正弦量的最大值、有效值和平均值、正弦量的最大值、有效值和平均值 目的目的: 方便地测量交流电压源或电流源传递给电阻的有效功方便地测量交流电压源或电流源传递给电阻的有效功率率(平均功率平均功率). 当周期信号和直流信号分别通过两个相等的电阻时当周期信号和直流信号分别通过两个相等的电阻时, 如果在如果在一个周期一个周期T内内, 两电阻消耗的能量相等两电阻消耗的能量相等, 则称该直流信号的数则称该直流信号的数值为周期
15、信号的值为周期信号的有效值有效值.Ri(t)RI20( ) dTACWi t R t2DCWI RT220( )TI RTi t Rdt201( )TIi t dtT2022-6-9天津大学电信学院2011.2 平均功率222effrms002011( )sin ()1112cos()0.70722TTmiTmmimIIit dtItdtTTIItdtITeffrms0.7072mmVVVVeffrms():,:,():mvVVV瞬时值最大值 振幅有效值 正弦量的有效值又称为正弦量的有效值又称为均方根值均方根值 (root-mean-square: rms).2022-6-9天津大学电信学院2
16、111.2 平均功率平均值平均值: 指正弦量在一个周期内指正弦量在一个周期内绝对值绝对值的平均值的平均值.sin()mvVt2ave00122sin()sin0.637TTmmmmVVtdtVt dtVVTTrmsavermsave120.707,0.6372mmmmmVVVVVVVVV最大值、有效值、平均值之间的关系:2022-6-9天津大学电信学院2211.2 平均功率5、平均功率的有效值表示形式、平均功率的有效值表示形式22rmsrmsVPIRR221122mmVPI RRrmsrms,22mmVIVIrmsrms( )cos() V2cos() V( )cos() A2cos() Am
17、vvmiiv tVtVti tItIt2Lmaxx2LmaLL(4(8)hhttPPRRVV最大值形式有效值形式有效值表示情况下的共轭匹配最大功率传输定理有效值表示情况下的共轭匹配最大功率传输定理2022-6-9天津大学电信学院23例例4 电路图如下图所示电路图如下图所示, (a)在在a点和点和b点之间应接入多大负载阻抗点之间应接入多大负载阻抗ZL才能吸收最大平均功率才能吸收最大平均功率, (b)最大平均功率最大平均功率.(习题习题11.20 pp.397)11.2 平均功率80| 6028.838.4thjjZ28.838.4,LthLjZZZ时取得最大功率(28.838.4)144192
18、V240 53 VthjjVI22LmaxL240250 W8828.8thPRV2022-6-9天津大学电信学院2411.2 平均功率28.838.4,LthLjZZZ时取得最大功率80| 6028.838.4thjjZ(28.838.4)24rm0s53 V thjVI22LmaxL240500 W4428.8thVPR有效值表示情况下的共轭匹配最大功率传输定理有效值表示情况下的共轭匹配最大功率传输定理2022-6-9天津大学电信学院2513.3 理想变压器100 rad/s40mH450F200jjLin22002100jja ZZ例例5 下图所示电路中下图所示电路中, 求求ZL为何值时
19、能获得最大功率为何值时能获得最大功率Pmax, 并并求求Pmax.2022-6-9天津大学电信学院2613.3 理想变压器TH112 450 V14212jj VTH1|(142)0.750.25jjjZLTHL0.750.25,jZZZ当时取得最大功率2THmaxTH1 21W880.7512VPR2022-6-9天津大学电信学院2711.2 平均功率6、不同频信号的平均功率、不同频信号的平均功率112212( )coscos,mmi tItIt2002222112212120221212120221212121201211( )coscos2coscos112coscos2211cos()
20、cos()22TTTmmmmTmmmmTmmmmPpdtRi t dtTTRItItI Itt dtTRI RIRI IttdtTRI RIRI ItdtTPP2022-6-9天津大学电信学院2811.2 平均功率1122( )coscoscosmmmNNi tItItIt1122( )coscoscosmmmNNv tVtVtVt2221222212121()21()2mmmNmmmNNPIIIRVVVRPPP2022-6-9天津大学电信学院2911.2 平均功率例例6 当当4 电阻分别流过电阻分别流过 (a) i=2cos10t3cos20t; (b)i=2cos10t3cos10t时时,
