1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 讲 圆的方程 1 圆 x2 y2 4x 6y 0 的圆心坐标是 _ 解析 圆的方程可化为 (x 2)2 (y 3)2 13， 所以圆心坐标是 (2， 3) 答案 (2， 3) 2 圆心为 (1， 1)且过原点的圆的方程是 _ 解析 因为圆心为 (1， 1)且过原点 ， 所以该圆的半径 r 12 12 2， 则该圆的方程为 (x 1)2 (y 1)2 2. 答案 (x 1)2 (y 1)2 2 3 以线段 AB： x y 2 0(0 x2) 为直 径的圆的方程为 _ 解析 由题意易得线段的端点为 (0， 2)， (2， 0)， 线段的中点即圆心为 (1，
2、 1)， 所以圆的半径为 r 2， 所以圆的方程为 (x 1)2 (y 1)2 2. 答案 (x 1)2 (y 1)2 2 4 (2018 珠海模拟 )已知方程 x2 y2 kx 2y k2 0 所表示的圆有最大的面积 ， 则取最大面积时 ， 该圆的圆心的坐标为 _ 解析 r 12 k2 4 4k2 12 4 3k2， 当 k 0 时 ， r 最大 ， 此时圆心坐标为 (0， 1) 答案 (0， 1) 5 已知圆 C1： (x 1)2 (y 1)2 1， 圆 C2与圆 C1关于直线 x y 1 0 对称 ， 则圆 C2的方程为 _ 解析 由题意得 C1( 1， 1)， 圆心 C2与 C1关于直
3、线 x y 1 0 对称 ， 且半径相等 ， 则C2(2， 2)， 所以圆 C2的方程为 (x 2)2 (y 2)2 1. 答案 (x 2)2 (y 2)2 1 6 已知点 M 是直线 3x 4y 2 0 上的动点 ， 点 N 为圆 (x 1)2 (y 1)2 1 上的动点 ，则 MN 的最小值是 _ 解析 圆心 ( 1， 1)到点 M 的距离的最小值为点 ( 1， 1)到直线的距离 d| 3 4 2|5 95， 故点 N 到点 M 的距离的最小值为 d 145. 答案 45 7 在平面直角坐标系内 ， 若曲线 C： x2 y2 2ax 4ay 5a2 4 0 上所有的点均在第四象限内 ， 则
4、实数 a 的取值范围为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 圆 C 的标准方程为 (x a)2 (y 2a)2 4， 所以圆心为 ( a， 2a)， 半径 r 2， 故由题意知?a2?a2. 答案 ( ， 2) 8 (2018 南通市高三第一次调研测试 )在平面直角坐标系 xOy 中 ， 已知 B， C 为圆 x2y2 4 上两点 ， 点 A(1， 1)， 且 AB AC， 则线段 BC 的长的取值范围为 _ 解析：设 BC 的中点为 M(x， y)， 因为 OB2 OM2 BM2 OM2 AM2， 所以 4 x2 y2 (x 1)2 (y 1)2， 化简得 ? ?x 122 ? ?y
5、 122 32， 所以点 M 的轨迹是以 ? ?12， 12 为圆心 ， 62 为半径的圆 ， 又 A 与 ? ?12， 12 的距离为 22 ， 所以 AM 的取值范围是 ? ?6 22 ， 6 22 ， 所以 BC 的取值范围是 6 2， 6 2 答案： 6 2， 6 2 9 曲线 f(x) xln x 在点 P(1， 0)处的切线 l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是_ 解析 曲线 f(x) xln x 在点 P(1， 0)处的切线 l 的方程为 x y 1 0， 与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为 ? ?12， 12 ， 半径为 22 ， 所以方程为 ? ?x 122 ? ?y 12
6、2 12. 答案 ? ?x 122 ? ?y 122 12 10 过点 P(1， 1)的直线 ， 将圆形区域 (x， y)|x2 y2 4分为两部分 ， 使得这两部分的面积之差最大 ， 则该直线的方程为 _ 解析 当圆心与点 P 的连线和过点 P 的直线垂直时 ， 符合条件 直线 OP 的斜率 k 1， 所以垂直于直线 OP 的直线为 x y 2 0. 答案 x y 2 0 11 已知实数 x、 y 满足方程 x2 y2 4x 1 0， 求： =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)yx的最大值和最小值； (2)y x 的最大值和最小值； (3)x2 y2的最大值和最小值 解 (1)原方程可化
