1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 42 讲 基本不等式及其应用 考试要求 1.基本不等式的证明过程 (A 级要求 )； 2.利用基本不等式解决简单的最大 (小 )值问题 (C 级要求 ).应关注利用基本不等式把等式转化为不等式 ， 然后研究最值问题 . 诊 断 自 测 1.思考辨析 (在括号内打 “ ”或“” ) (1)当 a0 ， b 0 时 ， a b2 ab.( ) (2)两个不等式 a2 b2 2ab 与 a b2 ab成立的条件是相同的 .( ) (3)函数 y x 1x的 最小值是 2.( ) (4)函数 f(x) sin x 4sin x的最小值为 2.( ) (5)x 0
2、且 y 0 是 xy yx 2 的充要条件 .( ) 解析 (2)不等式 a2 b2 2ab 成立的条件是 a， b R； 不等式 a b2 ab成立的条件是 a0 ， b 0. (3)函数 y x 1x值域是 ( ， 22 ， ) ， 没有最小值 . (4)函数 f(x) sin x 4sin x的最小值为 5. (5)x0 且 y0 是 xy yx 2 的充分条件 . 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2.(教材改编 )设 x0， y0， 且 x y 18， 则 xy 的最大值为 _. 解析 x0， y0， x y2 xy， 即 xy ? ?x y22 81， 当且仅当 x y
3、 9 时 ， (xy)max 81. 答案 81 3.(教材改编 )若 00， =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 x（ 3 2x） 12 2x（ 3 2x） 12 2x（ 3 2x）2 3 24 ， 当且仅当 x 34时 ， 上式等号成立 . 00， y0， x 2y 1， 所以 1x 1y ? ?1x 1y (x 2y) 1 2 2yx xy 3 2 2yx xy 3 2 2， 当且仅当 x2 2y2时取得最小值 3 2 2. 答案 3 2 2 5.(教材改编 ) 若 x(0 ， )， 则 sin x 1sin x 2； 若 a， b (0， ) ， 则 lg a lg b 2 lga
4、lgb； 若 x R， 则 ? ?x 4x 4.其中正确结论的序号是 _. 解析 因为 x(0 ， )， 所以 sin x (0， 1， 所以 成立； 只有在 lg a0， lg b0， 即 a1， b1 时才成立； ? ?x 4x |x| ? ?4x 2 |x| ? ?4x 4， 当且仅当 x 2 时 “ ” 成立 . 答案 知 识 梳 理 1.基本不等式 ab a b2 (1)基本不等式成立的条件： a0， b0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a b 时取等号 . (3)适用于求含两个代数式的最值 . 2.几个重要的不等式 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)a2 b2 2ab(a
5、， b R). (2)ba ab 2(a， b 同号 ). (3)ab ? ?a b22， (a， b R). (4)a2 b22 ?a b22(a， b R). (以上不等式要根据条件合理选择其中之一 ) 以上不等式等号成立的条件均为 a b. 3.算术平均数与几何平均数 设 a0， b0， 则 a， b 的算术平均数为 a b2 ， 几何平均数为 ab， 基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 ， 当两个正数相等时两者相等 . 4.利用基本不等式求最值问题 已知 x0， y0， 则 (1)如 果积 xy 是定值 p， 那么当且仅当 x y 时 ， x y 有最 小 值
6、 2 p(简记：积定和最小 ). (2)如果和 x y 是定值 p， 那么当且仅当 x y 时 ， xy 有最 大 值 p24(简记：和定积最大 ). 考点一 利用基本不等式求最值 (多维探究 ) 命题角度 1 配凑法求最值 【例 1 1】 (1)已知 01)的最小值为 _. 解析 (1)x(4 3x) 13 (3x)(4 3x) 13 ? ?3x（ 4 3x）22 43， 当且仅当 3x 4 3x， 即 x 23时 ， 取等号 . (2)因为 x0， 则 f(x) 4x 2 14x 5 (5 4x 15 4x) 3 2 3 1. 当且仅当 5 4x 15 4x， 即 x 1 时 ， 等号成立
7、 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 f(x) 4x 2 14x 5的最大值为 1. (3)由于 x1， 故 y x2 2x 1（ x2 2x 1）（ 2x 2） 3x 1 （ x 1）2 2（ x 1） 3x 1 (x 1) 3x 1 22 3 2. 当且仅当 x 1 3x 1， 即 x 3 1 时 ， 等号成立 . 答案 (1)23 (2)1 (3)2 3 2 命题角度 2 常数代换或消元法求最值 【例 1 2】 (1)(2018 盐城模拟 )已知正数 x， y 满足 x 2y xy 0， 则 x 2y 的最小值为_. (2)(一题多解 )(2018 南京模拟 )已知 x 0， y
8、0， x 3y xy 9， 则 x 3y 的最小值为_. (3)(2017 苏州期末 )已知 ab 14， a， b (0， 1)， 那么 11 a 21 b的最小值为 _. 解析 (1)由 x 2y xy 0， 得 2x 1y 1， 且 x0， y0. x 2y (x 2y) ? ?2x 1y 4yx xy 44 4 8. 当且仅当 4yx yx， 即 x 4， y 2 时等号成立 . (2)法一 (消元法 ) 由已知得 x 9 3y1 y. 因为 x 0， y 0， 所以 0 y 3， 所以 x 3y 9 3y1 y 3y 121 y 3(y 1) 62 121 y3 （ y 1） 6 6
