1、浙江省湖州市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设i是虚数单位，则复数 i1+i 在复平面内所对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.“幸福感指数”是指某个人主观评价他对自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间 0,10 内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位湖州市居民，他们的幸福感指数为5，6，6，6，7，7，8，8，9，10.则这组数据的80%分位数是（ ） A.7.5B.8C.8.5D.93.在正方体 ABCD-A
2、1B1C1D1 中，异面直线 A1B 与 AD1 所成角的大小为（ ） A.30B.45C.60D.904.已知 OA=(2,3) ， OB=(-3,y) ，若 OAOB ，则 |AB| 等于（ ） A.2B.26C.52D.51525.在一个袋子中放2个白球，2个红球，摇匀后随机摸出2个球，与“摸出1个白球1个红球”互斥而不对立的事件是（ ） A.至少摸出1个白球B.至少摸出1个红球C.摸出2个白球D.摸出2个白球或摸出2个红球6.在 ABC 中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点， AN=xAB+yAC ，则 x+y= （ ） A.14B.13C.1D.127.在 ABC 中，角A，B，
3、C所对的边分别为a，b，c，则“ acosB=c ”是“ ABC 是直角三角形”的（ ） A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件8.已知球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆公共弦长为 23 .若两个圆的半径分别为 23 和4，则该球的体积是（ ） A.36B.52133C.125D.5003二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.为庆祝中国共产党成立100周年，某校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛
4、，他们的7场初赛成绩如下 甲选手：78 84 85 85 86 88 92 乙选手：72 84 86 87 89 93 94则以下结论正确的是（ ）A.甲成绩的极差比乙成绩的极差小B.甲成绩的众数比乙成绩的中位数小C.甲成绩的方差比乙成绩的方差小D.甲成绩的平均数比乙成绩的平均数大10.有一道数学难题，学生甲解出的概率为 12 ，学生乙解出的概率为 13 ，学生丙解出的概率为 14 .若甲，乙，丙三人独立去解答此题，则（ ） A.恰有一人解出的概率为 1124B.没有人能解出的概率为 124C.至多一人解出的概率为 1724D.至少两个人解出的概率为 232411.记E，F分别是正方形ABCD
5、边AD和BC的中点，现将 ABE 绕着边BE旋转，则在旋转过程中（ ） A.AE与BF不可能垂直B.AB与DF可能垂直C.AC与AF不可能垂直D.AF与DE可能垂直12.如图， OA1B1 ， A1A2B2 ， A2A3B3 是全等的等腰直角三角形（ OB1=1 ， Bi(i=1,2,3) 处为直角顶点），且 O ， A1 ， A2 ， A3 四点共线.若点 P1 ， P2 ， P3 分别是边 A1B1 ， A2B2 ， A3B3 上的动点（包含端点），记 I1=OB1OP3 ， I2=OB2OP2 ， I3=OB3OP1 ，则（ ） A.I13B.I3I1C.I3I2D.5I26三、填空题（
6、本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知某圆锥的侧面展开图是面积为 2 的半圆，则该圆锥的母线长是_. 14.在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，已知 AB=1，D 在棱 BB1 上，且 BD=1 ，若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 ，则 sin= _ 15.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得 CD=4km ， ADB=CDB=30 ， ACD=60 ， ACB=45 ，则A，B两点间的距离是_km. 16.已知平面向量 a ， b 的夹角为45， |a|=1 且 c=-2a+b(R) ，则 |c
7、|+|c-a| 的最小值是_. 四、解答题（本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的所有棱长均为2，且 A1B1C1=60 . （1）求证： C1D/ 平面 AB1C ； （2）求二面角 B1-AC-D1 的余弦值. 18.为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为 35 ， 34 ；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为 23 ， 25 .甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出
