1、3 湍流流动的数学模型湍流流动的数学模型 3.1 湍流的概述湍流的概述 湍流流动是工程技术领域与自然界中最常见的流动现象，流湍流流动是工程技术领域与自然界中最常见的流动现象，流体作湍流流动时的对流换热是工程传热过程中最常见的一种体作湍流流动时的对流换热是工程传热过程中最常见的一种换热方式。换热方式。1、湍流的概念：、湍流的概念：湍流是一种高度复杂的三维非稳态带旋转的湍流是一种高度复杂的三维非稳态带旋转的不规则运动。不规则运动。2、湍流的特点、湍流的特点: 1） 随机性随机性 湍流流动是由大小不等涡体所组成的无规则的随机运动湍流流动是由大小不等涡体所组成的无规则的随机运动,它是它是最本质的特征是
2、最本质的特征是“湍动湍动”,即随机的脉动。即随机的脉动。 2）湍流扩散）湍流扩散 湍流的扩散性是所有湍流运动另一个重要特征。湍流混掺扩湍流的扩散性是所有湍流运动另一个重要特征。湍流混掺扩散增加了动量、热量和质量的传递率。散增加了动量、热量和质量的传递率。 3） 能量耗损能量耗损 湍流中小涡体的运动湍流中小涡体的运动,通过粘性运动大量耗损能量通过粘性运动大量耗损能量,实验表明实验表明,湍流中的能量的损失比同条件下层流大得多。湍流中的能量的损失比同条件下层流大得多。3、湍流的物理结构：、湍流的物理结构： 大尺度涡旋由边界条件决定，是引起低频脉动的原因。小尺大尺度涡旋由边界条件决定，是引起低频脉动的
3、原因。小尺度涡旋主要由粘性力决定，是引起高频脉动的原因。度涡旋主要由粘性力决定，是引起高频脉动的原因。 大涡旋大涡旋 小涡旋小涡旋 更小的涡旋更小的涡旋 消失消失 目前，对湍流问题的研究仍处于探索其结构，机理和描述目前，对湍流问题的研究仍处于探索其结构，机理和描述方法阶段，面对解决工程湍流问题有两种选择：方法阶段，面对解决工程湍流问题有两种选择： 1）等待湍流理论研究的成果）等待湍流理论研究的成果 2）探索研究湍流新途径）探索研究湍流新途径 4、湍流的数值模拟方法、湍流的数值模拟方法1）直接模拟）直接模拟 是三维非稳态的是三维非稳态的N-S方程对湍流进行直接数值计算的方法。方程对湍流进行直接数
4、值计算的方法。其特点是必须采用很小的时间与空间步长，才可能研究清其特点是必须采用很小的时间与空间步长，才可能研究清楚湍流的空间结构及时间特性。因此对计算机的要求比较楚湍流的空间结构及时间特性。因此对计算机的要求比较高。高。2）雷诺时均方程法）雷诺时均方程法 雷诺时均方程是不封闭的，必须引入雷诺时均方程是不封闭的，必须引入雷诺应力雷诺应力的封闭模的封闭模型才可能解出平均流场。雷诺应力的主要贡献来自大尺度脉型才可能解出平均流场。雷诺应力的主要贡献来自大尺度脉动，而大尺度脉动的性质和流动的边界条件密切相关。因此，动，而大尺度脉动的性质和流动的边界条件密切相关。因此，雷诺应力的封闭模式不可能是普遍适应
5、的，就是说不存在对雷诺应力的封闭模式不可能是普遍适应的，就是说不存在对一切复杂流动都适用的统一封闭模式。一切复杂流动都适用的统一封闭模式。3）大涡模拟）大涡模拟 该方法是介于以上两种方法之间的模拟方法。其基本思该方法是介于以上两种方法之间的模拟方法。其基本思想是：大尺度脉动用数学模拟方法来计算，只将小尺度脉动想是：大尺度脉动用数学模拟方法来计算，只将小尺度脉动对大尺度运动的作用做模型假设（亚格子应力模型假设）。对大尺度运动的作用做模型假设（亚格子应力模型假设）。这样做的理论依据是小尺度脉动有局部平衡的性质，很可能这样做的理论依据是小尺度脉动有局部平衡的性质，很可能存在某种局部普适的统计规律。存
