浙江省嘉兴市2020-2021学年下学期期末检测高一数学试题（含答案）.rar

嘉兴市嘉兴市 20202021 学年第二学期期末检测学年第二学期期末检测高一数学高一数学 答案答案 （2021.6）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 C 2 D 3 A4 B 5 D 6 B 7 D 8 A 第第 8 题详解：不妨设正四面体题详解：不妨设正四面体ABCD的棱长为的棱长为 3，则该四面体的高为，则该四面体的高为6 ，7 ANBN,要求直线要求直线 MN 与与BC所成的最小角，即为直线所成的最小角，即为直线BC与平面与平面ABN所成角，所成角，记点记点C到平面到平面ABN的距离为的距离为h，由由BCNAABNCVV ，得，得63131BCNABNShS ，解得，解得19383 h，所以直线所以直线BC与平面与平面ABN所成角的正弦值为所成角的正弦值为1938319383 BCh，即即 sin的最小值为的最小值为1938二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分。分。9 BC 10 ACD 11 BD 12 BC 第第 12 题详解：题详解：DEAF 于于F ，点，点O在直线在直线 AF 上上对于对于 A，当，当 E 为为 AB 中点，且中点，且2 时，时，DEAC ，垂足为，垂足为 F ，由已知得，由已知得CFBC ,所以所以FCABC 平面平面,所以所以CABC ，故，故 A 错误；错误；对于对于 B ，当，当EBAE3 时，时，GDCAF , 当点当点O即为点即为点G时，时，BCDEGA平面平面 ,所以所以CDABCDE 平面平面平面平面，故，故 B 正确；正确；对于对于 C，当，当EBAE31 时时, HBCAF ,若四棱锥若四棱锥BCDEA 的体积最大，则的体积最大，则DEFA ,即点即点O即为点即为点 F ,此时此时21 AE，ABCDMN题图题图第第8DECBA 题图题图第第12FDECBA 题图题图第第12FG55 FAAF，四棱锥四棱锥BCDEA 的体积为的体积为125211211)21(215531 ，故，故 C 正确；正确；对于对于 D，点，点O的轨迹是以的轨迹是以 AD 为直径的一段圆弧，记为直径的一段圆弧，记 AD 的中点为的中点为M，则则OB的最小值为的最小值为21217|21| ADMB，故，故 D 错误错误三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 )2 , 1 , 1( 14 115 21 16 327 第第 16 题详解：令题详解：令cOCbOBaOA ,OB中点为中点为 D ，OD中点为中点为F ,由已知得，由已知得，o60, ba，点，点C的轨迹是以的轨迹是以OD为直径的圆，为直径的圆，解法一：解法一：3273)21|(|43|4|4)|(|2)|(|222222222 EFCEABCECBCAbcac所以所以22|bcac 的最小值为的最小值为327 解法二：解法二：若若22|bcac 取到最小，则点取到最小，则点C在在ABC 内，设内，设 BOC,则则 3AOC, cos|OC| ，由余弦定理得由余弦定理得2222|CBCAbcac 22222cos22cos4)3cos(cos12cos1| CBCA sincos3cos352 327)32sin(3272sin2322cos135 ，当当12 时取到等号时取到等号四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 DECBA 题图题图第第12FHOABCDEF题图题图第第1617 （本题满分 （本题满分 10 分）分）已知平面向量已知平面向量ba,满足满足baba ，1|2|，若，若banbam 3,2（）求（）求nm ；（）求（）求|2|nm 解： （）解： （）babababanm 523)3()2(22.101243 （）（）292542510|5|2|22 bbaabanm 18 （本题满分 （本题满分 12 分）分）如图，在四棱锥如图，在四棱锥ABCDP 中，底面中，底面ABCD为矩形，为矩形，ABCDPA平面平面 ，ADABPA2 ，E 为为PC中点中点（）证明：（）证明：BDEPA平面平面/；（）求（）求PCDPA与平面与平面所成角的正弦值所成角的正弦值解： （）证明：解： （）证明：FBDAC ，连接，连接 EF ，因为因为FE,分别为分别为ACPC,中点，中点，所以所以EFPA/，BDEPA平面平面 ，BDEEF平面平面 ，所以所以BDEPA平面平面/（）因为（）因为ABCDPA平面平面 ，所以，所以CDPA ，又因为又因为ADCD ，AADPA ，所以所以PADCD平面平面 ，即，即PADPCD平面平面平面平面 ，交线为，交线为 PD ，所以所以PCDPA与平面与平面所成角为所成角为APD ，5551sin APD19 （本题满分 （本题满分 12 分）分）（图 1）ABCDPE题图题图第第18ABCDPE题图题图第第18F在在ABC 中， 内角中， 内角CBA,对应的边分别为对应的边分别为cba,， 请在， 请在Cabccabcbcos2)(2(222 ； ； BbcAbtan)2(tan ；)cossin3(2CCabc 这三个条件中任选一个，完成下列问题：这三个条件中任选一个，完成下列问题：（）求角（）求角 A ； （）若； （）若1, 2 cba，求，求ABC 的面积的面积（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）解： （）选，因为解： （）选，因为Cabccabcbcos2)(2(222 ，所以所以CabcAbccbcos2cos2)2( ，得，得CaAcbcoscos)2( ，即即AcCaAbcoscoscos2 ，由正弦定理得：由正弦定理得：BACCAABsincossincossincossin2 ，因为因为0sin B，所以，所以21cos A( A0)，所以所以3 A选，因为选，因为BbcAbtan)2(tan ，所以，所以BBBCAABcossin)sinsin2(cossinsin ，(0sin B)得得BBCAAcos1)sinsin2(cossin ，即即ABACABCBAcossincossin2cos)sinsin2(cossin ，)0(sinsincossin2cossincossin CCACABBA，所以所以21cos A( A0)，所以所以3 A选，因为选，因为)cossin3(2CCabc ，所以，所以)cossin3(sinsinsin2CCABC ，)cossin3(sin)sin(sin2CCACAC ，CACACACACcossinsinsin3sincoscossinsin2 ，CACACsinsin3sincossin2 ，)0(sinsincossinsin3sin2 CCACAC，)6sin(2cossin32 AAA，即，即1)6sin( A，因为因为 A0，所以，所以26 A，所以所以3 A（）由余弦定理得，（）由余弦定理得，bccbbccbAbccba 222222)(cos2，所以所以bc 14，即，即3 bc，43323321sin21 AbcSABC20 （本题满分 （本题满分 12 分）分）为了深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，某校组织开展“战役有我，青春同行” 防控疫情知识竞赛活动， 某班经过层层筛选后剩下甲、 乙两名同学争夺一个参赛名额，该班设计了一个游戏方案决定谁去参加，规则如下：一个袋中装有为了深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，某校组织开展“战役有我，青春同行” 防控疫情知识竞赛活动， 某班经过层层筛选后剩下甲、 乙两名同学争夺一个参赛名额，该班设计了一个游戏方案决定谁去参加，规则如下：一个袋中装有 6 个大小相同的小球，其中标号为个大小相同的小球，其中标号为i的球有的球有i个个)3 , 2 , 1( i，甲、乙两名同学需从，甲、乙两名同学需从 6 个球中随机摸取个球中随机摸取 3 个球，所取球的标号之和多者获胜个球，所取球的标号之和多者获胜 （）求甲所取球的标号之和为（）求甲所取球的标号之和为 7 的概率；的概率；（）求甲获胜的概率（）求甲获胜的概率解： （）假设标号为解： （）假设标号为 1 的球为的球为a，标号为，标号为 2 的球为的球为cb,，标号为，标号为 3 的球为的球为fed,，则，则每位同学取球标号之和的所有情况为 ：每位同学取球标号之和的所有情况为 ：abc，abd，abe，abf，acd，ace ，acf，ade，adf，aef，bcd， bce，bcf，bde，bdf，bef，cde，cdf，cef，def共共 20 种，种，甲所取球的标号之和为甲所取球的标号之和为 7 的情况为：的情况为：ade，adf，aef，bcd， bce，bcf共共 6 种，种，所以甲所取球的标号之和为所以甲所取球的标号之和为 7 的概率的概率1032060 P（）由（）知，每人标号之和为（）由（）知，每人标号之和为 5 的概率的概率2011 P，标号之和为，标号之和为 6 的概率的概率2062 P，标号之和为，标号之和为 8 