1、厦门市2020-2021学年度第二学期高一年级期末质量检测数学试题满分：150分考试 时间：120分钟考生注意：1答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将答题卡交回一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知，则（ ）ABCD2已知，是两个不共线的向量
2、，且，若，三点共线，则实数（ ）ABC1D43已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2用计算器产生15之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412 451 312 533 224 344 151 254 424 142435 414 335 132 123 233 314 232 353 442据此估计一年内至少有1台设备需要维修的概率为（ ）A0.4B0.45C0.55D0.64厦门地铁1号线从镇海路站到文灶站有4个站点甲、乙同时从镇海路站上车，假设每一个人自第二
3、站开始在每个站点下车是等可能的，则甲乙在不同站点下车的概率为（ ）ABCD5已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）AB1C2D46为庆祝建党100周年，某校组织“心中歌儿献给党”歌咏比赛，已知5位评委按百分制分别给出某参赛班级的评分可以判断出一定有出现100分的是（ ）A平均数为97，中位数为95B平均数为98，众数为98C中位数为95，众数为98D中位数为96，极差为87的内角，的对边分别是，已知，边上的中线长度为，则（ ）ABC2D8如图（1）平行六面体容器盛有高度为的水，固定容器底而一边于地而上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过，四点，则的值为（ ）ABC
4、D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分9某学生为了解甲、乙两城市的气温情况，收集并整理了两城市2020年月平均气温的相关数据，得到折线图（如图），则（ ）A甲城市有3个月的月平均气温低于0B甲城市的月平均气温的最大值比乙城市的月平均气温的最大值大C甲城市年平均气温比乙城市年平均气温低D甲城市月平均气温的方差比乙城市月平均气温的方差小10复数的共轭复数为，则（ ）A与在复平面内对应的点关于实轴对称B在复平面内对应的点在虚轴上C若，则在复平面内对应的点在实轴上D若，则在复平面内对应的点的
5、集合是以原点为圆心，半径为1的圆11如图是长方体的平面展开图，则在该长方体中（ ）A，四点共面B直线与直线平行C直线与平面的距离为3D三棱锥外接球的表面积为12已知向量，在向量上的投影向量为，则（ ）AB与方向相同的单位向量为或C的最小值为0D的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知是关于的方程的一个根，则实数_14为了解学生一学期参与志愿者活动的情况，学校随机调查了10名学生，统计其参加活动的时长（单位：小时），得到以下数据：8，9，11，11，12，13，14，16，17，22，则该组数据的75%分位数为_15若平面上的三个力，作用于同一点，且处于平衡状态已知，且与
6、的夹角为，则与的夹角为_16厦门双子塔是厦门的新地标，两栋独立的塔楼由裙楼相连，外观形似风帆，并融入了厦门市花“三角梅”的视觉元素小明计划测量双子塔A塔的高度，他在家测得塔尖的仰角为26.3，再到正上方距家42米的天台上，测得塔尖仰角为22.3，塔底俯角为10.8则塔的高度约为 米（精确到个位）参考数据：sin40.07，sin33.10.55，sin63.70.90，sin79.20.98四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）如图，在平行四边形中，点在上，且，点是的中点（1）设，用，表示，；（2）已知，求证：18（12分）如图，在长方体木料AB
7、CDA1B1C1D1中，AB2AD2AA12，E为棱A1B1的中点，要过点E和棱BC将木料锯开（1）在木料表面画出符合要求的线，写出作图过程并说明理由；（2）写出切割后体积较大的几何体的名称，并求出它的体积19（12分）甲、乙两人进行投篮比赛，约定赛制如下：选定投篮位置，并在同一位置连续投篮三次，站在3分线外每次投中得3分，站在3分线内每次投中得2分，总得分高者胜出假设乙同学在3分线内投篮，每次投中概率为0.7，在3分线外投篮，每次投中概率为0.4用Y表示乙投中，N表示乙未投中，假设每次能否投中是独立的（1）观察乙的投篮情况，根据树状图填写样本点，并写出样本空间；（2）已知甲三次总得分为4分，