6、在某种局部普适的统计规律。5、不同湍流数值模拟方法比较、不同湍流数值模拟方法比较1）对湍流分辨率的要求不同）对湍流分辨率的要求不同 直接模拟直接模拟要求模拟所有尺度的湍流脉动。具体计算时最小的要求模拟所有尺度的湍流脉动。具体计算时最小的模拟尺度应当小于耗散区尺度，模拟尺度应当小于耗散区尺度，雷诺平均方法雷诺平均方法将所有尺度脉将所有尺度脉动产生的雷诺应力做了模型，网格尺度应大于脉动的积分尺动产生的雷诺应力做了模型，网格尺度应大于脉动的积分尺度，网格的最小尺度由平均应力的性质决定。度，网格的最小尺度由平均应力的性质决定。大涡模拟大涡模拟介于介于二者之间。二者之间。2）对网格精细程度要求不同）对网
7、格精细程度要求不同 在相同雷诺数条件下，在相同雷诺数条件下，直接模拟直接模拟的网格尺度最小，要求计算的网格尺度最小，要求计算机内存最大，计算时间最长。机内存最大，计算时间最长。雷诺平均数值模拟方法雷诺平均数值模拟方法的网格的网格尺度允许较大，因此要求计算机内存小，时间短。尺度允许较大，因此要求计算机内存小，时间短。大涡模大涡模拟拟介于二者之间。介于二者之间。3）三种方法给出的信息量有很大差别）三种方法给出的信息量有很大差别 直接数值模拟方法直接数值模拟方法可以计算所有的湍流脉动，可以给出所可以计算所有的湍流脉动，可以给出所有量值（如雷诺应力、标量输运量等），有量值（如雷诺应力、标量输运量等），
8、 雷诺平均数值模拟方法雷诺平均数值模拟方法给出平均速度场、平均压强、平均给出平均速度场、平均压强、平均热流量、平均合力、平均应力等。热流量、平均合力、平均应力等。 大涡模拟大涡模拟介于二者之间，它可以给出大于惯性子区尺度的介于二者之间，它可以给出大于惯性子区尺度的脉动信息，特别是大尺度的脉动信息，同时，通过统计计脉动信息，特别是大尺度的脉动信息，同时，通过统计计算也可以给出所有平均量。算也可以给出所有平均量。1( )tttt dtt 6、湍流物理量时均值及其性质、湍流物理量时均值及其性质物理量物理量的瞬时值，时均值的瞬时值，时均值 及脉动值及脉动值三者间有如下关系：三者间有如下关系：按按雷诺时
9、均法雷诺时均法，任一变量，任一变量的时间平均值定义为：的时间平均值定义为：（1）（2）ff 设设及及是两个瞬时值，是两个瞬时值，及及则按定义（则按定义（1）及式（）及式（2）有一下基本关系式成立：）有一下基本关系式成立：为相应的脉动值，为相应的脉动值，220;0;0;0;0iiffffffffffffffffxx （3）1、连续性方程、连续性方程3.2 湍流对流换热的雷诺时均方程湍流对流换热的雷诺时均方程 0uvwyzx0uvwyzx2、动量方程、动量方程221( ) ()uuu vu wpuvutxyzxxxuuvu vvu wyyzz 4、其它变量、其它变量方程方程()jjjjjuuStx
10、xx ()(1,3)ijiiijjijju uuupuuitxxxx 3、时均形式的、时均形式的N-S方程方程 3.3 湍流模型湍流模型1、湍流模型：就是把湍流的脉动值附加项与时均值联系起、湍流模型：就是把湍流的脉动值附加项与时均值联系起 来的一些特定关系式。来的一些特定关系式。2、湍流模型种类：雷诺应力方程法及湍流粘性系数法。、湍流模型种类：雷诺应力方程法及湍流粘性系数法。3、何为模拟？、何为模拟？ 推导时均方程时，二次项（乘积项）在时均化处理后产生推导时均方程时，二次项（乘积项）在时均化处理后产生包含脉动值的附加项，如包含脉动值的附加项，如 ，为了使方程组封，为了使方程组封闭，必须找出这些