8、互不影响. （1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 19.某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在 1000,1500) ）. （1）求居民收入在 3000,3500) 的频率； （2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数； （3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在 2500,3000) 的这段应抽取多少人？
9、20.请在 2bsin(A+6)=a+c ； (2c-a)cosB=bcosA ； a2+c2-b2=433SABC 这三个条件中任意选择一个，补充在下面问题的横线上，并进行解答. 在 ABC 中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若满足_-.（）若 b=2 且 C=4 ，求 ABC 的面积；（）若 4a+b=3c ，求 cosC .21.如图，在直角梯形OABC中， OA/CB ， OAOC ， OA=2BC=2OC . F 为 AB 上靠近 B 的三等分点，OF交AC于D，E为线段BC上的一个动点（包含端点）. （1）若 OD=tOF(tR) ，求实数 t 的值； （2）设 OB
10、=CA+OE(,R) ，求 的取值范围. 22.如图，已知四棱锥 P-ABCD ， AD/BC 且 ABAD ， AD=62 ， AB=4 ， BC=42 ， PAD 的面积等于 122 ，E是PD是中点. （1）求四棱锥 P-ABCD 体积的最大值； （2）若PB=45 ， tanPAD=22 . （i）求证：ADPC ； （ii）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值. 答案解析部分浙江省湖州市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷一、单选题1.设i是虚数单位，则复数 i1+i 在复平面内所对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.“幸福感指数”是指某
11、个人主观评价他对自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间 0,10 内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位湖州市居民，他们的幸福感指数为5，6，6，6，7，7，8，8，9，10.则这组数据的80%分位数是（ ） A.7.5B.8C.8.5D.93.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，异面直线 A1B 与 AD1 所成角的大小为（ ） A.30B.45C.60D.904.已知 OA=(2,3) ， OB=(-3,y) ，若 OAOB ，则 |AB| 等于（ ） A.2B.26C.52D.51525.在一个袋子中放2个白球，2个红球，摇匀后随机摸出2个球，与“摸出1
12、个白球1个红球”互斥而不对立的事件是（ ） A.至少摸出1个白球B.至少摸出1个红球C.摸出2个白球D.摸出2个白球或摸出2个红球6.在 ABC 中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点， AN=xAB+yAC ，则 x+y= （ ） A.14B.13C.1D.127.在 ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“ acosB=c ”是“ ABC 是直角三角形”的（ ） A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件8.已知球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆公共弦长为 23 .若两个圆的半径分别为 23 和4，则该球的体积是（ ） A.36B.52
13、133C.125D.5003二、多选题9.为庆祝中国共产党成立100周年，某校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成绩如下 甲选手：78 84 85 85 86 88 92 乙选手：72 84 86 87 89 93 94则以下结论正确的是（ ）A.甲成绩的极差比乙成绩的极差小B.甲成绩的众数比乙成绩的中位数小C.甲成绩的方差比乙成绩的方差小D.甲成绩的平均数比乙成绩的平均数大10.有一道数学难题，学生甲解出的概率为 12 ，学生乙解出的概率为 13 ，学生丙解出的概率为 14 .若甲，乙，丙三人独立去解答此题，则（ ） A.恰有一