8、若乙想赢得比赛，你建议他位置选在3分线内还是3分线外，为什么？20（12分）某校有高中生2000人，其中男女生比例约为5：4，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽收了样本容量为n的样本，得到频数分布表和频率分布直方图身高（单位：cm）145，155）155，165）165，175）175，185）185，195频数mpq64方案二：采用分层随机抽样方法，抽取了男、女生样本量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为170，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20（1）根据图表信息，求n，q并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的
9、身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）（2）计算方案二中总样本的均值及方差；（3）计算两种方案总样本均值的差，并说明用方案二总样本的均值作为总体均值的估计合适吗？为什么？21（12分）如图，四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，四边形ABCD是正方形（1）直线AC与平面PBD是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；（2）若二面角PCDB的平面角为60，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值22（12分）在；中选个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题问题：设钝角的内角，的对边分别为，为的面积，_（1）求；（2）若点为的外心，的面积为，求与的面积之和的
10、最大值参考答案一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.1已知（1+i）z2i，则复数z（）A1+iB1iC1+iD1i解：（1+i）z2i，可得z1+i故选：A2已知，是两个不共线的向量，且，若A，B，C三点共线，则实数（）A4B1C1D4解：，是两个不共线的向量，且，A，B，C三点共线，即2t，解得实数4故选：A3已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2用计算器产生15之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412 451 312 533 224 344 15
11、1 254 424 142435 414 335 132 123 233 314 232 353 442据此估计一年内至少有1台设备需要维修的概率为（）A0.4B0.45C0.55D0.6解：在20组随机数中，三位数字中有数字1的即可，故共有9个随机数中含有数字1，所以一年内至少有1台设备需要维修的概率为故选：B4厦门地铁1号线从镇海路站到文灶站有4个站点甲、乙同时从镇海路站上车，假设每一个人自第二站开始在每个站点下车是等可能的，则甲乙在不同站点下车的概率为（）ABCD解：令事件A为甲乙在相同站点下车，则P（A）+，所以P（）1P（A）1故选：C5已知圆锥的侧面展开图是一个面积为2的半圆，则这
12、个圆锥的底面半径为（）AB1C2D4解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据侧面展开图是面积为2的半圆，所以，解得l2，r1，所以圆锥的底面半径为1故选：B6为庆祝建党100周年，某校组织“心中歌儿献给党”歌咏比赛，已知5位评委按百分制分别给出某参赛班级的评分可以判断出一定有出现100分的是（）A平均数为97，中位数为95B平均数为98，众数为98C中位数为95，众数为98D中位数为96，极差为8解：对于A，平均数为97，中位数为95，假设前两个数最大取95可推出后两个数都是100，选A；对于BCD中的数据都不能判断最高分是多少，不选BCD故选：A7ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，
13、c已知cosB，c2a，AC边上的中线长度为m，则（）ABC1D解：因为cosB，c2a，AC边上的中线长度为m，所以在ABC中，由余弦定理b2a2+c22accosB，可得b2a2+4a22a2a2a2，可得ba，又因为cosADBcosBDC，所以由余弦定理可得，整理可得ma，所以1故选：C8如图（1）平行六面体容器ABCDA1B1C1D1盛有高度为h的水，ABADAA12，A1ABA1ADBAD60固定容器底面一边BC于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过A，B1，C1，D四点，则h的值为（）ABCD解：作A1EAD于点E，A1FAB于点F，因为A1ADA1AB60，则A1EA1F
