1、2020-2021学年广东省广州市省实、执信、广雅、二中、六中五校联考高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1已知集合Ax|x2+x20，B2，1，0，1，2，则AB（）A2，1，0B1，0，1C1，0D0，12已知复数z满足（z1）i1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）ABCD且4在ABC中，AB3，BC4，ABC120，若把ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A11B12C13D145已知函数yxa，ybx，ylogcx的图象如图所示，
2、则a，b，c的大小关系为（）AabcBbacCacbDbca6甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是（）A65，280B68，280C65，296D68，2967函数f（x）的定义域为（，1）（1，+），且f（x+1）为奇函数，当x1时，f（x）x26x+8，则函数f（x）的所有零点之和是（）A2B4C6D88将函数f（x）sinx（0）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间上是单调增函数，则实数的最大值为
3、（）AB1CD2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。9若ab0，则下列不等式成立的是（）ABCac2bc2D10口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A“取出的两球同色”，B“取出的2球中至少有一个黄球”，C“取出的2球中至少有一个白球”，D“取出的两球不同色”，E“取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是（）A事件A与D为对立事件B事件B与C是互斥事件C事件C与E为对立事件D事件P（CE）111ABC中，A，ABAC2，则下列结论中正确的是（）
4、A若G为ABC的重心，则B若P为BC边上的一个动点，则为定值4C若M、N为BC边上的两个动点，且的最小值为D已知Q是ABC内部（含边界）一点，若AQ1，且，则+的最大值是112已知三棱锥PABC的每个顶点都在球O的球面上，ABBC2，PAPC，ABBC，过B作平面ABC的垂线BQ，且BQAB，PQ3，P与Q都在平面ABC的同侧，则（）A三棱锥PABC的体积为BPAABCPCBQD球O的表面积为9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知（0，），sin+cos，则tan 14某办公室团建抽奖，已知5张奖券中只有2张是一等奖，甲先抽1张（不放回），乙再抽1张，则甲中一等奖乙中一等奖
5、的概率为 15已知函数f（x）|x+1|x3|，若对xR，不等式f（x）m恒成立，则实数m的取值范围是 16已知正数a，b满足，则a+b的最小值是 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知，（1）求A的值；（2）若b3，求ABC外接圆的面积18为响应十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局投入若干经费对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值做了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如下频率分布直方图，由于版式设置不当导
6、致打印时图中横轴的数据丢失，但可以确实横轴是从0开始计数的（1）利用频率分布直方图估算收益增加值的第90百分位数；（2）利用频率分布直方图估算全市旅游景区收益增加值的平均数和方差s2（以各组的区间中点值代表该组的取值）19在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率20已知点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，当|f（x1）f（x2）|4时，|x1x2|的最小值为（1）求函数f（x
7、）的单调减区间；（2）求函数f（x）在内的值域；（3）若方程3f（x）2f（x）+m0在内有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围21如图，矩形ABCD所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，AB2，AD，M是上异于C，D的动点（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）设BM和平面ABCD所成角为，求sin的最大值22已知f（x）x2+x+a2+a，g（x）x2x+a2a，且函数f（x）和g（x）的定义域均为R，用M（x）表示f（x），g（x）的较大者，记为M（x）maxf（x），g（x），（1）若a1，试写出M（x）的解析式，并求M（x）的最小值；（2）若函数M（x）的最小值为3，试求实数a的值参考
8、答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1已知集合Ax|x2+x20，B2，1，0，1，2，则AB（）A2，1，0B1，0，1C1，0D0，1解：Ax|2x1，B2，1，0，1，2，AB1，0故选：C2已知复数z满足（z1）i1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：由（z1）i1+i，得z1，z2i，复数z在复平面内对应的点的坐标为（2，1），位于第四象限故选：D3设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）ABCD且解：与共线且同向且0，故选：C4在ABC中，AB3，BC4，ABC120，若把ABC绕直线AB旋转一周，则
