1、6.4.1平面几何中的向量方法（3）两向量相等充要条件：）两向量相等充要条件：, baba且方向相同。且方向相同。11221212( , )( , ),ax y bx y a bxx yy ，（4）平面向量基本定理）平面向量基本定理1212aeee e ，其中 ，不共线。 ， 为唯一确定的常数温故知新温故知新（1）、向量的数量积定义：）、向量的数量积定义：|cosa ba b（2）、向量夹角公式：）、向量夹角公式： 与与 的夹角为的夹角为 则：则：abcos|abab（3）、向量共线的充要条件：）、向量共线的充要条件： 与非零向量与非零向量 共线共线 存在惟一的存在惟一的 ，使，使abRab（
2、4）、两向量平行的充要条件：向量）、两向量平行的充要条件：向量11( ,)ax y22(,)bxy平行平行12210 x yx y（5）、两向量垂直的充要条件：向量）、两向量垂直的充要条件：向量ab0a b12120 x xy y（6）、向量不等式：）、向量不等式：| |,abab| |a ba b（7）、向量的坐标运算：向量）、向量的坐标运算：向量11( ,)ax y22(,)bxy则则a b1212x xy y温故知新温故知新1、我们学了向量的线性运算与数量积运算，你能说出它们的几何意义吗？向量具有“几何”与“代数”的双重身份2、向量的代数身份是通过什么来实现的？ababa,OABOAB坐
3、标表示坐标表示aOBA)BCAD数量积性质？数量积性质？求模求模求夹角求夹角证垂直证垂直这与平面几何哪些内容可以相互联系与转化？ba当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算问题：如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ABCD2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？类比猜想，平行四边形有相似关系吗？222222BDACDACDBCAB ABCD例例1、证明平行四边形四边平、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形已知：平行四边形ABCD。求证求证：222222BDACDACDBCAB 分析：设分析
4、：设 ,（选择这组基底）其（选择这组基底）其它线段对应向量用它们表示。它线段对应向量用它们表示。bADaAB ,思考思考1：题中的几何问题可转化为向量问题吗？：题中的几何问题可转化为向量问题吗？ABDCbADaAB ,解解:设设 ，则，则 baDBbaACaDCbBC;,2222DACDBCAB22BDAC 222222222222bababbaabbaa222222BDACDACDBCAB 已知：平行四边形已知：平行四边形ABCD。求证求证：222222BDACDACDBCAB )(222ba 22baba例例1思考：向量也可以坐标运算，本题如何建立直角坐标系设点的坐标转化为向量的坐标运算？
5、ABDCXY(a,0)(a+b,c)(b,c),(),0 ,(cbADaAB),(),(cbaDBcbaAC,| ,|22cbADaAB2222)(| ,)(|cbaDBcbaAC)(2|22222cbaDBAC),(2)|(|222222cbaADAB222222BDACDACDBCAB 解解:如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系,设设B(a,0),D(b,c),则则C(a+b,c)2222DACDBCAB22BDAC用向量法解平面几何问题的基本思路（1）建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离
6、、夹角、平行垂直等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形“基底化”“坐标化”例例2 2 如图如图, ,已知已知ADAD，BEBE，CFCF分别是分别是ABCABC的三条高，的三条高， 求证：求证：ADAD，BEBE，CFCF相交于同一点相交于同一点. .思路分析思路分析 解决此类问题一般是将相关的解决此类问题一般是将相关的线段用向量表示，利用向量的三角线段用向量表示，利用向量的三角形法则和平行四边形法则，结合题形法则和平行四边形法则，结合题目
7、中的已知条件进行运算，得出结目中的已知条件进行运算，得出结果，再翻译成几何语言果，再翻译成几何语言 . .CDEFBAH 两两式式相相减减，得得，即即所所以以，又又所所以以 ， 三三点点共共线线，在在上上. .CHCBCACH AB,CHABCHAB,CFAB,CHFHCF00 : :设设交交于于点点，以以下下只只需需证证明明点点在在上上. .因因为为所所以以又又，证证明明0000AD,BEHHCFADBC,BECA,AH CB,BH CA.CHCACBCH CBCA CB,CHCBCACH CACB CA CDEFBAH例例3. 求证平行四边形对角线互相平分求证平行四边形对角线互相平分 ?M
8、?D?C?B?A证明：如图，已知平行四边形证明：如图，已知平行四边形ABCD的两条的两条对角线相交于对角线相交于M，设，设,AMxAC BMyBD 则则,AM xAC xAB xAD () 1 ()AMABBMAByBDABy Ay AByADDAB 根据平面向量基本定理知，这两个分解根据平面向量基本定理知，这两个分解式是相同的，所以式是相同的，所以1xyxy 解得解得1212xy 所以点所以点M是是AC、BD的中点，即两条对的中点，即两条对角线互相平分角线互相平分.例例4.已知正方形已知正方形ABCD，P为对角线为对角线AC上任意上任意一点，一点，PEAB于点于点E，PFBC于点于点F，连接
9、，连接DP、EF，求证，求证DP EF。 PFEDCBA证明：选择正交基底证明：选择正交基底 ,AB AD 在这个基底下在这个基底下(1,0),(0,1)ABAD 设设( , )APa a (1,0),(0, )EBaBFa ?P?F?E?D?C?B?A(1, )EFa a ( ,1)DPAPADa a (1, ) ( ,1) (1)(1) 0DP EFa aa aa aa a 所以所以DPEF 因此因此DPEF.1 证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：222222BDACDACDBCABbADaAB ,解
10、：解：设 ，则 ,;BCb DCa ACa b DBa b 分析：分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示。bADaAB ,)( 2222222baDACDBCAB2222babaBDAC222222222222bababbaabbaa222222BDACDACDBCAB课堂练习课堂练习 2、证明直径所对的圆周角是直角、证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示，已知如图所示，已知 O，AB为直径，为直径，C为为 O上任意一点。求证上任意一点。求证ACB=90分析：要证分析：要证ACB=90，只须证向，只须证向量量 ，即，即 。CBAC 0CBAC2222baba0
11、22rr即即 ，ACB=900CBAC 解：设AO=a， OC=bACab 则， 由此可得： AC CB=(a+b)(a-b)? CBab CB【课堂小结课堂小结】1.1.用向量方法解决平面几何问题的基本思路：用向量方法解决平面几何问题的基本思路：2.2.用向量方法研究几何问题，需要用向量的观点看用向量方法研究几何问题，需要用向量的观点看问题，将几何问题化归为向量问题来解决。它既是问题，将几何问题化归为向量问题来解决。它既是一种数学思想，也是一种数学能力。其中一种数学思想，也是一种数学能力。其中合理选择合理选择基向量，并建立向量关系基向量，并建立向量关系，是解决问题的关键。，是解决问题的关键。形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形3.化归思想方法与待定系数法化归思想方法与待定系数法