14、人解出的概率为 1124B.没有人能解出的概率为 124C.至多一人解出的概率为 1724D.至少两个人解出的概率为 232411.记E，F分别是正方形ABCD边AD和BC的中点，现将 ABE 绕着边BE旋转，则在旋转过程中（ ） A.AE与BF不可能垂直B.AB与DF可能垂直C.AC与AF不可能垂直D.AF与DE可能垂直12.如图， OA1B1 ， A1A2B2 ， A2A3B3 是全等的等腰直角三角形（ OB1=1 ， Bi(i=1,2,3) 处为直角顶点），且 O ， A1 ， A2 ， A3 四点共线.若点 P1 ， P2 ， P3 分别是边 A1B1 ， A2B2 ， A3B3 上的
15、动点（包含端点），记 I1=OB1OP3 ， I2=OB2OP2 ， I3=OB3OP1 ，则（ ） A.I13B.I3I1C.I3I2D.5I26三、填空题13.已知某圆锥的侧面展开图是面积为 2 的半圆，则该圆锥的母线长是_. 14.在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，已知 AB=1，D 在棱 BB1 上，且 BD=1 ，若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 ，则 sin= _ 15.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得 CD=4km ， ADB=CDB=30 ， ACD=60 ， ACB=45 ，则A，B
16、两点间的距离是_km. 16.已知平面向量 a ， b 的夹角为45， |a|=1 且 c=-2a+b(R) ，则 |c|+|c-a| 的最小值是_. 四、解答题17.已知直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的所有棱长均为2，且 A1B1C1=60 . （1）求证： C1D/ 平面 AB1C ； （2）求二面角 B1-AC-D1 的余弦值. 18.为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为 35 ， 34 ；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为 2
17、3 ， 25 .甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 19.某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在 1000,1500) ）. （1）求居民收入在 3000,3500) 的频率； （2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数； （3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在
18、 2500,3000) 的这段应抽取多少人？ 20.请在 2bsin(A+6)=a+c ； (2c-a)cosB=bcosA ； a2+c2-b2=433SABC 这三个条件中任意选择一个，补充在下面问题的横线上，并进行解答. 在 ABC 中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若满足_-.（）若 b=2 且 C=4 ，求 ABC 的面积；（）若 4a+b=3c ，求 cosC .21.如图，在直角梯形OABC中， OA/CB ， OAOC ， OA=2BC=2OC . F 为 AB 上靠近 B 的三等分点，OF交AC于D，E为线段BC上的一个动点（包含端点）. （1）若 OD=tOF
19、(tR) ，求实数 t 的值； （2）设 OB=CA+OE(,R) ，求 的取值范围. 22.如图，已知四棱锥 P-ABCD ， AD/BC 且 ABAD ， AD=62 ， AB=4 ， BC=42 ， PAD 的面积等于 122 ，E是PD是中点. （1）求四棱锥 P-ABCD 体积的最大值； （2）若PB=45 ， tanPAD=22 . （i）求证：ADPC ； （ii）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值. 答案解析部分一、单选题1.【答案】 A 【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】由 i1+i=i(1-i)(1+i)(1-i)=1+i2 ，
20、即复数 i1+i 在复平面内所对应的点位于第一象限. 故答案为：A 【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数z，再利用复数的几何意义求出复数z对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限。2.【答案】 C 【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征 【解析】【解答】由题意， 1080%=8 ，故这组数据的80%分位数对应幸福感指数在8、9之间， 这组数据的80%分位数为 8+92=8.5 。故答案为：C 【分析】利用已知条件结合分位数的求解方法，从而求出这组数据的80%分位数。3.【答案】 C 【考点】异面直线及其所成的角 【解析】【解答】 A1 B D1 C, 异面直线直
