1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时跟踪检测 （ 二十九 ） 等比数列 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1 (2018 如东中学检测 )已知等比数列 an的公比 q 12，则 a1 a3 a5a2 a4 a6 _. 解析： a1 a3 a5a2 a4 a6 a1 a3 a5q a1 a3 a5 a1 a3 a5 12 a1 a3 a5 2. 答案： 2 2 (2018 盐城期中 )在等比数列 an中，已知 a1 a2 1， a3 a4 2，则 a9 a10_. 解析：设等比数列 an的公比为 q，则 a3 a4 q2(a1 a2)，所以 q2 2，所以 a9 a10q8(a1 a2) 16.
2、 答案： 16 3在正项等比数列 an中， a1 1，前 n 项和为 Sn，且 a3， a2， a4成等差数列，则 S7 _. 解析：设 an的公比为 q，则 2a2 a4 a3，又 a1 1，所以 2q q3 q2，解得 q 2 或 q 1，因为 an0，所以 q0，所以 q 2，所以 S7 1 271 2 127. 答案： 127 4在等比数列 an中，若 a1 a5 16， a4 8，则 a6 _. 解析：由题意得， a2 a4 a1 a5 16， 所以 a2 2，所以 q2 a4a2 4，所以 a6 a4q2 32. 答案： 32 5在等比数列 an中， an0， a5 a1 15，
3、a4 a2 6，则 a3 _. 解析：因为 a5 a1 15， a4 a2 6. 所以? a1q4 a1 15，a1q3 a1q 6 (q1) 两式相除得 q2 q2q q2 156 ，即 2q2 5q 2 0， 所以 q 2 或 q 12， 当 q 2 时， a1 1； 当 q 12时， a1 16(舍去 ) 所以 a3 12 2 4. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： 4 6 (2018 常州期末 )已知等比数列 an的各项均为正数，且 a1 a2 49， a3 a4 a5 a6 40，则 a7 a8 a99 的值为 _ 解析：? a1 a2 a1 q 49，a3 a4 a5 a6
4、 a1 q2 q3 q4 q5 40，两式相除可得 q2 q4 90，即q2 10(舍 )或 q2 9.又 an0，所以 q 3，故 a1 19，所以 a7 a8 a9 34 35 36 1 053，即 a7 a8 a99 117. 答案： 117 二保高考，全练题型做到高考达标 1已知数列 an为等比数列，若 a4 a6 10，则 a7(a1 2a3) a3a9 _. 解析 ： a7(a1 2a3) a3a9 a7a1 2a7a3 a3a9 a24 2a4a6 a26 (a4 a6)2 102 100. 答案： 100 2设等比数列 an中，前 n 项和为 Sn，已知 S3 8， S6 7，
5、则 a7 a8 a9 _. 解析：因为 a7 a8 a9 S9 S6，且 S3， S6 S3， S9 S6也成等比数列，即 8， 1， S9S6成等比数列，所以 8(S9 S6) 1，即 S9 S6 18.所以 a7 a8 a9 18. 答案： 18 3已知数列 an满足 log3an 1 log3an 1(n N*)，且 a2 a4 a6 9，则 log13(a5 a7a9) _. 解析：因为 log3an 1 log3an 1，所以 an 1 3an. 所以数列 an是以公比 q 3 的等比数列 因为 a5 a7 a9 q3(a2 a4 a6)， 所以 log13(a5 a7 a9) lo
6、g13(93 3) log1335 5. 答案： 5 4 (2018 启东检测 )数列 an满足 an 1 a n 1(n N*， R 且 0) ，若数列 an 1是等比数列，则 _. 解析：由 an 1 a n 1，得 an 1 1 a n 2 ? ?an2 .因为数列 an 1是等比数列，=【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 2 1，得 2. 答案： 2 5已知 Sn是等比数列 an的前 n 项和，若存在 m N*， 满足 S2mSm 9， a2mam 5m 1m 1 ，则数列an的公比为 _ 解析：设公比为 q，若 q 1，则 S2mSm 2，与题中条件矛盾，故 q1. 因为 S2mS
7、ma1 q2m1 qa1 qm1 q qm 1 9，所以 qm 8. 所以 a2mam a1q2m 1a1qm 1 qm 8 5m 1m 1 ， 所以 m 3，所以 q3 8， 所以 q 2. 答案： 2 6 (2018 海安中学测试 )在各项均为正数的等比数列 an中，若 am 1 am 1 2am(m2) ，数列 an的前 n 项积为 Tn，若 T2m 1 512，则 m _. 解析：由等比数列的性质可知 am 1 am 1 a2m 2am(m2) ，所以 am 2，即数列 an为常数列， an 2，所以 T2m 1 22m 1 512 29，即 2m 1 9，所以 m 5. 答案： 5
8、7已知数列 an中， a1 2，且 a2n 1an 4(an 1 an)(n N*)，则其前 9 项和 S9 _. 解析：由已知，得 a2n 1 4anan 1 4a2n， 即 a2n 1 4anan 1 4a2n (an 1 2an)2 0， 所以 an 1 2an， 所以数列 an是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 故 S9 291 2 210 2 1 022. 答 案： 1 022 8 (2017 南京三模 )若等比数列 an的各项均为正数，且 a3 a1 2，则 a5的最小值为_ 解析：设等比数列 an的公比为 q.因为 a3 a1 2，所以 a1(q2 1) 2，即 a12q2
