1、8.6.2直线与平面垂直（第二课时）一、教学目标 1. 掌握直线与平面垂直性质定理并能运用其解决相关问题 2. 理解直线到平面的距离以及两平行平面的距离定义3. 通过对直线与平面垂直性质定理的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养二、教学重点 1. 直线与平面平行的性质定理2. 直线到平面的距离以及两平行平面的距离教学难点 能运用直线与平面垂直性质定理解决相关问题三、教学过程1、复习回顾情境引入问题1：直线与平面垂直的定义是什么？ 答：如果直线 l 与平面 a 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面互相垂直 如何判断直线与平面垂直？ 答：如果一条直线与一个平面内的两条相
2、交直线垂直，那么该直线与此平面垂直问题2：直线与平面垂直的判定定理解决了判定直线与平面垂直的问题，反之，在直线与平面垂直的条件下，能得到哪些结论呢？由此引出本节学习内容2、探索新知观察：(1)如图，在长方体ABCD-ABCD中，棱AA、BB、 CC、DD所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系? (2)如图，已知直线a、b和平面.如果a，b，那么直线a、 b一定平行吗? 答：（1）平行 （2）平行 引导学生利用反证法对（2）进行证明 假设b与a不平行，且b=O.显然点O不在直线a上所以点O与直线a可确定一个平面 一方面在该平面内过点O作直线b/a，则直线b与b是相交于点O的两条不
3、同直线，所以直线b与b可确定平面另一方面设=c，则Oc，因为a, b，所以ac，bc又因为b/a，所以bc这样在平面内，经过直线c上同一点O就有两条直线b、b与c垂直显然不可能，因此b/a1）直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言： ab 图形语言： 简记：线面垂直线线平行问题3：过一点有几条直线与已知平面垂直？答：有且仅有一条假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线问题4：在a的条件下，如果平面外的直线b与直线a垂直，你能得到什么结论? 答： aabba/b 问题5：如果平面与
4、平面平行，你又能得到什么结论? 答：a/a/ 【例1】如图，直线l平行于，求证：直线l上各点到平面的距离相等证明：过直线l上任意两点A、B分别作平面的垂线AA1、BB1，垂足分别是A1、B1AA1，BB1AA1/BB1设直线AA1,BB1确定的平面为，=A1B1l/l/A1B1所以四边形AA1BB1是矩形AA1=BB1由A、B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面距离相等2）直线到平面的距离如果一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离两平行平面间的距离如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平
5、行平面间的距离 例如：在棱柱、棱台的体积公式中，它们的高就是它们的上、下底面间的距离【例2】推导棱台的体积公式其中、分别是棱台的上、下底面积，是高解：如图，延长棱台各侧棱交于点P，得到截得棱台的棱锥。过点P作棱台的下底面的垂线，分别于棱台的上、下底面交于点、，则垂直于棱台的上底面，从而设截得棱台的棱锥的体积为，去掉的棱锥的体积为、高为则于是 所以棱台的体积 由棱台的上、下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且 所以 代入 ，得 【例3】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC求证：MNAD1证明：因为四边形ADD1A1为正方形所以A
6、D1A1D又因为CD平面ADD1A1所以CDAD1因为A1DCDD所以AD1平面A1DC又因为MN平面A1DC所以MNAD1【例4】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C(1)证明：B1CAB(2)若ACAB1，CBB1=60,BC=1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高 (1)证明: 连接BC1,则O为B1C与BC1的交点,侧面BB1C1C为菱形B1CBOAO平面BB1C1C,B1CAOAOBO=OB1C平面BAO又AB平面ABOB1CAB(2)作ODBC，垂足为D，连接AD，作OHAD，垂足为HAO平面BB1C1CBCAO又BC
7、OD，AOOD=OBC平面AODOHBC又OHAD，ADBC=DOH平面ABCCBB1=60,BB1=BC,CBB1为等边三角形 得OD=ACAB1OA=B1C=由OHAD=ODOA，且AD=,得OH=又O为B1C的中点点B1到平面ABC的距离为平面ABC平面A1B1C1三棱柱的高即为平面ABC与平面A1B1C1的距离,也就是点B1到平面ABC的距离三棱柱ABC-A1B1C1的高为四、课堂练习P155 练习 1、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AB平面PAD，ADAP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MNAB，MNPC，证明：AEMN.证明AB平面PAD，AE平面PADAEAB又ABCD，AECDADAP，E是PD的中点AEPD又CDPDD，CD，PD平面PCDAE平面PCDMNAB，ABCDMNCD又MNPC，PCCDC，PC，CD平面PCDMN平面PCDAEMN五、课堂小结1、直线和平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行2、直线到平面的距离两平行平面间的距离六、课后作业习题8.6 12、13七、课后反思
