1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 16.2 抛物线 五年高考 考点 抛物线标准方程及其几何性质 1.(2017课标全国 理改编 ,10,5分 )已知 F为抛物线 C:y2=4x的焦点 ,过 F作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1与 C交于 A,B两点 ,直线 l2与 C交于 D,E两点 ,则 |AB|+|DE|的最小值为 . 答案 16 2.(2016课标全国 改编 ,5,5分 )设 F为抛物线 C:y2=4x 的焦点 ,曲线 y= (k0)与 C交于点 P,PFx 轴 ,则k= . 答案 2 3.(2014辽宁改编 ,10,5分 )已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px的准
2、线上 ,过点 A的直线与 C在第一象限相切于点 B,记 C的焦点为 F,则直线 BF的斜率为 . 答案 4.(2014四川改编 ,10,5分 )已知 F为抛物线 y2=x 的焦点 ,点 A,B在该抛物线上且位于 x轴的两侧 , =2(其中 O为坐标原点 ),则 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是 . 答案 3 5.(2017浙江 ,21,15分 )如图 ,已知抛物线 x2=y,点 A ,B ,抛物线上的点 P(x,y) .过点 B作直线 AP的垂线 ,垂足为 Q. (1)求直线 AP斜率的取值范围 ; (2)求 |PA|PQ |的最大值 . 解析 (1)设直线 AP的斜率为 k,k= =x
3、- , 因为 - 0)交于 M,N两点 . (1)当 k=0时 ,分别求 C在点 M和 N处的切线方程 ; (2)y轴上是否存在点 P,使得当 k变动时 ,总有 OPM=OPN? 说明理由 . 解析 (1)由题设可得 M(2 ,a),N(-2 ,a)或 M(-2 ,a),N(2 ,a). 又 y= ,故 y= 在 x=2 处的导数值为 ,C在点 (2 ,a)处的切线方程为 y-a= (x-2 ),即 x-y-a=0. =【 ;精品教育资源文库 】 = y= 在 x=-2 处的导数值为 - ,C在点 (-2 ,a)处的切线方程为 y-a=- (x+2 ),即 x+y+a=0. 故所求切线方程为
4、x-y-a=0和 x+y+a=0.(5分 ) (2)存在符合题意的点 ,证明如下 : 设 P(0,b)为符合题意的点 ,M(x1,y1),N(x2,y2),直线 PM,PN的斜率分别为 k1,k2. 将 y=kx+a代入 C的方程得 x2-4kx-4a=0. 故 x1+x2=4k,x1x2=-4a. 从而 k1+k2= + = = . 当 b=-a时 ,有 k1+k2=0,则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补 ,故 OPM=OPN, 所以点 P(0,-a)符合题意 .(12分 ) 教师用书专用 (7 9) 7.(2013课标全国 理改编 ,11,5分 )设抛物线 C:y2=2px(
5、p0)的焦点为 F,点 M在 C上 ,|MF|=5,若以 MF为直径的圆过点 (0,2),则 C的方程为 . 答案 y2=4x或 y2=16x 8.(2014山东 ,21,14分 )已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,A为 C上异于原点的任意一点 ,过点 A的直线 l交 C于另一点 B,交 x轴的正半轴于点 D,且有 |FA|=|FD|.当点 A的横坐标为 3时 ,ADF 为正三 角形 . (1)求 C的方程 ; (2)若直线 l1l, 且 l1和 C有且只有一个公共点 E, (i)证明直线 AE过定点 ,并求出定点坐标 ; (ii)ABE 的面积是否存在最小值 ?若存在 ,请求
6、出最小值 ,若不存在 ,请说明理由 . 解析 (1)由题意知 F . 设 D(t,0)(t0),则 FD 的中点为 . 因为 |FA|=|FD|, 由抛物线的定义知 3+ = , 解得 t=3+p或 t=-3(舍去 ). 由 =3,解得 p=2. 所以抛物线 C的方程为 y2=4x. (2)(i)由 (1)知 F(1,0), 设 A(x0,y0)(x0y00),D(x D,0)(xD0), 因为 |FA|=|FD|,则 |xD-1|=x0+1, 由 xD0 得 xD=x0+2,故 D(x0+2,0). 故直线 AB的斜率 kAB=- . 因为直线 l1和直线 AB平行 , 设直线 l1的方程为