的概率的概率2063 P，标号之和为，标号之和为 9 的概率为的概率为2014 P，则甲获胜的概率则甲获胜的概率80294001452019201)206206201(206)206201(206201206 P 21 （本题满分 （本题满分 12 分）分）在在ABC 中， 内角中， 内角CBA,对应的边分别为对应的边分别为cba,， 设， 设)1,2(cos Cm，)1)cos(, 2( BAn，且且nm （）求（）求Ccos的值；的值；（）若（）若222 ac，点，点M满足满足MBAM21 ，求，求CM的长的长解： （）因为解： （）因为nm ，所以，所以01)cos(2cos2 BACnm，01cos)1cos2(22 CC，即，即03coscos42 CC，解得解得43cos C或者或者1cos C，因为因为 C0，所以，所以43cos C（）因为（）因为Cabbaccos2222 ，所以，所以bb3482 ，解得，解得4 b，又因为又因为MBAM21 ，所以，所以CBCACM3132 ，99291cos9494)3132(2222 aCabbCBCACM，即即3232| CM，所以所以CM的长为的长为323222 （本题满分 （本题满分 12 分）分）如 图 ， 在 三 棱 柱如 图 ， 在 三 棱 柱111CBAABC 中 ， 侧 面中 ， 侧 面CCBB11是 边 长 为是 边 长 为 2的 菱 形 ，的 菱 形 ，3 AB，601 CBB，且，且ABCABB 1（）证明：（）证明：1CBAB ；（）若二面角（）若二面角BCBA 1的平面角为的平面角为60 ，求，求1CA 与平与平ABC1A1C1B题图题图第第22面面1ACB所成角的正弦值所成角的正弦值解： （）证明：因为解： （）证明：因为1BBBC ，ABCABB 1，所以所以ABCABB 与与1全等，所以全等，所以1ABAC ，,11OBCCB 连接连接BOAO,， O为为1BC中点，中点，OBOAOBOCBAOCB ,11，所以所以AOBCB平面平面 1，所以所以1CBAB （）解法一：（）解法一：由 （ ） 知 ，由 （ ） 知 ，AOB 为 二 面 角为 二 面 角BCBA 1的 平 面 角 ， 所 以的 平 面 角 ， 所 以60 AOB， 且， 且3 ABBOAO，,11ECAAC 过过 E 作作AOEF 于于F ，连接，连接CF，因为因为AOBCB平面平面 1，11ABCCB平面平面 ，所以，所以11ABCACB平面平面平面平面 ，交线为，交线为AO，又因为又因为AOEF ，所以，所以1ACBEF平面平面 ，所以所以ECF 为为1CA 与平面与平面1ACB所成角，所成角，2743 CEEF，14732743sin CEEFECF，所以所以1CA 与平面与平面1ACB所成角的正弦值为所成角的正弦值为1473解法二：解法二： 由 （ ） 知 ，由 （ ） 知 ，AOB 为 二 面 角为 二 面 角BCBA 1的 平 面 角 ， 所 以的 平 面 角 ， 所 以60 AOB， 且， 且3 ABBOAO，过过1C作作AOHC 1于于H，ABC1A1C1B题图题图第第22OEF因为因为AOBCB平面平面 1，11ABCCB平面平面 ，所以所以11ABCACB平面平面平面平面 ，交线为，交线为AO，又因为又因为AOHC 1，所以，所以11ACBHC平面平面 ，HC1即为点即为点1A到平面到平面1ACB的距离，的距离，72311 CAHC，记记 为为1CA 与平面与平面1ACB所成角，所成角，1473723sin11 CAHC ，所以所以1CA 与平面与平面1ACB所成角的正弦值为所成角的正弦值为1473解法三：解法三：由 （ ） 知 ，由 （ ） 知 ，AOB 为 二 面 角为 二 面 角BCBA 1的 平 面 角 ， 所 以的 平 面 角 ， 所 以60 AOB， 且， 且3 ABBOAO，如图建立空间直角坐标系，如图建立空间直角坐标系，则则)23, 0 ,23(A，)0 , 0 ,3(B，)0 , 1 , 0(1B，)0 , 1, 0( C，)23, 1 ,23( CA，)0 , 2 , 0( CB)23, 1 ,23(11 BBOAOA，)23, 2 ,23(1 CA，设平面设平面1ACB的法向量为的法向量为),(zyxm ，则，则 0232302zyxy，得，得)1, 0 ,3( m， 1473723|,cos|1 CAm，所以所以1CA 与平面与平面1ACB所成角的正弦值为所成角的正弦值为1473ABC1A1C1B题图题图第第22OHOxyzABC1A1C1B题图题图第第22扫描全能王 创建扫描全能王 创建扫描全能王 创建扫描全能王 创建扫描全能王 创建扫描全能王 创建