14、AA1sin602，AEAFAA1cos602，又EAFBAD60，所以AEF为正三角形，则EFAE1，取EF的中点G，连接AG，A1G，则AGEF，A1GEF，EGFG，又AGA1GG，所以EF平面AA1G，则AG，A1G，由余弦定理可得，则，作A1HAG于H，因为EF平面AA1G，A1H平面AA1G，所以RFA1H，又AGEFG，则A1H平面ABCD，所以点A1到平面ABCD的距离为dA1HAA1sinA1AG，故平面A1B1C1D1到平面ABCD的距离为d，由题意可知，所盛水的体积为平行六面体容器ABCDA1B1C1D1的一半，所以h故选：B二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分
15、在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分9某学生为了解甲、乙两城市的气温情况，收集并整理了两城市2020年月平均气温的相关数据，得到折线图（如图），则（）A甲城市有3个月的月平均气温低于0B甲城市的月平均气温的最大值比乙城市的月平均气温的最大值大C甲城市年平均气温比乙城市年平均气温低D甲城市月平均气温的方差比乙城市月平均气温的方差小解：由折线图可得，甲城市在1月，2月，12月的月平均气温低于0，故A选项正确， 甲，乙城市都在7月取得月平均气温的最大值，甲城市的月平均气温的最大值比乙城市的月平均气温的最大值小，故B选项错误，由折线图可
16、知，乙城市的月平均折线图均在甲城市的月平均折线图的上方，甲城市年平均气温比乙城市年平均气温低，故C选项正确，由折线图可知，甲城市月平均气温比乙城市月平均气温波动大，甲城市月平均气温的方差比乙城市月平均气温的方差大，故D选项错误故选：AC10复数z的共轭复数为，则（）Az与在复平面内对应的点关于实轴对称Bz在复平面内对应的点在虚轴上C若|z1|z+1|，则在复平面内对应的点在实轴上D若|1，则z在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，半径为1的圆解：对于A，由共轭复数的定义可知，z与在复平面内对应的点关于实轴对称，故选项A正确；对于B，设za+bi，则za2+b2为实数，故选项B错误；对于C，|
17、z1|z+1|表示点Z对应的点到A（1，0），B（1，0）的距离相等，则点Z在过线段AB中点的直线上，所以在复平面内对应的点也在过线段AB中点的直线上，故选项C错误；对于D，由复数模的几何意义可知，若|1，则z在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，半径为1的圆，故选项D正确故选：AD11如图是长方体的平面展开图，AB3，BE2，BC4，则在该长方体中（）AB，C，F，G四点共面B直线AE与直线GC平行C直线BH与平面ACG的距离为3D三棱锥BDFH外接球的表面积为29解：由长方体的平面展开图，还原长方体FEBAGHCD，则FGBC，所以B，C，F，G四点共面，故选项A正确；由图可知，直线AE
18、与直线CG为异面直线，不平行，故选项B错误；因为BH平面AGH，所以点B到平面AGH的距离即为直线BH到平面AGH的距离d，由等体积法VHACGVACGH，则，因为在CGH中，CG，AC5，AG，所以，又，所以，故选项C错误；因为三棱锥BDFH的外接球即为长方体的外接球，所以2R，则三棱锥BDFH的外接球的表面积为29，故选项D正确故选：AD12已知向量，在向量上的投影向量为，则（）AB与方向相同的单位向量为或C的最小值为0D的最小值为解：由已知可得，所以设，选项A：因为，所以，故A正确，选项B：因为|，所以与方向相同的单位向量为或，故B正确，选项C：因为，所以2022020（）25，所以当时
19、，的最小值为5，故C错误，选项D：因为|2（42）2+（34）220（1）2+5，所以当1时，|的最小值为，故D正确，故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知1+i是关于x的一元二次方程x2+px+20（其中pR）的一个根，则p2解：1+i是关于x的一元二次方程x2+px+20（其中pR）的一个根，由实系数一元二次方程虚根成对原理可得，1i是一元二次方程x2+px+20的另一根，则p（1+i）+（1i）2，p2故答案为：214为了解学生一学期参与志愿者活动的情况，学校随机调查了10名学生，统计其参加活动的时长（单位：小时），得到以下数据：8，9，11，11，12，13