21、 计算电阻吸收的功率计算电阻吸收的功率. (例例11.6/11.7 pp.383)2211(2 )4(3 )426W22P 22cos103cos10cos10ittt 21(1 )42W2P (a)2cos103cos20 Aitt(b)2cos103cos10 Aitt2022-6-9天津大学电信学院3011.2 平均功率练习练习4 将以下电压源加在将以下电压源加在4 电阻两端时电阻两端时, 计算电阻吸收的功率计算电阻吸收的功率. (练习练习11.6 pp.383)21(8 )8W24P 8sin2006cos(20045 )5.667cos(200138.5 )vttt 221(8 )1
22、(4 )10W2424P (a)8sin200 Vvt(b)8sin2006cos(20045 ) Vvtt21(5.667 )4.014W24P (c)8sin2004sin100 Vvtt(d)8sin2006cos(20045 )5sin1004 Vvttt 5.667cos(200138.5 )5sin1004vtt 2221(5.667 )1(5 )(4 )11.14W24244P 2022-6-9天津大学电信学院3111.3无功功率、视在功率和功率因数1、无功功率、无功功率11sin()sin22mmvimmQV IV I 无功功率反映端口内部电抗元件与外部电路能量交换的速无功功率
23、反映端口内部电抗元件与外部电路能量交换的速率率. 单位为乏单位为乏(Var)( )cos()( )cos()mvmiv tVti tIt单口网络的端口电压、电流分别为单口网络的端口电压、电流分别为:2022-6-9天津大学电信学院3211sin()sin22mmvimmQV IV I(a):=,0vi电阻0RQ (b):90 ,90vi电感2L1111sin90()2222mmmmmmmLPV IV IL IILIW (c):90 ,90iv 电容2C1111sin( 90 )2222mmmmmmmCPV IV IVCVCVW 11.3 无功功率、视在功率和功率因数2022-6-9天津大学电信
24、学院332、视在功率、视在功率 定义为定义为电流和电压有效值的乘积电流和电压有效值的乘积. 反映了电器设备的容量反映了电器设备的容量, 常以常以额定功率额定功率形式出现形式出现. 单位为伏安单位为伏安(VA).rmsrms2mmVISVI11.3 无功功率、视在功率和功率因数rmsrms11cos()coscos22mmvimmPV IV IVI2022-6-9天津大学电信学院3411.3 无功功率、视在功率和功率因数3、功率因数、功率因数 (power factor)1cos2PFcoscos()12mmvimmV IV I平均功率视在功率 功率因数角功率因数角 定义定义: 平均功率与视在功
25、率的比值平均功率与视在功率的比值. 是电压和电流间相位差的余弦值是电压和电流间相位差的余弦值, 同时也是负载阻抗角的同时也是负载阻抗角的余弦值余弦值.(a):=,0PF1(b):90 ,90PFcos900(c):90 ,90PFcos( 90 )0viRviLivC 电阻电感电容mvmmvimimimiVVVIIIVZI 阻抗角阻抗角2022-6-9天津大学电信学院35例例7 计算下图所示电路中每个负载获得的平均功率、电源提计算下图所示电路中每个负载获得的平均功率、电源提供的视在功率供的视在功率, 以及组合负载的功率因数以及组合负载的功率因数. (例例11.8 pp.388)60 01253
26、.13 Arms5 53.13SSL VIZ21 15345 53.13Ljjj Z2221152288W,1 144WjeffjeffPIPI60Vrms,12ArmseffeffVI:60 12720VAeffeffSV I电源的视在功率288144PF0.6720平均功率视在功率PFcos()cos 0( 53.13 )cos53.130.6vi 11.3 无功功率、视在功率和功率因数2022-6-9天津大学电信学院36练习练习5 求下图所示电路中复合负载的功率因数求下图所示电路中复合负载的功率因数. (练习练习11.8 pp.389)60 04.984.76 Arms12.04 4.7
27、6SSL VIZ21 10121 12.04 4.76LjjZ222115249.6W,10248WjeffjeffPIPI60Vrms,4.98ArmseffeffVI:60 4.98298.8VAeffeffSV I电源的视在功率24849.6PF0.9966298.8平均功率视在功率11.3 无功功率、视在功率和功率因数2022-6-9天津大学电信学院3711.4 复功率1、定义、定义 目的目的: 在统一的框架下表示各种交流电路的功率在统一的框架下表示各种交流电路的功率. 定义定义: 端口电压相量端口电压相量(有效值形式有效值形式)与端口电流相量与端口电流相量(有效值有效值形式形式)共轭