9、所形成的几何体的体积是（）A11B12C13D14解：ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是：两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，BC4，ABC120，CO2，几何体的体积V12，故选：B5已知函数yxa，ybx，ylogcx的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（）AabcBbacCacbDbca解：根据幂函数的性质可知：a0，又幂函数yxa，当x2时，y2，即2a2，0a1，根据指数函数的性质可知：b1，又指数函数ybx，当x1时，y2，即b2，1b2，根据对数函数的性质可知：c1，又对数函数ylogcx，当x2时，y1，即logc21，c2，故：
10、abc，故选：A6甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是（）A65，280B68，280C65，296D68，296解：由题意可知甲队的平均数为60，乙队体重的平均数为70，甲队队员在所有队员中所占权重为，乙队队员在所有队员中所占权重为，则甲、乙两队全部队员的平均体重为，甲、乙两队全部队员体重的方差为296故选：D7函数f（x）的定义域为（，1）（1，+），且f（x+1）为奇函数，当x1时，f（x）x26x+8，则函数f（x）的所有零点
11、之和是（）A2B4C6D8解：根据题意，f（x+1）为奇函数，函数f（x+1）的图象关于（0，0）对称，则函数f（x）的图象关于（1，0）对称，当x1时，f（x）x26x+8，此时若f（x）x26x+80，解可得x12，x24，又由函数f（x）的图象关于（1，0）对称，则当x1时，f（x）0有两解，为x30，x42，则函数f（x）的所有零点之和为2+4+0+（2）4；故选：B8将函数f（x）sinx（0）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间上是单调增函数，则实数的最大值为（）AB1CD2解：函数f（x）sinx（0）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）sin
12、（x）的图象，由于x，所以，由于函数g（x）在区间上是单调增函数，所以，故，且，解得故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。9若ab0，则下列不等式成立的是（）ABCac2bc2D解：由ab0，可得，故A正确；由ab0，可得a2b2，所以，故B错误；若c0，则ac2bc2，故C错误；由ab0，可得，所以，所以ab，故D正确故选：AD10口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A“取出的两球同色”，B“取出的2球中至少有一个黄球”，C“取出的2球中至少有
13、一个白球”，D“取出的两球不同色”，E“取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是（）A事件A与D为对立事件B事件B与C是互斥事件C事件C与E为对立事件D事件P（CE）1解：事件A“取出的两球同色”，D“取出的两球不同色”，件A与D为对立事件，故A对，事件BC“取出的2球为一个黄球，一个白球”，故事件B与C不是互斥事件，故B错，事件CE“取出的2球有且只有一个白球”，故事件C与E不是对立事件，故C错，事件CE为必然事件，故P（CE）1，故D对，故选：AD11ABC中，A，ABAC2，则下列结论中正确的是（）A若G为ABC的重心，则B若P为BC边上的一个动点，则为定值4C若M、N为BC边上
14、的两个动点，且的最小值为D已知Q是ABC内部（含边界）一点，若AQ1，且，则+的最大值是1解：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系则A（0，0），B（2，0），C（0，2）（2，0），（0，2）对于A，由重心坐标公式，可得G（，），则（，），+（，），+，故A错误；对于B，设t（0t1），则+t+t（）t+（1t），则t+（1t）（+）t+t|+（1t）|+（1t）4t+4（1t）4，故B正确；对于C，不妨设M靠近B，|BM|x，则0x，得M（2x，x），N（2（x+），（x+）（1x，1+x）则（2x，x）（1x，1+x）（2x）（1x）+x（1+x）x
15、x+2当x时，取得最小值为，故C正确；对于D，由，且Q为ABC内一点，BQ1，得，即，则+的最大值大于1，故D错误故选：BC12已知三棱锥PABC的每个顶点都在球O的球面上，ABBC2，PAPC，ABBC，过B作平面ABC的垂线BQ，且BQAB，PQ3，P与Q都在平面ABC的同侧，则（）A三棱锥PABC的体积为BPAABCPCBQD球O的表面积为9解：如图，长方体的高为1，底面是边长为2的正方形，满足ABBC2，PAPC，ABBC，三棱锥PABC的体积为，故A正确；PB，满足PA2+AB2PB2，可得PAAB，故B正确；BQ平面ABC，PD平面ABC，则BQPD，假设PCBQ，则PCPD，与P
16、D与PC相交于P矛盾，故C错误；三棱锥PABC的外接球即长方体DG的外接球，设其半径为R，则2R，即R，可得球O的表面积为，故D正确故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知（0，），sin+cos，则tan解：sin+cos，（1），两边平方得1+2sincos，sincos0，又0，可知：sin0，cos0，sincos0，（sincos）212sincos1+，sincos，（2）由（1），（2）可得sin，cos，tan故答案为：14某办公室团建抽奖，已知5张奖券中只有2张是一等奖，甲先抽1张（不放回），乙再抽1张，则甲中一等奖乙中一等奖的概率为 解：由题意，
17、甲中一等奖乙中一等奖的概率故答案为：15已知函数f（x）|x+1|x3|，若对xR，不等式f（x）m恒成立，则实数m的取值范围是 4，+解：（1）函数f（x）|x+1|x3|，作出f（x）的图象如图所示，由图象可得函数f（x）的最大值为4，若对xR，不等式f（x）m恒成立，则m4，即实数m的取值范围是4，+故答案为：4，+16已知正数a，b满足，则a+b的最小值是 9解：a0，b0，则a+b0，设a+bx，则，由基本不等式的结论可得，即x（x8），即x28x90，所以x1（舍）或x9，即a+b9，当且仅当b2a时取等号，所以a+b的最小值为9故答案为：9四、解答题：本题共6小题，共70分.解答
