1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测 (十五） 导数与函数的单调性 练基础小题 强化运算能力 1 (2018 前黄中学期中考试 )函数 f(x) xln x 的单调减区间是 _ 解析：函数 f(x) xln x 的定义域为 (0， ) ， f( x) ln x 1，由 f( x) ln x 1 0 得 0 x 1e，所以函数 f(x) xln x 的单调减区间是 ? ?0， 1e . 答案： ? ?0， 1e 2已知函数 f(x) 12x3 ax 4，则 “ a 0” 是 “ f(x)在 R 上单调递增 ” 的 _条件 (选填 “ 充分不必要 ”“ 必要不充分 ”“ 充要 ”“ 既不
2、充分又不必要 ”) 解析： f( x) 32x2 a，当 a 0 时， f( x) 0，即 a 0 时， f(x)在 R 上单调递增，由 f(x)在 R 上单调递增，可得 a0. 故 “ a 0” 是 “ f(x)在 R 上单调递增 ” 的充分不必要条件 答案：充分不必要 3 (2018 阜宁中学模拟 )若函数 f(x) ? ?ex2aex (a R)在区间 1,2上单调递增，则实数 a 的取值范围是 _ 解析：设 g(x) ex2aex，则 g( x)ex2aex. 当 a 0 时， g( x) 0， g(x)在 R 上单调递增，且 g(ln 2a) 0，依题意知 ln 2a1 ，解得 0
3、a e22. 当 a 0 时， f(x)符合题意 当 a 0 时，令 g( x) 0，解得 x ln 2a.当 x ln 2a时， g( x) 0， g(x)在 ( ， ln 2a)上单调递减，当 x ln 2a时， g( x) 0， g(x)在 (ln 2a， )上单调递增，故当 x ln 2a时， g(x)取得最小值，又 g(ln 2a) 0，所以 g(x) 0 恒成立，所以依题意知 ln 2a1 ，解得 e22 a 0.综上，所求 a 的取值范围是 ? e22，e22 . 答案： ? ? e22，e22 4已知函数 f(x)的导函数为 f( x) 5 cos x， x ( 1,1)，且
4、f(0) 0，如果 f(1 x) f(1 x2) 0，则实数 x 的取值范围为 _ 解析： 导函数 f( x)是偶函数，且 f(0) 0， 原函数 f(x)是奇函数， 所 求不等式变形为 f(1 x) f(x2 1)， 导函数值恒大于 0， 原函数在定义域上单调递增，又 f(x)的定义域为 ( 1,1)， 1 1 x x2 1 1，解得 1 x 2， 实数 x 的取值范围是 (1，2) =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： (1， 2) 练常考题点 检验高考能力 一、填空题 1 (2018 南通高三期初测试 )已知函数 f(x) ln x 2x，若 f(x2 2) f(3x)，则实数x 的
5、取值范围是 _ 解析：由 f(x) ln x 2x，得 f( x) 1x 2xln 2 0， x (0， ) ，所以 f(x)在 (0， ) 上单调递增又由 f(x2 2) f(3x)，得 0 x2 2 3x，所以 x (1,2). 答案： (1,2) 2若函数 f(x) x3 tx2 3x 在区间 1， 4 上单调递减，则实数 t 的取值范围是_ 解析： f( x) 3x2 2tx 3，由于 f(x)在区间 1， 4 上单调递减，则有 f (x)0 在 1， 4 上恒成立， 即 3x2 2tx 30 在 1,4上恒成立，则 t 32? ?x 1x 在 1， 4 上恒成立，因为 y 32?x
6、1x 在 1， 4 上单调递增，所以 t32?4 14 518. 答案： ? ?518 ， 3 (2018 苏州模拟 )已知定义在 R 上的函数 f(x)满足： f(x) f( x) 1， f(0) 4，则不等式 exf(x) ex 3(其中 e 为自然对数的底数 )的解集为 _ 解析：设 g(x) exf(x) ex，则 g( x) exf(x) exf( x) ex，因为 f(x) f( x) 1，所以 f(x) f( x) 1 0，所以 g( x) 0，所以 y g(x)在定义域 R 上单调递增因为 exf(x) ex 3，所以 g(x) 3，又因为 g(0) e0f(0) e0 3，所
7、以 g(x) g(0)，所以 x 0，即 x (0， ) 答案： (0， ) 4 (2018 靖江诊断考试 )函数 f(x)在定义域 R 内可导，若 f(x) f(2 x)，且当 x ( ， 1)时， (x 1)f( x) 0，设 a f(0)， b f ? ?12 ， c f(3)，则 a， b， c 的大小关系是_ 解析：因为当 x ( ， 1)时， (x 1)f( x) 0，所以 f( x) 0，所以函数 f(x)在( ， 1)上是单调递增函数，所以 a f(0) f ? ?12 b，又 f(x) f(2 x)，所以 c f(3) f( 1)，所以 c f( 1) f(0) a，所以 c