21、线 A1 B与A D1 所成的角为A D1 C，A D1 C为等边三角形，A D1 C=60。故答案为：C. 【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合异面直线所成的角的求解方法，从而求出异面直线 A1B 与 AD1 所成角的大小。4.【答案】 B 【考点】向量的模，数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】【解答】 OAOB ， OAOB=-6+3y=0 ， y=2 AB=OB-OA=(-3,2)-(2,3)=(-5,-1) ， AB=(-5)2+(-1)2=26 。故答案为：B 【分析】利用两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出y的值，再利用三角形法则结合向
22、量的坐标运算，从而求出向量的坐标，再利用向量求模公式求出向量的模。5.【答案】 C 【考点】随机事件，互斥事件与对立事件 【解析】【解答】对于A，至少摸出1个白球与摸出1个白球1个红球不是互斥事件； 对于B，至少摸出1个红球与摸出1个白球1个红球不是互斥事件；对于C，摸出2个白球与摸出1个白球1个红球是互斥而不对立事件；对于D，摸出2个白球或摸出2个红球与摸出个白球1个红球是互斥也是对立事件.故答案为：C 【分析】 根据题意首先得到实验的必然事件，再根据互斥事件，对立事件的定义判断即可. 6.【答案】 D 【考点】平面向量的基本定理及其意义 【解析】【解答】设 BM=BC ， 则 AM=AB+
23、BM=AB+BC=AB+(-AB+AC)=(1-)AB+AC ，又因为N为AM的中点，所以 AN=12AM ， AN=1-2AB+2AC ，又 AN=xAB+yAC ，则 x=1-2y=2 ，则 x+y=1-2+2=12 。故答案为：D. 【分析】利用已知条件结合中点的性质，再结合平面向量基本定理，从而求出x,y的值，进而求出x+y的值。7.【答案】 B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】【解答】由 acosB=c ，得 aa2+c2-b22ac=c ，即 c2+b2=a2 ，则 ABC 是直角三角形；反之，若 ABC 是直角三角形，则 b2+c2 与 a2 不一定相等，故“
24、 acosB=c ”是“ ABC 是直角三角形”的充分不必要条件. 故答案为：B 【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ acosB=c ”是“ ABC 是直角三角形”的充分不必要条件。8.【答案】 D 【考点】球的体积和表面积 【解析】【解答】若 r1=23 和 r2=4 对应的圆分别为A、B， 两个圆公共弦长为 23 ，在圆A：弦心距 d1=r12-3=3 ，又两个圆互相垂直，该球的半径 R=d12+r22=5 ，故该球的体积 V=4R33=5003 。故答案为：D 【分析】利用已知条件结合勾股定理求出弦心距，再利用两个圆互相垂直，从而求出该球的半径，再利用球的体
25、积公式，从而求出该球的体积。二、多选题9.【答案】 A,B,C 【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差 【解析】【解答】由题中的数据，可得甲的极差为 92-78=14 ，乙的极差为 94-72=22 ， 甲成绩的极差比乙成绩的极差小，A选项正确， 甲成绩的众数为85分，乙成绩的中位数为87分， 甲成绩的众数比乙成绩的中位数小，B选项正确，观察甲、乙数据，可得甲成绩的数据更集中，乙成绩的数据更离散， 甲成绩的方差比乙成绩的方差小，C选项正确，甲成绩的平均数为 x1=78+84+85+85+86+88+92785.4 ，乙成绩的平均数为 x2=72+84+86+87+89+93+9478
26、6.4 ， 甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小，D选项错误故答案为：ABC 【分析】利用已知条件结合极差公式、中位数的公式、方差公式和平均数公式，从而找出结论正确的选项。10.【答案】 A,C 【考点】互斥事件与对立事件，互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式 【解析】【解答】A：恰有一人解出的概率为 12(1-13)(1-14)+(1-12)13(1-14)+(1-12)(1-13)14=1124 ，正确； B：没有人能解出的概率为 (1-12)(1-13)(1-14)=14 ，错误；C：由A、B知：至多一人解出的概率为 1124+14=1724 ，正确；D：至少两个人解出的概率为