7、为 (x 2)2 y2 3， 表示以 (2， 0)为圆心 ， 3为半径的圆 ， yx的几何意 义是圆上一点与原点连线的斜率 ，所以设 yx k， 即 y kx. 当直线 y kx 与圆相切时 ， 斜率 k 取最大值或最小值 ， 此时 |2k 0|k2 1 3， 解得 k 3. 所以 yx的最大值为 3， 最小值为 3. (2)y x 可看作是直线 y x b 在 y 轴上的截距 ， 当直线 y x b 与圆相切时 ， 纵截距 b取得最大值或最小值 ， 此时 |2 0 b|2 3， 解得 b 2 6. 所以 y x 的最大值为 2 6， 最小值为 2 6. (3)x2 y2表示圆上的一点与原点距
8、离的平方 ， 由平面几何知识知 ， 在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心到原点的距离为 （ 2 0） 2（ 0 0） 2 2， 所以 x2 y2的最大值是 (2 3)2 7 4 3， x2 y2的最小 值是 (2 3)2 7 4 3. 12 已知以点 P 为圆心的圆经过点 A( 1， 0)和 B(3， 4)， 线段 AB 的垂直平分线交圆 P于点 C 和 D， 且 CD 4 10. (1)求直线 CD 的方程； (2)求圆 P 的方程 解 (1)直线 AB 的斜率 k 1， AB 的中点坐标为 (1， 2) 则直线 CD 的方程为 y 2 (x 1)， 即 x y 3 0
9、. (2)设圆心 P(a， b)， 则由点 P 在 CD 上得 a b 3 0. 又因为直径 CD 4 10， 所以 PA 2 10， 所以 (a 1)2 b2 40. 由 解得?a 3，b 6 或 ?a 5，b 2. 所以圆心 P( 3， 6)或 P(5， 2) 所以圆 P 的方程为 (x 3)2 (y 6)2 40 或 (x 5)2 (y 2)2 40. =【 ;精品教育资源文库 】 = 1 设 P 是圆 (x 3)2 (y 1)2 4 上的动点 ， Q 是直线 x 3 上的动点 ， 则 PQ 的最小值为 _ 解析 如图 ， 圆心 M(3， 1)与定直线 x 3 的最短距离为 MQ 3 (
10、 3) 6， 又圆的半径为 2， 故所求最短距离为 6 2 4. 答案 4 2 已知点 P(x， y)是直线 kx y 4 0(k 0)上一动点 ， PA， PB 是圆 C： x2 y2 2y 0的两条切线 ， A， B 为切点 ， 若四边形 PACB 的最小面积是 2， 则 k 的值为 _ 解析 圆 C 的方程可化为 x2 (y 1)2 1， 因为四边形 PACB 的最小面积是 2， 且此时切线长为 2， 故圆心 (0， 1)到直线 kx y 4 0 的距离为 5， 即 51 k2 5， 解得 k 2，又 k 0， 所以 k 2. 答 案 2 3 (2018 江苏省六市高三调研 )在平面直角
11、 坐标系 xOy 中 ， 已知圆 C1： (x 4)2 (y8)2 1， 圆 C2： (x 6)2 (y 6)2 9.若 圆心在 x 轴上的圆 C 同时平分圆 C1和圆 C2的圆周 ，则圆 C 的方程是 _ 解析：因为所求圆的圆心在 x 轴上 ， 所以可设所求圆的方程为 x2 y2 Dx F 0.用它的方程与已知两圆的方程分别相减得 ， (D 8)x 16y F 79 0， (D 12)x 12y F 63 0，由题意 ， 圆心 C1(4， 8)， C2(6， 6)分别在上述两条直线上 ， 从而求得 D 0， F 81， 所以所求圆的方程为 x2 y2 81. 答案： x2 y2 81 4 定义：若对于平面点集 A 中的任一个点 (x0， y0)， 总存在正实数 r， 使得集合 （ x， y） | （ x x0） 2（ y y0） 20 ； （ x， y） |x y|6 ； （ x， y） |00， 所以圆 C 的方程为 (x 2)2 (y 2)2 8. (2)假设存在点 Q 符合要求 ， 设 Q(x， y)， 则有?（ x 4） 2 y2 16，（ x 2） 2（ y 2） 2 8， 解之得 x 45或 x 0(舍去 ) 所以存在点 Q? ?45， 125 ， 使 Q 到定点 F(4， 0)的距离等于线段 OF 的长