11、附加项的关系式。故人们不得不闭，必须找出这些附加项的关系式。故人们不得不设法用近似设法用近似但可解的方程组去取代严格而不可解的方程组，这一过程称为但可解的方程组去取代严格而不可解的方程组，这一过程称为模化或模拟。模化或模拟。fff 3.3.1 雷诺应力方程法雷诺应力方程法 iju u (.).ijijllDu upu u uDtx iju u 的精确方程为：的精确方程为： 的微分方程中，引入了更高阶的（三阶）脉动值的微分方程中，引入了更高阶的（三阶）脉动值乘积的时均值，于是还需对更高阶的附加项建立方程，但又乘积的时均值，于是还需对更高阶的附加项建立方程，但又因此引入了更高的附加项，因而最终要用
12、模型才能使方程封因此引入了更高的附加项，因而最终要用模型才能使方程封闭。闭。周培源教授提出一个涡量脉动平方平均值的方程而使方程封闭。即17方程模型（包括两个 速度脉动值时均值的微分方程和三个速度脉动值乘积时均值的近似处理的方程）3.3.2 湍流粘性系数法湍流粘性系数法1、湍流粘性系数法：把湍流应力表示成湍流粘性系数的函、湍流粘性系数法：把湍流应力表示成湍流粘性系数的函数，计算的数，计算的关键关键就在于求解湍流粘性系数。就在于求解湍流粘性系数。1）湍流粘性系数）湍流粘性系数 通过给出雷诺应力与均流速度场之间的关系式，把均流方通过给出雷诺应力与均流速度场之间的关系式，把均流方程的不封闭性由雷诺应力
13、转移到湍流粘性系数上。程的不封闭性由雷诺应力转移到湍流粘性系数上。 仿照层流时联系流体的应力与应变率的本构方程，则湍流仿照层流时联系流体的应力与应变率的本构方程，则湍流脉动所造成的脉动所造成的湍流应力可表示成湍流应力可表示成：,2()()3jiiji jttijttijjiuuu updivVxx tjtjux t2）湍流扩散系数）湍流扩散系数对其它对其它变量的湍流脉动附加项可以引入相应的湍流扩散系变量的湍流脉动附加项可以引入相应的湍流扩散系数数 则湍流脉动传递的能量与时均参数的关系可表示为：则湍流脉动传递的能量与时均参数的关系可表示为：其中其中为湍流扩散系数。为湍流扩散系数。注：注：为湍流为
14、湍流Prandtl数数（一般为常数，贴壁流动中取为0.9自由射流中为0.6）Ttt2、确定湍流粘性系数的、确定湍流粘性系数的思路思路：1）既然湍流粘性体现的是湍流涡团对平均流的输运作用，）既然湍流粘性体现的是湍流涡团对平均流的输运作用，首先需找哪些表征湍流量对湍流输运过程有重要影响，进首先需找哪些表征湍流量对湍流输运过程有重要影响，进而设法把这些量与湍流粘性系数定量联系起来。而设法把这些量与湍流粘性系数定量联系起来。2）引入湍流粘性系数假设后）引入湍流粘性系数假设后 ，计算关键在于确定出计算关键在于确定出t ，根，根据确定据确定t微分方程数目的多少，就出现了微分方程数目的多少，就出现了零方程、
15、一方程零方程、一方程及两方程模型。及两方程模型。3.3.3 零方程模型零方程模型1、零方程模型、零方程模型 零方程模型：是指不需要微分方程而是用代数关系式把湍零方程模型：是指不需要微分方程而是用代数关系式把湍流粘性系数与时均值联系起来的模型。流粘性系数与时均值联系起来的模型。1）常系数模型：最简单的零方程模型。）常系数模型：最简单的零方程模型。 比如公式比如公式maxmintCuu模型特点：形式简单，在湍流射流计算中曾应用较广，模型特点：形式简单，在湍流射流计算中曾应用较广， 但系数没有通用性，结果不够准确。但系数没有通用性，结果不够准确。2）二维混合长度理论）二维混合长度理论混合长度混合长度
