1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 14.2 圆的方程 考纲解读 考点 内容解读 要求 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 1.圆的标准方程 1.求圆的标准方程 2.圆的标准方程的应用 C 填空题 解答题 2.圆的一般方程 1.求圆的一般方程 2.圆的一般方程的应用 C 填空题 解答题 分析解读 江苏高考中一般都会考查圆的方程 ,有时候会单独考查 ,有时候会和椭圆在一起综合考查 . 五年高考 考点一 圆的标准方程 1.(2016天津 ,12,5分 )已知圆 C的圆心在 x轴的正半轴上 ,点 M(0, )在圆 C上 ,且圆心到直线 2x-y=0的距离
2、为 ,则圆 C的方程为 . 答案 (x-2)2+y2=9 2.(2016北京 ,5,5分 )圆 (x+1)2+y2=2的圆心到直线 y=x+3 的距离为 . 答案 3.(2015课标 ,14,5 分 )一个圆经过椭圆 + =1的三个顶点 ,且圆心在 x轴的正半轴上 ,则该圆的标准方程为 . 答案 +y2= 考点二 圆的一般方程 1.(2016浙江 ,10,6分 )已知 aR, 方程 a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0 表示圆 ,则圆心坐标是 ,半径是 . 答案 (-2,-4);5 2.(2015重庆改编 ,8,5分 )已知直线 l:x+ay-1=0(aR) 是圆 C:x2+y2-4
3、x-2y+1=0的对称轴 .过点 A(-4,a)作圆 C的一条切线 ,切点为 B,则 |AB|= . 答案 6 三年模拟 A组 2016 2018 年模拟 基础题组 考点一 圆的标准方程 1.(2017江苏苏州暑期调研 ,12)圆心在抛物线 y= x2上 ,并且和该抛物线的准线及 y轴都相切的圆的标准方程为 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 (x1) 2+ =1 2.(苏教必 2,二 ,2,7,变式 )若圆 C经过坐标原点和点 (4,0),且与直线 y=1相切 ,则圆 C的方程是 . 答案 (x-2)2+ = 3.(苏教必 2,二 ,2,8,变式 )圆心在曲线 y= (x0)上 ,且
4、与直线 2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为 . 答案 (x-1)2+(y-2)2=5 4.(苏教必 2,二 ,2,6,变式 )已知圆 M的圆心在 x轴上 ,且圆心在直线 l1:x=-2的右侧 ,若圆 M截直线 l1所得的弦长为 2 ,且与直线 l2:2x- y-4=0相切 ,则 圆 M的方程为 . 答案 (x+1)2+y2=4 考点二 圆的一般方程 5.(苏教必 2,二 ,2,3,变式 )一圆经过 A(4,2),B(-1,3)两点 ,且在两坐标轴上的四个截距的和为 2,此圆的方程为 . 答案 x2+y2-2x-12=0 6.(2018江苏扬州中学高三月考 )二次函数 y=x2+bx(b
5、0,b1) 的图象与 x轴交于 O,A 两点 ,交直线 l:y=x于O,B两点 ,过 O,A,B三点作圆 C. (1)求证 :当 b变化时 ,圆 C的圆心在一条定直线上 ; (2)求证 :圆 C经过除原点外的一个定点 . 证明 (1)在 y=x2+bx(b0,b1) 中 ,分别令 y=0,y=x,易得 A(-b,0),B(1-b,1-b). 圆 C过原点 , 设圆 C的方程为 x2+y2+Dx+Ey=0, 则 故经过 O,A,B三点的圆 C的方程为 x2+y2+bx+(b-2)y=0, 设圆 C的圆心坐标为 (x0,y0), 则 x0=- ,y0=- ,y 0=x0+1, 这说明当 b变化时
6、,圆 C的圆心在定直线 y=x+1上 . (2)设圆 C过定点 (m,n),则 m2+n2+bm+(b-2)n=0,整理得 (m+n)b+m2+n2-2n=0, 它对任意 b0, b1 恒成立 , 或 故当 b变化时 ,圆 C经过除原点外的一个定点 ,坐标为 (-1,1). 7.(2016江苏姜堰期中 ,17)已知 ABC 的顶点坐标分别是 A(-1,0),B(2, ),C(1,-2),O为坐标原点 . (1)求 ABC 外接圆的方程 ; (2)设 P为 ABC 外接圆上任意一点 ,求 |OP|的最大值和最小值 . 解析 (1)设 ABC 外接圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入