20、，14，16，17，22，则该组数据的75%分位数为 16解：1075%7.5，其比邻整数为8，找到第8个数为16，故答案为：1615若平面上的三个力，作用于同一点，且处于平衡状态已知，且与的夹角为，则与的夹角为 解：根据题意，设与的夹角为，三个力，作用于同一点，且处于平衡状态则+，变形可得：+，则有|+|2|2，即|22+2+21，则|1，又由+，则+，则有|+|2|2，即2+2+22，变形可得cos，又由0，则，故答案为：16厦门双子塔是厦门的新地标，两栋独立的塔楼由裙楼相连，外观形似风帆，并融入了厦门市花“三角梅”的视觉元素小明计划测量双子塔A塔的高度，他在家测得塔尖的仰角为26.3，再
21、到正上方距家42米的天台上，测得塔尖仰角为22.3，塔底俯角为10.8则塔的高度约为 30米（精确到个位）参考数据：sin40.07，sin33.10.55，sin63.70.90，sin79.20.98解：设塔高CD，AB42，CAE26.3，CBF22.3，FBD10.8，所以ABC112.3，BAC63.7，所以ACB4在ABC中，由正弦定理：，即，所以sin40.07，sin63.70.90，所以BC540，在BCD中，BDC9010.879.2，CBD22.3+10.833.1，由正弦定理可得：，即，解得：CD30.3，故答案为：30四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说
22、明、证明过程或演算步骤17如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，且AE2BE，点F是BC的中点（1）设，用，表示，；（2）已知EDEF，求证：解：（1）因为AE2BE，则，所以，；（2）证明：因为EDEF，所以，即（），即|，所以AB18如图，在长方体木料ABCDA1B1C1D1中，AB2AD2AA12，E为棱A1B1的中点，要过点E和棱BC将木料锯开（1）在木料表面画出符合要求的线，写出作图过程并说明理由；（2）写出切割后体积较大的几何体的名称，并求出它的体积解：（1）因为BC面A1B1C1D1，所以过直线BC及点E的平面，与平面A1B1C1D1的交线EF，EF必平行BC，故在面A1B
23、1C1D1，内作EFBC交D1C1于点F，故过点E和棱BC将木料锯开，故锯子所经过的平面与长方体表面的交线围成四边形EFCB（2）切割后体积较大的几何体的名称为四棱锥ABEA1DCFD1，它的体积VSAD（1+2）1119甲、乙两人进行投篮比赛，约定赛制如下：选定投篮位置，并在同一位置连续投篮三次，站在3分线外每次投中得3分，站在3分线内每次投中得2分，总得分高者胜出假设乙同学在3分线内投篮，每次投中概率为0.7，在3分线外投篮，每次投中概率为0.4用Y表示乙投中，N表示乙未投中，假设每次能否投中是独立的（1）观察乙的投篮情况，根据树状图填写样本点，并写出样本空间；（2）已知甲三次总得分为4分
24、，若乙想赢得比赛，你建议他位置选在3分线内还是3分线外，为什么？解：（1）由树状图如图，样本空间NNN，NNY，NYN，NYY，YNN，YNY，YYN，YYY；（2）记A“乙在3分线外赢得比赛“，则P（A）P（NYYYNYYYNYYY）0.60.40.4+0.40.60.4+0.40.40.6+0.40.40.40.352；记B“乙在3分线内赢得比赛“，P（B）P（YYY）0.70.70.70.343，所以P（B）P（A），所以建议乙的位置选在3分线外20某校有高中生2000人，其中男女生比例约为5：4，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方
25、法，抽收了样本容量为n的样本，得到频数分布表和频率分布直方图身高（单位：cm）145，155）155，165）165，175）175，185）185，195频数mpq64方案二：采用分层随机抽样方法，抽取了男、女生样本量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为170，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20（1）根据图表信息，求n，q并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）（2）计算方案二中总样本的均值及方差；（3）计算两种方案总样本均值的差，并说明用方案二总样本的均值作为总体均值的估计合适吗？为什么？解：（1）因为身高在区间
26、185，195）的频率为0.008100.08，频数4，所以n50，故m0.00810504，p0.04105020，q504206416，所以身高在区间165，175）的频率为0.32，在区间175，185）的频率为0.12，由此可补充完整频率分布直方图：由频率分布直方图可知，样本的身高均值为：1500.00810+1600.0410+1700.03210+1800.01210+1900.0081012+64+54.4+21.6+15.2167.2cm；（2）把男生样本记为x1，x2，.，x25，其均值记为，方差记为；把女生样本记为y1，y2，.，y25，其均值记为，方差记为，则总样本均值+