9、， 当且仅当 121 y 3(y 1)， 即 y 1， x 3 时 ， (x 3y)min 6. 法二 x 0， y 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 9 (x 3y) xy 13x (3y) 13 ? ?x 3y22， 当且仅当 x 3y 时等号成立 . 设 x 3y t 0， 则 t2 12t 108 0， (t 6)(t 18)0 ， 又 t 0， t 6.故当 x 3， y 1 时 ， (x 3y)min 6. (3)因为 b 14a， a (0， 1)， 所以 11 a 21 b 11 a 21 14a 11 a 24a 1 2 2a 1 4a2 5a 1 2. 令 2a 1
10、t， 则 a t 12 ，原式 t t2 9t2 92 2 192 ?t 92t 2 192 2 t92t 2 4 4 23 ， 当且仅当 t 3 22 ， 即 a 3 2 24 (0， 1)时取等号 ， 故原式的最小值为 4 4 23 . 答案 (1)8 (2)6 (3)4 4 23 规律方法 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提： “ 一正 ”“ 二定 ”“ 三相等 ”.所谓 “ 一正 ” 是指正数 ，“ 二定 ” 是指应用基本不等式求最值时 ， 和或积为定值 ，“ 三相等 ”是指满足等号成立的条件 . (2)在利用基本不等式求最值时 ， 要根据式子的特征灵活变形 ， 配凑出积、和
11、为常数的形式 ，然后 再利用基本不 等式 . (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法 ， 即根据条件建立两个量之间的函数关系 ，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形 ， 利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子 ， 然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式 ， 建立所求目标函数的不等式求解 . 易错警示 (1)利用基本不等式求最值 ， 一定要注意应用条件； (2)尽量避免多次使用基本不等式 ， 若必须多次使用 ， 一定要保证等号成立的条件一致 . 【训练 1】 (1)(一题多解 )若正数 x， y 满足 x 3y 5xy， 则 3x 4y 的最小值是 _.
12、 (2)设 a b 2， b0， 则 12|a| |a|b 取最小值时 ， a 的值为 _. 解析 (1)法一 由 x 3y 5xy 及 x， y 均为正数可得 15y 35x 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 3x 4y (3x 4y)? ?15y 35x 95 45 3x5y 12y5x 135 125 5. (当且仅当 3x5y 12y5x ， 即 x 1， y 12时 ， 等号成立 )， 3x 4y 的最小值是 5. 法二 由 x 3y 5xy， 得 x 3y5y 1， x0， y0， y15， 3x 4y 9y5y 1 4y13? ?y 15 95 45 4y5y 1 4y 1
13、35 9515y 15 4? ?y 15 135 2 3625 5， 当且仅当 y 12时等号成立 ， (3x 4y)min 5. (2) a b 2， b0， 12|a| |a|b 24|a| |a|b a b4|a| |a|b a4|a| b4|a| |a|b a4|a| 2 b4|a| |a|b a4|a| 1， 当且仅当 b4|a| |a|b 时等号成立 . 又 a b 2， b0， 当 b 2a， a 2 时 ， 12|a| |a|b 取得最小值 . 答案 (1)5 (2) 2 考点二 基 本不等式的综合应用 【例 2】 (1)设 x， y， z 均为大于 1 的实数 ， 且 z 为
14、 x 和 y 的等比中项 ， 则 lg z4lg x lg zlg y的最小值为 _. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)设正四面体 ABCD 的棱长为 6， P 是棱 AB 上的任意一点 (不与点 A， B 重合 )， 且点 P 到平面 ACD， 平面 BCD 的距离分别为 x， y， 则 3x 1y的最小值是 _. 解析 (1)由题意得 z2 xy， lg x0， lg y0， lg z4lg x lg zlg y12（ lg x lg y）4lg x 12（ lg x lg y）lg y 18 lg y8lg x 12 lg x2lg y 58 lg y8lg x lg x2lg
15、y 58 2 116 98， 当且仅当 lg y8lg x lg x2lg y， 即 lg y 2lg x， 即 y x2时取等号 . (2)过点 A 作 AO 平面 BCD 于点 O， 则 O 为 BCD 的重心 ， 所以 OB 23 32 6 2， 所以 AO （ 6） 2（ 2） 2 2. 又 VP BCD VP ACD VA BCD， 所以 13S BCD y 13S ACD x 13S BCD 2， 即 x y 2.所以 3x 1y 12? ?3x 1y (x y) 12? ?4 xy 3yx 2 3， 当且仅当 x 3 3， y 3 1 时取等号 . 答案 (1)98 (2)2 3 规 律方法 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数 . (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后 ， 只需利用基本不等式求得函数的最值 . (3)在求函数的最值时 ， 一定要在定义域 (使实际问题有意义的自变量的取值范围 )内求解 . 【训练 2】 (1)(2018 泰州模拟 )已知 ab1 且 2logab 3logba 7，
