1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 11.1 合情推理与演绎推理 命题探究 考纲解读 考点 内容解读 要求 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 1.合情推理 由相关背景进行结论推测 B 填空题 2.演绎推理 相关结论的证明 B 填空题 解答题 分析解读 推理与证明是新课标新增加的内容 ,江苏高考一般很少单独考查 ,但是演绎推理是解答试题必需的过程 ,所以仍需要认真掌握 . 五年高考 考点一 合情推理 1.(2017课标全国 文改编 ,9,5 分 )甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩 .老师说 :你们四人中有 2位优秀 ,2 位良好
2、 ,我现在给甲看乙、丙的成绩 ,给乙看丙的成绩 ,给丁看甲的成绩 .看后甲对大家说 :我还是不知道我的成绩 .根据以上信息 ,则以下四种说法正确的是 . 乙可以知道四人的成绩 ; 丁可以知道四人的成绩 ; 乙、丁可以知道对方的成绩 ; 乙、丁可以知道自己的成绩 . 答案 2.(2016山东 ,12,5分 )观察下列等式 : + = 12; + + + = 23; + + +?+ = 34; =【 ;精品教育资源文库 】 = + + +?+ = 45; ? 照此规律 , + + +?+ = . 答案 考点二 演绎推理 1.(2017北京理 ,14,5分 )三名工人加工同一种零件 ,他们在一天中的
3、工作情况如图所示 ,其中点 Ai的横、纵坐标分别为第 i名工人上午的工作时间和加工的零件数 ,点 Bi的横、纵坐标分别为第 i名工人下午的工作时间和加工的零件数 ,i=1,2,3. 记 Qi为第 i名工人在这一天中加工的零件总数 ,则 Q1,Q2,Q3中最大的是 ; 记 pi为第 i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数 ,则 p1,p2,p3中最大的是 . 答案 Q 1 p 2 2.(2013重庆理 ,22,12分 )对正整数 n,记 In=1,2,?,n,P n= . (1)求集合 P7中元素的个数 ; (2)若 Pn的子集 A中任意两个元素之和 不是 整数的平方 ,则称 A为 “ 稀疏集
4、 ”. 求 n的最大值 ,使 Pn能分成两个不相交的稀疏集的并 . 解析 (1)当 k=4时 , 中有 3个数与 I7中的 3个数重复 ,因此 P7中元素的个数为 77 -3=46. (2)先证当 n15 时 ,Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并 .若不然 ,设 A,B为不相交的稀疏集 ,使 AB=P n?In.不妨设 1A, 则因 1+3=22,故 3?A,即 3B. 同理 6A,10B, 又推得 15A, 但 1+15=42,这与 A为稀疏集矛盾 . 再证 P14符合要求 .当 k=1时 , =I14可分成两个稀疏集之并 ,事实上 ,只要取A1=1,2,4,6,9,11,13,B1=3,5
5、,7,8,10,12,14,则 A1,B1为稀疏集 ,且 A1B 1=I14. 当 k=4时 ,集 中除整数外剩下的数组成集 ,可分解为下面两稀疏集的并 :A2= ,B2= . =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 k=9时 ,集 中除正整数外剩下的数组成集 , , , ,?, , ,可分解为下面两稀疏集的并 : A3= , B3= . 最后 ,集 C= mI 14,kI 14,且 k1,4,9 中的数的分母均为无理数 ,它与 P14中的任何其他数之和都不是整数 ,因此 ,令 A=A1A 2A 3C,B=B 1B 2B 3.则 A和 B是不相交的稀疏集 ,且 AB=P 14. 综上 ,所求 n