7、 y=- x+b, =【 ;精品教育资源文库 】 = 代入抛物线方程得 y2+ y- =0, 由题意 = + =0,得 b=- . 设 E(xE,yE),则 yE=- ,xE= , 当 4 时 ,kAE= =- = , 可得直线 AE 的方程为 y-y0= (x-x0), 由 =4x0, 整理可得 y= (x-1), 直线 AE 恒过点 F(1,0). 当 =4时 ,直线 AE 的方程为 x=1,过点 F(1,0), 所以直线 AE 过定点 F(1,0). (ii)由 (i)知直线 AE过焦点 F(1,0), 所以 |AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+ =x0+ +2. 设直线 AE的
8、方程为 x=my+1, 因为点 A(x0,y0)在直线 AE上 , 故 m= , 设 B(x1,y1),直线 AB的方程为 y-y0=- (x-x0), 由于 y00, 可得 x=- y+2+x0, 代入抛物线方程得 y2+ y-8-4x0=0. 所以 y0+y1=- , =【 ;精品教育资源文库 】 = 可求得 y1=-y0- ,x1= +x0+4, 所以点 B到直线 AE的距离为 d= = =4 . 则 ABE 的面积 S= 4 16, 当且仅当 =x0,即 x0=1时等号成立 . 所以 ABE 的面积的最小值为 16. 9.(2013湖南理 ,21,13分 )过抛物线 E:x2=2py(
9、p0)的焦点 F作斜率分别为 k1,k2的两条不同直线 l1,l2,且k1+k2=2,l1与 E相交于点 A,B,l2与 E相交于点 C,D,以 AB,CD为直径的圆 M,圆 N(M,N为圆心 )的公共弦所在直线记为 l. (1)若 k10,k20,证明 : 0,k20,k1k 2, 所以 00,所以点 M到直线 l的距离 d= = = . 故当 k1=- 时 ,d取最小值 .由题设得 , = ,解得 p=8.故所求的抛物线 E的方程为 x2=16y. 三年模拟 A组 2016 2018 年模拟 基础题组 考点 抛物线标准方程及其几何性质 1.(2017河北普通高中质量监测 ,20)已知抛物线
10、 C:y2=2px(p0)的焦点 F与椭圆 C: + =1的一个焦点重合 ,点A(x0,2)在抛物线上 ,过焦点 F 的直线 l交抛物线于 M,N 两点 . (1)求抛物线 C的方程以及 |AF|的值 ; (2)记抛物 线 C的准线与 x轴交于点 B,若 = ,|BM|2+|BN|2=40,求实数 的值 . 解析 (1)依题意知 ,椭圆 C: + =1中 ,a2=6,b2=5,故 c2=a2-b2=1, 故 F(1,0),故 =1,则 2p=4,故抛物线 C的方程为 y2=4x. 将 (x0,2)代入 y2=4x,解得 x0=1,故 |AF|=1+ =2. =【 ;精品教育资源文库 】 = (
11、2)设 l:x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2), 联立得 消去 x,得 y2-4my-4=0, 所以 又 = ,则 (1-x1,-y1)=(x 2-1,y2),即 y1=-y 2, 代 入 得 消去 y2得 4m2=+ -2. 易得 B(-1,0),则 =(x1+1,y1), =(x2+1,y2), 则 |BM|2+|BN|2= + =(x1+1)2+ +(x2+1)2+ = + +2(x1+x2)+2+ + =(my1+1)2+(my2+1)2+2(my1+my2+2)+2+ + =(m2+1)( + )+4m(y1+y2)+8 =(m2+1)(16m2+8)+4m4m+8=1
12、6m 4+40m2+16, 由 16m4+40m2+16=40,解得 m2= , 故 + =4,解得 =2 . 2.(2017江苏南京调研 )如图 ,在平面直角坐标系 xOy中 ,抛物线 y2=2px(p0)的准线 l与 x轴交于点 M,过 M的直线与抛物线交于 A,B两点 .设 A(x1,y1)到准线 l的距离为 d,且 d=p(0). (1)若 y1=d=1,求抛物线的标准方程 ; (2)若 + =0,求证 :直线 AB的斜率为定值 . 解析 (1)由条件知 ,A ,代入抛物线方程得 p=1. 所以抛物线的方程为 y2=2x. (2)证明 :设 B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y=