8、 a b. 答案： b a c =【 ;精品教育资源文库 】 = 5若函数 f(x) x bx(b R)的导函数在区间 (1,2)上有零点，则 f(x)在下列区间上单调递增的是 _ (填序号 ) ( 2,0)； (0,1)； (1， ) ； ( ， 2) 解析：由题意知， f( x) 1 bx2， 函数 f(x) x bx(b R)的导函数在区间 (1,2)上有零点， 当 1 bx2 0 时， b x2，又 x (1,2)， b (1,4)令 f( x) 0，解得 x b或 x b， 即 f(x)的单调递增区间为 ( ， b)， ( b， ) ， b (1,4)， ( ， 2)符合题意 答案：
9、 6已知 y f(x)为 (0， ) 上的可导函数，且有 f( x) f xx 0，则对于任意的a， b (0， ) ，当 a b 时，下列不等式成立的是 _ (填序号 ) af(a) bf(b)； af(a) bf(b)； af(b) bf(a)； af(b) bf(a) 解析：由 f( x) f xx 0 得 xf x f xx 0，即 xf xx 0，即xf(x) x 0. x 0， xf(x) 0，即函数 y xf(x)为增函数，由 a， b (0， )且 a b，得 af(a) bf(b) 答案： 7若幂函数 f(x)的图象过点 ? ?22 ， 12 ，则函数 g(x) exf(x)
10、的单调递减区间为_ 解析：设幂函数为 f(x) x ，因为图象过点 ? ?22 ， 12 ，所以 12 ? ?22 ， 2，所以 f(x) x2，故 g(x) exx2，令 g( x) exx2 2exx ex(x2 2x) 0，得 2 x 0，故函数 g(x)的单调递减区间为 ( 2,0) 答案： ( 2,0) 8已知函数 f(x) 12x2 2ax ln x，若 f(x)在区间 ? ?13， 2 上是增函数，则实数 a 的取值范围为 _ 解析： f( x) x 2a 1x0 在 ? ?13， 2 上恒成立，即 2a x 1x在 ? ?13， 2 上恒成立， ? ? x 1x max 83，
11、 2a 83，即 a 43. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： ? ?43， 9已知 R 上可导函数 f(x)的图象如图所示，则不等式 (x2 2x 3) f( x) 0 的解集为 _ 解析：由题图可知，? f x 0， x ， ， ，f x 0， x 1， ， 不等式 (x2 2x 3)f( x) 0 等价于? f x 0，x2 2x 3 0 或 ? f x 0，x2 2x 3 0， 解得 x ( ， 1) ( 1,1) (3， ) 答案： ( ， 1) ( 1,1) (3， ) 10若函数 f(x) 13x3 12x2 2ax 在 ? ?23， 上存在单调递增区间，则 a 的取值范
12、围是 _ 解析：对 f(x)求导，得 f( x) x2 x 2a ? ?x 12 2 14 2a.当 x ? ?23， 时，f( x)的最大值为 f ? ?23 29 2a.令 29 2a 0，解得 a 19.所以 a 的取值范围是? 19， . 答案： ? ? 19， 二、解答题 11已知函数 f(x) x3 ax2 b(a， b R)试讨论 f(x)的单调性 解： f( x) 3x2 2ax，令 f( x) 0，解得 x1 0， x2 2a3. 当 a 0 时，因为 f( x) 3x20 ，所 以函数 f(x)在 ( ， ) 上单调递增； 当 a 0 时， x ? ? ， 2a3 (0，
13、) 时， f( x) 0， x ? ? 2a3 ， 0 时， f( x)0， 所以函数 f(x)在 ? ? ， 2a3 ， (0， ) 上单凋递增，在 ? ? 2a3 ， 0 上单调递减； 当 a 0 时， x ( ， 0) ? ? 2a3 ， 时， f( x) 0， x ? ?0， 2a3 时， f( x)0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以函数 f(x)在 ( ， 0)， ? ? 2a3 ， 上单调递增，在 ? ?0， 2a3 上单调递减 12 (2018 宿迁期初测试 )已知函数 f(x) ex ax 1. (1)求函数 f(x)的单调增区间 (2)若 f(x)在定义域 R 内单
14、调递增，求实数 a 的取值范围 (3)是否存在实数 a，使得函数 f(x)在区间 ( ， 0上单调递减，在 0， ) 上单调递增？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由 解： (1)易知 f( x) ex a.若 a0 ，则 f( x) ex a 0 恒成立，即 f(x)在 R 上单调递增；若 a 0，令 ex a 0，得 ex a，即 x ln a，此时 f(x)的单调增区间为 (ln a， ) (2)要使 f(x)在 R 内单调递增，只要 f( x)0 在 R 上恒成立，即 ex a0 ?ae x在 R上恒成立，又因为 ex 0，所以 a0 ，即实数 a 的取值范围是 ( ， 0 (3)假设存在 a 满足条件 由题意知 ex a0 在 ( ， 0上恒成立，所以 ae x在 ( ， 0上恒成立 因为 ex在 ( ， 0上为增函数，所以 a1. 同理可知 ex a0 在 0， ) 上恒成立，所以 ae x在 0， ) 上恒成立，所以 a1. 综上， a 1.