16、 lm 类比分子运动自由程类比分子运动自由程在历经混合长度的横向距离： xxymlyx22xtxymtlyy 2tmulyuy因为因为是流向平均梯度，混合长度理论也属于零方程模型。是流向平均梯度，混合长度理论也属于零方程模型。所以所以模型特点：模型特点：1）适用于简单的流动，如二维边界层流动，平直通道内的）适用于简单的流动，如二维边界层流动，平直通道内的流体的流动等；流体的流动等； 2）在管道中心线上，速度梯度为零，使）在管道中心线上，速度梯度为零，使t也为零，意味不也为零，意味不产生湍流脉动，但实际脉动速度绝不为零，这与实际不符。产生湍流脉动，但实际脉动速度绝不为零，这与实际不符。3）对较复
17、杂的流动（如回流、分离及需考虑浮力、旋转及）对较复杂的流动（如回流、分离及需考虑浮力、旋转及收缩、扩张等影响），收缩、扩张等影响）， lm很难给出，且很难给出，且t反映不出湍流强反映不出湍流强度的影响。度的影响。 3.3.4 一方程模型一方程模型1/2k1/2tckl1、引入原因：、引入原因：1）混合长度理论中，）混合长度理论中，t只与几何位置和时均速度场有关，没只与几何位置和时均速度场有关，没有体现出与湍流特性参数的关系；有体现出与湍流特性参数的关系；2）设想）设想t应与脉动的特性速度及脉动的特性尺度的乘积有关应与脉动的特性速度及脉动的特性尺度的乘积有关。以脉动动能的平方根，即。以脉动动能的
18、平方根，即 代表脉动的特性速度。提出公代表脉动的特性速度。提出公式：式： clmll2221()2kuvw其中：其中：是经验系数，是经验系数，为脉动的长度标尺，且为脉动的长度标尺，且K 是单位质量流体湍流脉动动能是单位质量流体湍流脉动动能 （1）3）为确定）为确定t，则必须求出脉动动能，则必须求出脉动动能k（引出一方程模型）及长度标（引出一方程模型）及长度标尺尺l（引出（引出-两方程模型）。两方程模型）。2、湍流脉动动能方程（、湍流脉动动能方程（k方程）方程） 12iiu u 3/2()()jjtijtDjjkjijiuuukkkkuCtxxxxxxl 非稳态项耗散项对流项扩散项产生项k思路：
19、思路：根据根据k的定义的定义 出发，通过瞬态出发，通过瞬态N-S方程及其方程及其 时均形式作一系列的运算而得出。经过一系列的近似处理，时均形式作一系列的运算而得出。经过一系列的近似处理，使方程封闭，简化后可得使方程封闭，简化后可得k的偏微分方程，即：的偏微分方程，即：（2）注：耗散过程是分子粘性起作用的过程，它直接耗散的是湍流动能而非均流动能，故耗散项不应与均流场有直接联系。 其中：其中：称为脉动动能的称为脉动动能的Prandtl数。数。 （一般为常数，取为1.0）3、一方程模型组成及特点、一方程模型组成及特点1）一方程模型组成：利用）一方程模型组成：利用k方程来确定方程来确定t时，整个控制方
20、程组时，整个控制方程组包括连续性方程、动量方程、能量方程及包括连续性方程、动量方程、能量方程及k方程。此外还方程。此外还包括式（包括式（1）中的）中的 l 作出规定才能使方程组封闭，构成了作出规定才能使方程组封闭，构成了一方程湍流模型。一方程湍流模型。2）一方程模型的特点：）一方程模型的特点：优点：该方法优于混合长度理论，因为该方法把湍流粘性系数优点：该方法优于混合长度理论，因为该方法把湍流粘性系数与脉动动能联系起来了，考虑到湍动的对流输运和扩散输与脉动动能联系起来了，考虑到湍动的对流输运和扩散输运。运。缺点：仍然用经验的方法确定缺点：仍然用经验的方法确定 l（长度标尺），因为在此方法（长度标