7、A,B,C的坐标 , =【 ;精品教育资源文库 】 = 得 解得 所以 ABC 外接圆的方程为 x2+y2-2x-3=0. (2)设圆上任意一点 P(x0,y0),则 + -2x0-3=0, 所以 |OP|2= + =2x0+3, 又 ABC 外接圆的标准方程为 (x-1)2+y2=4,所以 x0 -1,3, 所以 |OP|2的最小值为 1,最大值为 9, 所以 |OP|的最小值为 1,最大值为 3. B组 2016 2018 年模拟 提升题组 (满分 :10分 时间 :10分钟 ) 填空题 (每小题 5分 ,共 10 分 ) 1.(2018江苏南通中学高三测试 )过圆 x2+y2=1上任意一
8、点 P作两直线分别交圆于 A、 B两点 ,且 APB=60, 则PA2+PB2的取值范围是 . 答案 (3,6 2.(2017江苏天一中学质检 )若第一象限内的动点 P(x,y)满足 + + =1,R=xy,则以 P 为圆心 ,R为半径且面积最小的圆的方程为 . 答案 (x-3)2+ = C组 2016 2018 年模拟 方法题组 方法 1 求圆的方程的方法 1.如图 ,已知圆 O的直径 AB=4,定直线 l到圆心的距离为 4,且直线 l垂直于直线 AB.点 P是圆 O上异于 A,B的任意一点 ,直线 PA,PB分别交 l于 M,N两点 . (1)若 PAB=30, 求以 MN 为直径的圆的方
9、程 ; (2)当点 P变化时 ,求证 :以 MN为直径的圆必过圆 O内的一定点 . 解析 如图 ,建立直角坐标系 ,得 A(-2,0),B(2,0),O 的方程为 x2+y2=4,直线 l的方程为 x=4. (1)当点 P在 x轴上方时 , 因为 PAB=30, =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以点 P的坐标为 (1, ), 所以 lAP:y= (x+2), lBP:y=- (x-2). 将 x=4分别代入 , 得 M(4,2 ),N(4,-2 ), 所以线段 MN 的中点坐标为 (4,0),MN=4 . 所以以 MN为直径的圆的方程为 (x-4)2+y2=12. 同理 ,当点 P在 x轴
10、下方时 , 所求圆的方程仍是 (x-4)2+y2=12. 综上 ,以 MN为直径的圆的方程为 (x-4)2+y2=12. (2)证明 :设点 P的坐标为 (x0,y0),则 y00, 所以 + =4(y00), 所以 =4- . 易知 lPA:y= (x+2), lPB:y= (x-2), 将 x=4分别代入 , 得 yM= ,yN= , 所以 M ,N , 所以 MN= = , 线段 MN 的中点坐标为 , 以 MN为直径的圆 O截 x轴所得的线段长度为 2 = =【 ;精品教育资源文库 】 = = =4 . 则圆 O与 x轴的两交点坐标分别为 (4-2 ,0),(4+2 ,0). 又 (4
11、-2 )2=28-16 4, 所以圆 O必过圆 O内定点 (4-2 ,0). 方法 2 与圆有关的最值问题的求解方法 2.(2018江苏扬州中学月考 )在直角坐标系 xOy中 ,圆 C1:x2+y2=8,圆 C2:x2+y2=18,点 M(1,0),动点 A、 B分别在圆C1和圆 C2上 ,满足 ,则 | + |的取值范围是 . 答案 4,6 3.已知实数 x,y满足关系式 :x2+y2-6x-4y+12=0,点 P(x,y),A(-1,0),B(1,0). (1)求 的最大值和最小值 ; (2)求 x-y的最大值和最小值 ; (3)求 |PA|2+|PB|2的最大值与最小值 . 解析 (1)
12、圆 C:(x-3)2+(y-2)2=1,圆心 C(3,2),半径为 1. 设 =k,则当直线 y=kx与圆 C相切时 , 取得最值 . 此时 =1,解得 k= , 的最大值为 ,最小值为 . (2)设 x-y=t,则当直线 y=x-t与圆 C相切时 ,x-y取得最值 . 此时 =1, t=1 , x -y的最大值为 1+ ,最小值为 1- . (3)设 |PA|2+|PB|2=m2, 则有 x2+y2= ,m22. 当圆 x2+y2= 与圆 C相切时 ,|PA|2+|PB|2取得最值 , =【 ;精品教育资源文库 】 = 此时 1= , 解得 m2=30?4 . |PA| 2+|PB|2的最大值为 30+4 ,最小值为 30-4 .