6、的最大值为 14. 注 :对 P14的分拆方法不是唯一的 . 三年模拟 A组 2016 2018 年模拟 基础题组 考点一 合情推理 1.(苏教选 2 2,二 ,1,5,变式 )观察下列等式 : 1- = , 1- + - = + , 1- + - + - = + + , ?, 据此 规律 ,第 n个等式可为 . 答案 1- + - +?+ - = + +?+ 2.(苏教选 2 2,二 ,1,4,变式 )古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形 数 ,如三角形数 1,3,6,10,?,第 n个三角形数为 = n2+ n,记第 n个 k边形数为 N(n,k)(k3), 以下列 出了部分 k边
7、形数中第 n个数的表达式 : 三角形数 N(n,3)= n2+ n, 正方形数 N(n,4)=n2, 五边形数 N(n,5)= n2- n, 六边形数 N(n,6)=2n2-n, ?, =【 ;精品教育资源文库 】 = 可以推测 N(n,k)的表达式 ,由此计算 N(10,24)= . 答案 1 000 3.(2017江苏南京溧水中学质检 ,11)观察下列式子 :1+ a2a3a40, 若对 任意的 i,j(1ij4, 且i,jN *),ai-aj仍是数列 an中的某一 项 .现有下列命题 : 数列 an一定是等差数列 ; 存在 1ij4, 使得iai=jaj; 数列 an中一定存在一项为 0
8、.其中 ,真命题的序号 有 .(请将你认为正确命题的序号都写上 ) 答案 7.(2018江苏淮安、宿迁高三期中 )设命题 p:对任意的 x ,sin xax+btan x 恒成立 ,其中 a,bR. (1)若 a=1,b=0,求 证 :命题 p为真命题 ; (2)若命题 p为真命题 ,求 a,b的所有值 . 解 析 (1)证明 :若 a=1,b=0,则命题 p:对任意的 x ,sin xxtan x 恒成立 . 如图 ,设 MOP=x. 则 sin x=|MP|,cos x=|OM|,tan x=|AT|,x=l . =【 ;精品教育资源文库 】 = x 时 ,SAOP = |OA|MP|=
9、sin x, S 扇形 AOP= l |OA|= x, SAOT = |OA|AT|= tan x, 且 SAOP 1,令 h(x)=ax-tan x,x , 则 h(x)=a- ,h(x)=0 在 x 上有唯一解 ,记为 x1, =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 x0,x 1)时 ,h(x)0, 此时 h(x)h(0)=0 恒成立 ,即 axtan x, 矛盾 . 故 a=1,b=0. 8.(2017苏锡常镇四市高三教学情况调研 (二 ),20)已知数列 an满足 a1=1,an+1= ,其中 nN *, 为非零常数 . (1)若 =3,=8, 求证 :an+1为等比 数列 ,并求数列
10、an的通项公式 ; (2)若数列 an是公差不等于零的等差数列 . 求实数 , 的值 ; 数列 an的前 n项和 Sn构成数列 Sn,从 Sn中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列 .试问 :是否存在首项为 S1的四项子数列 ,使得该子数列中的所有项之和恰好为 2 017?若存在 ,求出所有满足条件的四项子数列 ;若不存在 ,请说明理由 . 解析 (1)当 =3,=8 时 , an+1= = =3an+2, a n+1+1=3(an+1), 又 a1+1=2, a n+1是以 2为首项 ,3为公比的等比数列 , a n+1=23 n-1,a n=23 n-1-1. (2) 设数列 an的公
11、差为 d(d0), 则 an=a1+(n-1)d=dn-d+1, 由 an+1= 得 an+1(an+2)= + an+4, (dn+1)(dn -d+3)= (dn-d+1)2+ (dn-d+1)+4, d 2n2+(4d-d2)n-d+3= d2n2+2(1-d) + dn+ (1-d)2+(1-d) +4对任意 nN *恒成立 . 解得 =1,=4. 由 知 an=2n-1,则 Sn= =n2. 假设存在满足条件的四项子数列 ,由 2 017为奇数 ,知这四项三个奇数一个偶数或者一个奇数三个偶数 . 若三个奇数一个偶数 ,设 S1,S2x+1,S2y+1,S2z是 满足条件的四项 (x,