9、10(q1)，所以 a5 a1q4 2q4q2 1，设 t q2 10，即 q2 t 1，所以 a5t 2t 2? ?t 1t 2 2 ? ?2 t 1t 2 8，当且仅当 t 1，即 q 2时取等号，故 a5的最小值为=【 ;精品教育资源文库 】 = 8. 答案： 8 9在公差不为零的等差数列 an中， a1 1， a2， a4， a8成等比数列 (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn 2an， Tn b1 b2 bn，求 Tn. 解： (1)设等差数列 an的公差为 d， 则依题意有? a1 1，a1 3d 2 a1 d a1 7d ， 解得 d 1 或 d 0(舍去 )， 所以
10、an 1 (n 1) n. (2)由 (1)得 an n， 所以 bn 2n， 所以 bn 1bn 2， 所以 bn是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 所以 Tn 2n1 2 2n 1 2. 10 (2018 苏州高三期中调研 )已知数列 an各项均为正数， a1 1， a2 2，且 anan 3 an 1an 2对任意 n N*恒成立，记 an的前 n 项和为 Sn. (1)若 a3 3，求 a5的值； (2)证明：对任意正实 数 p， a2n pa2n 1成等比数列； (3)是否存在正实数 t，使得数列 Sn t为等比数列若存在，求出此时 an和 Sn的表达式；若不存在，说明理由 解：
11、 (1)因为 a1a4 a2a3，所以 a4 6， 又因为 a2a5 a3a4，所以 a5 32a4 9. (2)证明：由? anan 3 an 1an 2，an 1an 4 an 2an 3， 两式相乘得 anan 1an 3an 4 an 1a2n 2an 3， 因为 an0，所以 anan 4 a2n 2(n N*)， 从而 an的奇数项和偶数项均构成等比数列， 设公比分别为 q1， q2，则 a2n a2qn 12 2qn 12 ， a2n 1 a1qn 11 qn 11 ， 又因为 an 3an 2 an 1an，所以 a4a3 a2a1 2 2q2q1，即 q1 q2， 设 q1
12、q2 q，则 a2n pa2n 1 q(a2n 2 pa2n 3)，且 a2n pa2n 10 恒成立， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以数列 a2n pa2n 1是首项为 2 p，公比为 q 的等比数列 (3)法一：在 (2)中令 p 1，则数列 a2n a2n 1是首项为 3，公比为 q 的等比数列， 所以 S2k (a2k a2k 1) (a2k 2 a2k 3) (a2 a1)? 3k， q 1， qk1 q ， q 1，S2k 1 S2k a2k? 3k 2qk 1， q 1，3 1 qk1 q 2qk 1， q1 ， 且 S1 1， S2 3， S3 3 q， S4 3 3q
13、， 因为数列 Sn t为等比数列， 所以? S2 t 2 S1 t S3 t ，S3 t 2 S2 t S4 t ， 即? t 2 t q t ， q t 2 t 3q t ， 即 ? 2t 6 q t ，t q 3， 解得? t 1，q 4 或 ? t 3，q 0 (舍去 ) 所以 S2k 4k 1 22k 1， S2k 1 22k 1 1， 从而对任意 n N*有 Sn 2n 1， 此时 Sn t 2n， Sn tSn 1 t 2 为常数，满足 Sn t成等比数列， 当 n2 时， an Sn Sn 1 2n 2n 1 2n 1，又 a1 1，所以 an 2n 1(n N*)， 综上，存在
14、 t 1 使数列 Sn t为等比数列，此时 an 2n 1， Sn 2n 1(n N*) 法二：由 (2)知 a2n 2qn 1， a2n 1 qn 1，且 S1 1， S2 3， S3 3 q， S4 3 3q， 因为数列 Sn t为等比数列， 所以? S2 t 2 S1 t S3 t ，S3 t 2 S2 t S4 t ， 即? t 2 t q t ， q t 2 t 3q t ， 即 ? 2t 6 q t ，t q 3， 解得? t 1，q 4 或 ? t 3，q 0 (舍去 ) 所以 a2n 2qn 1 22n 1， a2n 1 22n 2，从而对任意 n N*有 an 2n 1， 所
15、以 Sn 20 21 22 2n 1 1 2n1 2 2n 1， 此时 Sn t 2n， Sn tSn 1 t 2 为常数，满足 Sn t成等比数列， =【 ;精品教育资源文库 】 = 综上，存在 t 1 使数列 Sn t为等比数列，此时 an 2n 1， Sn 2n 1(n N*). 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1数列 an是以 a 为首项， q 为公比的等比数列，数列 bn满足 bn 1 a1 a2 an，数列 cn 2 b1 b2 bn，若 cn为等比数列，则 a q _. 解析：由题意知 q1. 因为数列 an是以 a 为首项， q 为公比的等比数列，所以 bn 1a1 qaqn1 q，所以 cn 2aq q 21 q a1 q naqn 1 q 2，要使 cn为等比数列，则 2aq q 2 0 且1 q a1 q 0，所以 a 1， q 2，则 a q 3. 答案： 3 2 (2018 泰州中学高三学情调研 )设正项等比数列 an