27、165，又因为，所以2（）0，同理可得，所以总样本方差s2+25+（）+25+（）2516+（170165）+2520+（160165）43；（3）两种方案总样本均值的差为167.21652.2用方案二总样本均值作为总体均值的估计不合适，原因为：没有按照等比例进行分层抽样，每个个体被抽到的可能性不同，因此样本的代表性比较差21如图，四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，四边形ABCD是正方形（1）直线AC与平面PBD是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；（2）若二面角PCDB的平面角为60，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值解：（1）直线AC与平面PBD不垂直.证明
28、如下：分别取AD、AB的中点M、N，连接PM，PN，MN，PAPD，PMAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PM平面ABCD，又AC平面ABCD，ACPM，又正方形ABCD中，ACBD，且MNBD，ACMN，又MNPMM，AC平面PMN，过同一点P只能作唯一平面PMN垂直于AC，直线AC与平面PBD不垂直（2）平面PAD平面ABCD，CDAD，平面PAD平面ABCDAD，CD平面PAD，又AD、PD平面PAD，CDPD，CDAD，二面角PCDB的平面角为PDA60，设ABa，RtPDC的面积为SPDCD，RtBCD的面积为BCCD，取AD的中点M，连接PM，PAPD，P
29、MAD，由（1）知，PM平面ABCD，设点B到平面PCD的距离为h，VPBCDVBPCD，即SBCDPMSPCDh，得hPM，PB，直线PB与平面PCD所成角的正弦值为22在c（acosBbcosA）a21；bcosA+abcosBc；4SsinBcos（AC）+cosB中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题问题：设钝角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，cS为ABC的面积，_（1）求b；（2）若点O为ABC的外心，OAC的面积为，求OAB与OBC的面积之和的最大值解：（1）选，因为c（acosBbcosA）a21，所以c （ab）a21，所以a2b2a21，所以b1选，由bco
30、sA+abcosBc，得sinBcosA+bsinAcosBsinC，因为sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB，所以bsinAcosBsinAcosB，所以b1，或B，因为ABC是钝角三角形，所以B，所以b1选，因为4SsinBcos（AC）+cosB，所以4acsin2Bcos（AC）cos（A+C），所以2acsin2B2sinAsinC，所以2b2ac2ac，所以b1（2）设ABC的外接圆的半径为R，因为OAC的面积为，所以，所以R1，所以OAC为等边三角形，所以AOC60，法一：因为A或C为钝角时，OAB与OBC的面积之和的最大值相同，所以不妨设A为钝角，如图（1
31、），设BOA，则BOC60+，所以SOBC+SOABsin（60+）+sin（sin+cos）sin（+30），因为1802（A60）3002A，90A150，所以0120，所以当60，OAB与OBC的面积之和最大值为；当B为钝角时，如图（2），设BOA，则BOC60，所以SOBC+SOABsin（60）+sin（sin+cos）sin（+60），因为060，所以当30，OAB与OBC的面积之和最大值为，因为，所以OAB与OBC的面积之和最大值为法二：当A或C为钝角时，同法一；当B为钝角时，如图（2），则有OAB与OBC的面积之和小于扇形OABC的面积，因为扇形OABC的面积为，所以OAB与OBC的面积之和小于，因为，所以OAB与OBC的面积之和最大值为法三：设BOA，则BOC，所以SOBC+SOAB（sin+sin）2sincossincos当A或C为钝角时，|60，如图（1），则coscos30，不妨设a，则+60，得+2+60，因为1802（A60）3002A，90A150，所以0120，所以60+300，所以当+180时，OAB与OBC的面积之和最大值为；当B为钝角时，+60，如图（2），则sin，所以当时，OAB与OBC的面积之和最大值为，因为，所以OAB与OBC的面积之和最大值为