13、k (k0). 将直线 AB的方程代入 y2=2px, =【 ;精品教育资源文库 】 = 消去 y得 k2x2+p(k2-2)x+ =0, 所以 x1= ,x2= . 因为 d=p, 所以 x1+ =p, 又 + =0,所以 x1+ =(x 2-x1), 所以 p=x2-x1= , 所以 k2=2 -2,所以直线 AB的斜率为定值 . B组 2016 2018 年模拟 提升题组 (满分 :30分 时间 :15分钟 ) 解答题 (共 30分 ) 1.(2017江苏苏州自主学习测试 )已知抛物线 C的方程为 y2=2px(p0),点 R(1,2)在抛物线 C上 . (1)求抛物线 C的方程 ; (
14、2)过点 Q(1,1)作直线交抛物线 C于不同于 R的两点 A,B,若直线 AR,BR分别交直线 l:y=2x+2 于 M,N两点 ,求|MN|最小时直线 AB的方程 . 解析 (1) 点 R(1,2)在抛物线 C上 ,2p=4,p=2, 抛物线 C的方程为 y2=4x. (2)显然直线 AB 的斜率存在且不为 0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB的方程为 x=m(y-1)+1(m0). 由 消去 x,整理得 y2-4my+4(m-1)=0. 设直线 AR的方程为 y=k1(x-1)+2, 由 得点 M的横坐标 xM= , 又 k1= = = ,x M= =- . 同理 ,点
15、 N的横坐标 xN=- . =【 ;精品教育资源文库 】 = |y 2-y1|= =4 = |xM-xN|= =2 =8 =2 . 令 m-1=t,t0, 则 m=t+1, |MN|=2 =2 . |MN|=2 , 当 t=-2,即 m=-1时 ,|MN|的最小值为 ,此时直线 AB的方程为 x+y-2=0. 2.(2016江苏常州高级中学调研 ,23)若抛物线 C的顶点在坐标原点 O,其图象关于 x轴对称 ,且经过点 M(2,2). (1)求抛物线 C的方程 ; (2)过点 M作抛物线 C的两条弦 MA,MB,设 MA,MB所在直线的斜率分别为 k1,k2,当 k1,k2变化且满足 k1+k
16、2=-1时 ,证明直线 AB 过定点 ,并求出该定点坐标 . 解析 (1)由题意可设所求抛物线的标准方程为 y2=2px,因为抛物线经过点 M(2,2), 故 22=2p2 ?2p=2,从 而 y2=2x. (2)抛物线的弦 MA,MB与抛物线交于两点 ,从而它们所在直线的斜率 k1,k2满足 k10,k 20, 设 A(xA,yA),B(xB,yB),由 得 xA= ,yA= -2,同理 xB= ,yB= -2, 从而 A,B所在直线的方程为 : - x- =0, 由 k1+k2=-1,可得 : (x+2y+2)+ (x+2y+2)-(y+4)k1=0, 因为 k1R, 所以 解得 x=6,
17、y=-4, 所以直线 AB 过定点 ,且定点坐标为 (6,-4). C组 2016 2018 年模拟 方法题组 方法 直线与抛物线的位置关系 1.(2017苏北三市三模 ,22)在平面直角坐标系 xOy中 ,点 F(1,0),直线 x=-1与动直线 y=n的交点为 M,线段 MF的中垂线与动直线 y=n的交点为 P. (1)求动点 P的轨迹 E的方程 ; (2)过动点 M作曲线 E的两条切线 ,切点分别为 A,B,求证 :AMB 的大小为定值 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 (1)因为直线 y=n与 x=-1垂直 ,所以 MP 为点 P到直线 x=-1的距离 . 连结 PF,因为
18、P为线段 MF 的中垂线与直线 y=n的交点 , 所以 |MP|=|PF|. 所以点 P的轨迹是抛物线 . 其焦点为 F(1,0),准线为 x=-1. 所以轨迹 E的方程为 y2=4x. (2)证明 :由题意知 ,过点 M(-1,n)的切线斜率存在 , 设切线方程为 y-n=k(x+1), 由 得 ky2-4y+4k+4n=0, 所以 1=16-4k(4k+4n)=0,即 k2+kn-1=0(*). 因为 2=n2+40,所以方程 (*)存在两个不等实根 , 设为 k1,k2, 因为 k1 k2=-1,所以 AMB=90, 为定值 . 2.(2016江苏新海中学月考 )在平面直角坐标系 xOy中 ,已知抛物线 y2=2px(p0)的准线方程为 x=- ,过点 M(0,-2)作抛物线的切线 MA,切点为 A(异于点 O).直线 l过点 M与抛物线交于 B,C两点 ,与直线 OA交于点 N. (1)求抛物线的方程 ; (2) + 的值是否为定值 ?若是 ,求出定值 ;若不是 ,说明理由 . 解析 (1)由题设 ,知 - =- ,即 p= , 所以抛