27、 1213(1-14)+(1-12)1314+12(1-13)14+121314=724 ，错误；故答案为：AC 【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，再结合对立事件求概率公式，从而找出正确的选项。11.【答案】 C,D 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】【解答】A：因为 BF/ED ，旋转过程中 A 在面 ABCD 的投影 P 在线段 AA 上，而 PE 与 ED 可能垂直，AE与BF可能垂直，错误； B：由 DF/BE ，而旋转过程中 AB 与 DF 的夹角恒为 ABE310 ，所以派甲参赛获胜的概率更大.（2）解：由（1）知，设 C= “甲
28、赢得比赛”， D= “乙贏得比赛”， 则 P(C)=1-P(A1A2)=1-25=35 ；P(D)=1-P(B1B2)=1-310=710 .于是 CD= “两人中至少有一人赢得比赛”P(CD)=1-P(CD)=1-P(C)P(D)=1-35710=2950 .【考点】概率的基本性质，互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式 【解析】【分析】(1)根据题意设出事件A1 表示 甲在第一轮比赛中胜 出”，事件A2表示“甲在第二轮比赛中胜出”，事件B1表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件B2表示“乙在第二轮比赛中胜出”，则A1A2表示“甲赢得比赛”，BiB2表示“乙赢得比赛“，利用相互独立事
29、件概率乘法公式分别求出甲赢得比赛的概率和乙赢得比赛的概率，由此得到派甲参赛赢得比赛的概率更大. (2)设C表示“甲赢得比赛”，D表示“乙赢得比赛”，CUD表示“两人中至少有一个赢得比赛”，P(CUD)=1-P(CD)=1-P(C)P(D)，由此能求出两人中至少有一人赢得比赛的概率. 19.【答案】 （1）月收入在 3000,3500) 的频率为 0.0003500=0.15 ；（2）从左数第一组的频率为 0.0002500=0.1 ； 第二组的频率为 0.0004500=0.2 ；第三组的频率为 0.0005500=0.25 ； 中位数位于第三组，设中位数为 2000+x ，则 x0.0005
30、=0.5-0.1-0.2=0.2 ， x=400 中位数为 2400 （元 )（3）月收入在 2500,3000) 的频数为 0.2510000=2500 （人 ) ， 抽取的样本容量为100 抽取比例为 10010000=1100 ， 月收入在 2500,3000) 的这段应抽取 25001100=25 （人 ) 【考点】分层抽样方法，频率分布直方图，众数、中位数、平均数 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，从而求出居民收入在 3000,3500) 的频率。 （2）利用已知条件结合频率分布直方图求中位数的方法，进而估计出样本数据的中位数。
31、 （3）利用分层抽样的方法求出月收入在 2500,3000) 的这段应抽取的人数。 20.【答案】 选，由 2bsin(A+6)=a+c 展开得： bcosA+3bsinA-a-c=0 ， 由正弦定理可知 sinBcosA+3sinBsinA-sinA-sinC=0 ， 在 ABC 中， sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB ， 3sinBsinA-sinA-sinAcosB=0 ， 又 A(0,) ，则 sinA0 ， 3sinB-cosB=1 ， 即 2sin(B-6)=1 ，可得 sin(B-6)=12 ， 又 B(0,) ， B-6(-6,56) ， 即 B-
32、6=6 ，得 B=3 ； 选， (2c-a)cosB=bcosA ， 由正弦定理可知： (2sinC-sinA)cosB=sinBcosA ， 2sinCcosB=sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B)=sinC ， 又 C(0,) ，则 sinC0 ， cosB=12 ，又 B(0,) ，即 B=3 ； 选， a2+c2-b2=433SABC ， 由余弦定理得 a2+c2-b2=2accosB ， 2accosB=233acsinB ， 又 B(0,) 且 B2 ， tanB=3 ，又 B(0,) ，即 B=3 ； （）由 b=2 ， C=4 ，根据正弦定理知： c=263 ，又 A=712 ， SABC=12bcsinA=3+33 . （）解法一：若 4a+b=3c ， 由正弦定理得 4sinA+sinB=3sinC ，又 B=3 ， 4sin(23-C)+sinB=3sinC ， 可得 4(32cosC+12sinC)+32=3sinC ， sinC=23cosC+32 ，又 sin2C+cos2C=1 ， 52cos2C+24cosC-1=0 ， 即 (2cosC+1)(26cosC-1)=0 ，又 C(0,23) ， cosC(-12,1) ， 即 cosC=126 ； 解法二：若 4a+b=3c ，又 B=3 ， 由余弦定