18、应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知，（1）求A的值；（2）若b3，求ABC外接圆的面积解：（1）因为，所以由正弦定理可得，即tanA，因为A（0，），所以A（2）因为b3，c2，A，所以由余弦定理可得a，所以ABC外接圆的半径R，可得ABC外接圆的面积SR218为响应十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局投入若干经费对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值做了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如下频率分布直方图，由于版式设置不当导致打印时图中横轴
19、的数据丢失，但可以确实横轴是从0开始计数的（1）利用频率分布直方图估算收益增加值的第90百分位数；（2）利用频率分布直方图估算全市旅游景区收益增加值的平均数和方差s2（以各组的区间中点值代表该组的取值）解：（1）设组距为a，则有（0.08+0.10+0.14+0.12+0.04+0.02）a1，解得a2，所以横轴的数据依次为0，2，4，6，8，10，12，因为1012所占频率为20.020.04，810所占频率为20.040.08，故812所占频率为0.120.10，故第90百分位数在8，10之间，即为10；（2）由频率分布直方图可得，（10.08+30.10+50.14+70.12+90.0
20、4+110.02）25；s2（15）20.08+（35）20.10+（55）20.14+（75）20.12+（95）20.04+（115）20.0227.0419在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率解：（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则P（A），P（B），任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P（A+）P（A）P（）+P（）P（B）+（1）（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：P（）P（）P（
21、）（1）（1）20已知点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，当|f（x1）f（x2）|4时，|x1x2|的最小值为（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）求函数f（x）在内的值域；（3）若方程3f（x）2f（x）+m0在内有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围解：（1）由题意，角的终边经过点，则有，又，则，因为当|f（x1）f（x2）|4时，|x1x2|的最小值为，则，所以3，故f（x）2sin（3x），令，解得，所以函数f（x）的单调减区间为；（2）因为，则，所以，故f（x）（0，2），所以函数f（x）在内的值域为（0，2）；（3）由（2）可
22、知，函数f（x）在内的值域为（0，2），令tf（x），则t（0，2），问题转化为方程3t2t+m0在（0，2）上仅有一个根或两个相等的根，即m3t2t，t（0，2），则ym与y3t2t的图象在t（0，2）上只有一个交点，作出函数ym与y3t2t在t（0，2）上图象，由图象可知，当m或0m10时，两个图象只有一个交点，解得m或10m0，故实数m的取值范围为21如图，矩形ABCD所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，AB2，AD，M是上异于C，D的动点（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）设BM和平面ABCD所成角为，求sin的最大值【解答】（1）证明：由题意可知，平面CMD平面ABCD，且平面CM
23、D平面ABCDCD，又BCCD，BC平面ABCD，故BC平面CMD，又DM平面CMD，所以BCDM，因为M是上异于C，D的动点，且CD为直径，所以DMCM，又BCCMC，BC，CM平面BMC，所以DM平面BMC，又DM平面AMD，故平面AMD平面BMC；（2）解：过点M作MHCD，交CD于点H，连接HB，MC，由平面DMC平面ABCD，且平面CMD平面ABCDCD，所以MH平面ABCD，则MBH为MB与平面ABCD所成角，即MBH，不妨设HCx，（0x2），所以DH2x，则由射影定理可得，MH2x（2x）2xx2，又，所以，故，令，故，当且仅当x时取等号，所以sin的最大值为22已知f（x）x
24、2+x+a2+a，g（x）x2x+a2a，且函数f（x）和g（x）的定义域均为R，用M（x）表示f（x），g（x）的较大者，记为M（x）maxf（x），g（x），（1）若a1，试写出M（x）的解析式，并求M（x）的最小值；（2）若函数M（x）的最小值为3，试求实数a的值解：f（x）g（x）x2+x+a2+a（x2x+a2a）2（x+a），当xa时，f（x）g（x），当xa时，f（x）g（x），故M（x）maxf（x），g（x），（1）当a1时，M（x），当x1时，M（x）minf（），当x1时，M（x）g（x）g（1）2，故M（x）min，（2）函数f（x）和g（x）的对称轴分别为x、x，当a，即a时，M（x）在（，）上单调递减，在（，+）上单调递增，故M（x）minf（）3，即a2+a0，解得a或a（舍去），当a，即a时，M（x）在（，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增，故M（x）minf（a）3，即2a23，解得a（舍去），当a，即a时，M（x）在（，）上单调递减，在（，+）上单调递增，故M（x）minf（）3，即a2a0，解得a或a（舍去），综上所述，a