12、y,zN *,xy), 则 1+(2x+1)2+(2y+1)2+4z2=2 017, 2(x 2+x+y2+y+z2)=1 007,这与 1 007为奇数矛盾 ,不合题意 ,舍去 . 若一个奇数三个偶数 ,设 S1,S2x,S2y,S2z是满足条件的四项 (x,y,zN *且互不相等 ), 则 12+4x2+4y2+4z2=2 017,x 2+y2+z2=504. 由 504为偶数知 ,x,y,z中一个偶数两个奇数或者三个偶数 . (i)若 x,y,z中一个偶数两个奇数 ,不妨设 x=2x1,y=2y1+1,z=2z1+1(y1z 1), 则 2( + +y1+ +z1)=251,这与 251
13、为奇数矛盾 . (ii)若 x,y,z均为偶数 ,不妨设 x=2x1,y=2y1,z=2z1(x1,y1,z1互不相等 ), 则 + + =126, 继续奇偶分析知 x1,y1,z1中两个奇数一个偶数 , 不妨设 x1=2x2,y1=2y2+1,z1=2z2+1(y2z 2),则 + +y2+ +z2=31. =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为 y2(y2+1),z2(z2+1)均为偶数 ,所以 x2为奇数 ,不 妨设 0y 20, =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以函数 f(x)在 (1,+) 上是增函数 . (2)f (x)= (x0), 当 x1,e 时 ,2x2+aa+2,a+
14、2e 2. 若 a -2,则 f (x)在 1,e上非负 (当且仅当 a=-2,x=1 时 ,f (x)=0),故函数 f(x)在 1,e上是增函数 ,此时f(x)min=f(1)=1. 若 -2e20,此时 f(x)是增函数 . 故 f(x)min=f = ln - . 若 a -2e2,则 f (x)在 1,e上非正 (当且仅 当 a=-2e2,x=e时 ,f (x)=0), 故函数 f(x)在 1,e上是减函数 ,此时 f(x)min=f(e)=a+e2. 综上可知 ,当 a -2时 ,f(x)的最小值为 1,相应的 x值为 1; 当 -2e20, 因而 a (x1,e), 令 g(x)
15、= (x1,e), 则 g(x)= , 当 x1,e 时 ,x-10,ln x1,x+2 -2ln x0, 从而 g(x)0( 当且仅当 x=1时取等号 ),所以 g(x)在 1,e上为增函数 , 故 g(x)的最小值为 g(1)=-1, 所以 a的取值范围是 -1,+). C组 2016 2018 年模拟 方法题组 方法 1 用归纳推理求解相关 问题的方法 1.(2017江苏新海高级中学月 考 ,11)已知 “ 整数对 ” 按如下规律排成一列 :(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),?, 则第 60 个 “ 整
16、数对 ”是 . 答案 (5,7) 方法 2 用类比推理求解相关问题的方法 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2.(2016陕西汉中调研 )现有一个关于平面图形的命题 :如图 ,同一个平面内有两个边长都是 a的正方形 ,其中一个的某顶点在另一个的中心 ,则这两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间 ,有两个棱长均为 a的正方 体 ,其中一个的某顶点在另一个的中心 ,则这两个正方体重叠部分的体积恒为 . 答案 方法 3 破解演绎推理思想瓶颈的技巧 3.已知 n为正整数 ,数列 an满足 an0,4(n+1) -n =0.数列 bn满足 bn= . (1)求证 :数列 为等比数列 ; (2)若数列 bn是等差数列 ,求实数 t的值 . 解析 (1)证明 :由 4(n+1) =n , 得 = ,结合 an0,得 =2 , 因此 =2, 所以 是以 a1为首项 ,2为公比的等比数列 . (2)由 (1)得 an=a12 n-1 ,则 bn= = , 若数列 bn是等差数列 ,则 2b2=b1+b3, 则 2 = + ,即 = + , 则 t2-16t+48=0,解得 t1=4,t2=12, 当 t=4时 ,bn= ,则 bn+1-bn= - = , 所以数列 bn是等差数列 ,符合题意 ; 当 t=12时 ,bn= ,