28、复数的乘积共轭复数的乘积. 单位单位: 伏安伏安(VA)()rmsrmsrmsrmsrmsrmsvijjVIeVIeSVIeffeffeffeffcos()cos()viVtItVI单口网络的端口电压、电流分别为单口网络的端口电压、电流分别为:2022-6-9天津大学电信学院38()rmsrmsrmsrmsrmsrmsvijjVIeVIeSVI2、电阻、电容、电感的复功率、电阻、电容、电感的复功率(a):,=,0vi电阻 电压和电流同相位 即有202rmsrmsrmsrmsrmsrmsjVVIeVIIRRS(b):90 ,90 ,90vi电感 电压超前电流即有90rmsrmsrmsrmsjVI
29、ejVIS90rmsrmsrmsrmsjVIejVI S(c):90 ,90 ,90iv 电容 电流超前电压即有11.4 复功率2022-6-9天津大学电信学院393、复功率、平均功率、无功功率、视在功率的关系、复功率、平均功率、无功功率、视在功率的关系rmsrms1:coscosRe cos2mmPV IVISS平平均均功功率率22rmsrms:|mmSV IVIPQS视在在功功率率rmsrmsrmsrms1:2VIPjQSVIVI复复功功率率vi11.4 复功率rmsrms1:sinsinIm sin2mmQV IVISS无功功功功率率: PFcosPS数功功率率因因2022-6-9天津大
30、学电信学院40术语术语符号符号单位单位描述描述瞬时功率瞬时功率p瓦特瓦特(W) 某个时刻电压瞬时值和电流瞬时值的乘积某个时刻电压瞬时值和电流瞬时值的乘积平均功率平均功率P瓦特瓦特(W) 瞬时功率在一个周期内的平均值瞬时功率在一个周期内的平均值无功功率无功功率Q乏乏(VAR) 反映能量流入和流出电抗负载的速率反映能量流入和流出电抗负载的速率视在功率视在功率S伏安伏安(VA) 平均功率能够达到的最大值平均功率能够达到的最大值, 复功率的模值复功率的模值功率因数功率因数PF平均功率与视在功率的比值平均功率与视在功率的比值纯电阻负载纯电阻负载PF=1, 纯电抗负载纯电抗负载PF=0复功率复功率S伏安伏
31、安(VA) 平均功率和无功功率的合成平均功率和无功功率的合成11.4 复功率2022-6-9天津大学电信学院415、复功率守恒定理、复功率守恒定理 在正弦稳态下在正弦稳态下, 任意电路的复功率具有守恒性任意电路的复功率具有守恒性, 即电路中即电路中各支路吸收的复功率之代数和为零各支路吸收的复功率之代数和为零. 网络中的平均功率、无功功率和复功率都守恒网络中的平均功率、无功功率和复功率都守恒.4、功率三角形、功率三角形PjQSS 复功率的实部是平均功率复功率的实部是平均功率, 虚部虚部是无功功率是无功功率, 模值是视在功率模值是视在功率.11.4 复功率2022-6-9天津大学电信学院42例例8
32、 计算下图电路中各元件吸收的复功率计算下图电路中各元件吸收的复功率.(练习练习11.9 pp.394)1 (510)/1023.2625.46jj Z1205.159 25.46 A23.2625.46I221eff(5.159)126.62 (VA)IR S(510)|(10)22.3626.57 jj 22.3626.57120 0115.41.11 V rms122.3626.57 11.4 复功率1115.41.1151010.3264.54 A rmsjI5+ 10(115.41.11 )(10.32 64.54 )1191 63.43532.41065(VA)jj S2022-6-
33、9天津大学电信学院431200(120 0 )(5.159 25.46 )691.1 154.5559266(VA)j S12001105+ 10(532.4+26.6559)(10652661331)0 VAjjj SSSS11.4 复功率2115.41.1111.54 88.89 A rms10jI10(115.41.11 )(11.5488.89 )1331901331(VA)jj S2022-6-9天津大学电信学院44本章小结本章小结rmsrms1:coscos2mmPV IVI平平均均功功率率1cos2: PFcoscos()12mmvimmV IV I平均功率视在数功率功功率率因因
34、:vi数角功功率率因因2022-6-9天津大学电信学院45作业作业56求下图所示电路中各电路元件及电压源吸收的平均功率求下图所示电路中各电路元件及电压源吸收的平均功率. (课后课后习题习题11 pp.396)作业作业57 求下图所示电路中各元件吸收的平均功率求下图所示电路中各元件吸收的平均功率. (课后习题课后习题14 pp.397)2022-6-9天津大学电信学院46作业作业58 下图所示电路下图所示电路, 当当ZL取何值时可获得最大功率取何值时可获得最大功率, 并求最大功并求最大功率的值率的值. (课后习题课后习题17 pp.396)作业作业59 计算电源提供的平均功率及对应的功率因数计算电源提供的平均功率及对应的功率因数. 2022-6-9天津大学电信学院47作业作业60 求求下图所示电路中下图所示电路中各元件吸收的复功率各元件吸收的复功率. (习题习题48 pp.401)