21、尺），因为在此方法中中 l 按按 lm 的求法近似得出。的求法近似得出。3.3.5 -两方程模型两方程模型1、 引入原因：引入原因：在一方程模型中，长度标尺仍然用经验的方法在一方程模型中，长度标尺仍然用经验的方法给出，而长度标尺本身也是与具体问题有关的，故引出了两给出，而长度标尺本身也是与具体问题有关的，故引出了两方程模型。方程模型。2、与湍流长度标尺有关的物理量、与湍流长度标尺有关的物理量 长度比尺方程的种类很多，有些文献广泛采用形如长度比尺方程的种类很多，有些文献广泛采用形如Z=kmlm的的公式来选择湍流脉动的长度标尺有关的量。公式来选择湍流脉动的长度标尺有关的量。Rodi指出，所指出，所
22、有这些有这些Z变量的微分方程均类似，但对靠近壁面地区的计算变量的微分方程均类似，但对靠近壁面地区的计算来说，来说， 方程最为方便，所以最流行的应首推紊动耗散方程。方程最为方便，所以最流行的应首推紊动耗散方程。3/2DkCl1/2tckl2tkc3、脉动动能耗散率的定义及其控制方程、脉动动能耗散率的定义及其控制方程1）耗散率的定义：湍流中单位质量流体脉动时，）耗散率的定义：湍流中单位质量流体脉动时，各向同性各向同性的小尺度涡的机械能转化为热能的速率。的小尺度涡的机械能转化为热能的速率。耗散率耗散率的模拟定义式的模拟定义式： 因因 则有：则有： （3） 2）-两方程模型的控制方程组两方程模型的控制
23、方程组 采用采用-模型来求解湍流对流换热问题时，控制方程包括连模型来求解湍流对流换热问题时，控制方程包括连续性方程、动量方程、能量方程及续性方程、动量方程、能量方程及，方程及方程（方程及方程（3）两方程模型其中：其中：DCC C（二者乘积各种文献中几乎一致取为0.09）121.44,1.92,0.09ccc1.0,1.3,0.9 1.0kT方程组中，引入了三个系数方程组中，引入了三个系数及三个常数：及三个常数：()jjtiitjjkjjjiu kukuuktxxxxxx212()jktiitkkkjjiuuuucctxxxkxxxk（5）（4）,2()()3jii jttijjiuukxx2t
24、kc()()divVdivgradSt 4、说明：、说明：1）湍流应力计算：）湍流应力计算： 2）通用控制方程：）通用控制方程：3）经验常数的适应性：每种模型所包括的经验常数有一定的适）经验常数的适应性：每种模型所包括的经验常数有一定的适用范围。（用范围。（c1,c2,c)4）在）在近壁区域内近壁区域内的适用性：低雷诺数时，系数的适用性：低雷诺数时，系数c与湍流雷诺数有与湍流雷诺数有关，关， 及及方程要做相应修改。因为方程要做相应修改。因为-模型适合于高雷诺数模型模型适合于高雷诺数模型。采用高雷诺数。采用高雷诺数-模型计算流体与固体表面换热时，对壁面附模型计算流体与固体表面换热时，对壁面附近的
25、区域可采用近的区域可采用壁面函数法壁面函数法。思考题思考题1、湍流具有哪些基本特性？由基本特性研究湍流时给研究者、湍流具有哪些基本特性？由基本特性研究湍流时给研究者哪些提示？哪些提示？ 2、湍流数值模拟方法有哪几种，各有何特点？、湍流数值模拟方法有哪几种，各有何特点？ 3、雷诺应力如何产生的，这项的物理意义是什么，它与分子、雷诺应力如何产生的，这项的物理意义是什么，它与分子粘性切应力有何共同点与不同点？粘性切应力有何共同点与不同点？ 4、所谓零方程、一方程、双方程是根据什么划分的，各自有、所谓零方程、一方程、双方程是根据什么划分的，各自有何特点，是如何引入的？何特点，是如何引入的？ 5、建立湍流时均化方程有何意义？目前基于时均化湍流控制、建立湍流时均化方程有何意义？目前基于时均化湍流控制方程的数值模拟方法有哪些？各种方法是如何处理雷诺应方程的数值模拟方法有哪些？各种方法是如何处理雷诺应力的？力的？
