1、6.3等比数列,高考数学,1.等比数列的通项公式如果等比数列an的公比为q,那么它的通项公式为an=a1qn-1.2.等比数列的前n项和公式设等比数列an的公比为q,其前n项和Sn=?3.等比中项如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,且G=?(ab0).,知识清单,4.等比数列的有关性质(1)等比数列an满足?或?时,an是递增数列;满足?或?时,an是递减数列.当q=1时,an为常数列;当q0且a1)是以logaa1为首项,logaq为公差的等差数列(q是an的公比).(2)若an是等差数列,则?(b0)是以?为首项,bd为公比的等比数列(d是an的公差).,等比数列的基本运
2、算1.将条件用a1,q表示出来,在表示Sn时要注意判断q能否取1.2.解方程(组)求出a1,q,消元时要注意两式相除和整体代入(消元).3.利用a1,q来求结论.例1各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于.,方法技巧,解析设等比数列an的公比为q.由题意得,q0,S3n=143Sn=6,q1.依题意得?所以?因此S4n=?=(-2)(1-24)=30.,答案30,等比数列的判定与证明1.定义法:若?=q(q为非零常数)或?=q(q为非零常数且n2,nN*),则an是等比数列.2.等比中项法:若数列an中,an0且?=anan+2(nN*),则数列an
3、是等比数列.3.通项公式法:若数列的通项公式可写成an=cqn(c,q均是不为0的常数,nN*),则an是等比数列.4.前n项和公式法:若数列an的前n项和Sn=k-kqn(k为常数且k0,q0,1),则an是等比数列.,其中前两种方法是证明等比数列的常用方法,而后两种方法常用于填空题中的判定.若证明一个数列不是等比数列,只要证明存在相邻三项不成等比数列即可.例2成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列bn中的b3,b4,b5.(1)求数列bn的通项公式;(2)数列bn的前n项和为Sn,求证:数列?是等比数列.,解题导引(1)由已知条件表示出b3,b4,
4、b5?求出b1及公比?求出bn(2)求出Sn?利用定义证明?是等比数列,解析(1)设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d.依题意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以bn中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d.依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去).故b3=5,公比q=?=2.由b3=b122,即5=b122,解得b1=?.所以bn是以?为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为bn=?2n-1=52n- 3.,(2)证明:数列bn的前n项和Sn=?=52n-2-?,即Sn+?=52n-2,所以S1+?=?,?=?=2.因此?是以?为首
5、项,2为公比的等比数列.,等差数列与等比数列的综合运用1.在等差数列中蕴含等比关系,由等差数列设出数列的项(突出a1,d),利用等比关系列方程求解,同样,等比数列中蕴含等差关系也如此解决.2.解题时适当利用性质转化条件,可简化运算.3.挖掘隐含条件,发现等差(或等比)关系,使解题目的明确.例3(2017山东文,19,12分)已知an是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.(1)求数列an的通项公式;(2)bn为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求数列?的前n项和Tn.,解析(1)设an的公比为q,由题意知:a1(1+q)=6,?q=a1q2,又an0,解得a1=2,q=2,所以an=2n.(2)由题意知:S2n+1=? =(2n+1)bn+1,又S2n+1=bnbn+1,bn+10,所以bn=2n+1.令cn=?,则cn=?.因此Tn=c1+c2+cn=?+?+?+?+?,所以?Tn=?+?+?+?+?,两式相减得?Tn=?+?-?,所以Tn=5-?.,
