1、2020-2021学年广东省广州市省实、执信、广雅、二中、六中五校联考高一(下)期末数学试卷一、单项选择题(共8小题,每小题5分,共40分).1已知集合Ax|x2+x20,B2,1,0,1,2,则AB()A2,1,0B1,0,1C1,0D0,12已知复数z满足(z1)i1+i,则复数z在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3设、都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是()ABCD且4在ABC中,AB3,BC4,ABC120,若把ABC绕直线AB旋转一周,则所形成的几何体的体积是()A11B12C13D145已知函数yxa,ybx,ylogcx的图象如图所示,
2、则a,b,c的大小关系为()AabcBbacCacbDbca6甲、乙两支田径队的体检结果为:甲队体重的平均数为60kg,方差为200,乙队体重的平均数为70kg,方差为300,又已知甲、乙两队的队员人数之比为1:4,那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是()A65,280B68,280C65,296D68,2967函数f(x)的定义域为(,1)(1,+),且f(x+1)为奇函数,当x1时,f(x)x26x+8,则函数f(x)的所有零点之和是()A2B4C6D88将函数f(x)sinx(0)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间上是单调增函数,则实数的最大值为
3、()AB1CD2二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的对2分,有选错的得0分。9若ab0,则下列不等式成立的是()ABCac2bc2D10口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球,从中任取2球,事件A“取出的两球同色”,B“取出的2球中至少有一个黄球”,C“取出的2球中至少有一个白球”,D“取出的两球不同色”,E“取出的2球中至多有一个白球”,下列判断中正确的是()A事件A与D为对立事件B事件B与C是互斥事件C事件C与E为对立事件D事件P(CE)111ABC中,A,ABAC2,则下列结论中正确的是()
4、A若G为ABC的重心,则B若P为BC边上的一个动点,则为定值4C若M、N为BC边上的两个动点,且的最小值为D已知Q是ABC内部(含边界)一点,若AQ1,且,则+的最大值是112已知三棱锥PABC的每个顶点都在球O的球面上,ABBC2,PAPC,ABBC,过B作平面ABC的垂线BQ,且BQAB,PQ3,P与Q都在平面ABC的同侧,则()A三棱锥PABC的体积为BPAABCPCBQD球O的表面积为9三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13已知(0,),sin+cos,则tan 14某办公室团建抽奖,已知5张奖券中只有2张是一等奖,甲先抽1张(不放回),乙再抽1张,则甲中一等奖乙中一等奖
5、的概率为 15已知函数f(x)|x+1|x3|,若对xR,不等式f(x)m恒成立,则实数m的取值范围是 16已知正数a,b满足,则a+b的最小值是 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知,(1)求A的值;(2)若b3,求ABC外接圆的面积18为响应十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召,某市旅游局投入若干经费对全市各旅游景区的环境进行综合治理,并且对各旅游景区收益的增加值做了初步的估计,根据旅游局的治理规划方案,针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如下频率分布直方图,由于版式设置不当导
6、致打印时图中横轴的数据丢失,但可以确实横轴是从0开始计数的(1)利用频率分布直方图估算收益增加值的第90百分位数;(2)利用频率分布直方图估算全市旅游景区收益增加值的平均数和方差s2(以各组的区间中点值代表该组的取值)19在一次猜灯谜活动中,共有20道灯谜,两名同学独立竞猜,甲同学猜对了12个,乙同学猜对了8个,假设猜对每道灯谜都是等可能的,试求:(1)任选一道灯谜,恰有一个人猜对的概率;(2)任选一道灯谜,甲、乙都没有猜对的概率20已知点A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)是函数图象上的任意两点,且角的终边经过点,当|f(x1)f(x2)|4时,|x1x2|的最小值为(1)求函数f(x
7、)的单调减区间;(2)求函数f(x)在内的值域;(3)若方程3f(x)2f(x)+m0在内有两个不相等的实数解,求实数m的取值范围21如图,矩形ABCD所在的平面与半圆弧所在的平面垂直,AB2,AD,M是上异于C,D的动点(1)证明:平面AMD平面BMC;(2)设BM和平面ABCD所成角为,求sin的最大值22已知f(x)x2+x+a2+a,g(x)x2x+a2a,且函数f(x)和g(x)的定义域均为R,用M(x)表示f(x),g(x)的较大者,记为M(x)maxf(x),g(x),(1)若a1,试写出M(x)的解析式,并求M(x)的最小值;(2)若函数M(x)的最小值为3,试求实数a的值参考
8、答案一、单项选择题(共8小题,每小题5分,共40分).1已知集合Ax|x2+x20,B2,1,0,1,2,则AB()A2,1,0B1,0,1C1,0D0,1解:Ax|2x1,B2,1,0,1,2,AB1,0故选:C2已知复数z满足(z1)i1+i,则复数z在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解:由(z1)i1+i,得z1,z2i,复数z在复平面内对应的点的坐标为(2,1),位于第四象限故选:D3设、都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是()ABCD且解:与共线且同向且0,故选:C4在ABC中,AB3,BC4,ABC120,若把ABC绕直线AB旋转一周,则
9、所形成的几何体的体积是()A11B12C13D14解:ABC绕直线AB旋转一周,所形成的几何体是:两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径,高之差为AB的圆锥的组合体,BC4,ABC120,CO2,几何体的体积V12,故选:B5已知函数yxa,ybx,ylogcx的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为()AabcBbacCacbDbca解:根据幂函数的性质可知:a0,又幂函数yxa,当x2时,y2,即2a2,0a1,根据指数函数的性质可知:b1,又指数函数ybx,当x1时,y2,即b2,1b2,根据对数函数的性质可知:c1,又对数函数ylogcx,当x2时,y1,即logc21,c2,故:
10、abc,故选:A6甲、乙两支田径队的体检结果为:甲队体重的平均数为60kg,方差为200,乙队体重的平均数为70kg,方差为300,又已知甲、乙两队的队员人数之比为1:4,那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是()A65,280B68,280C65,296D68,296解:由题意可知甲队的平均数为60,乙队体重的平均数为70,甲队队员在所有队员中所占权重为,乙队队员在所有队员中所占权重为,则甲、乙两队全部队员的平均体重为,甲、乙两队全部队员体重的方差为296故选:D7函数f(x)的定义域为(,1)(1,+),且f(x+1)为奇函数,当x1时,f(x)x26x+8,则函数f(x)的所有零点
11、之和是()A2B4C6D8解:根据题意,f(x+1)为奇函数,函数f(x+1)的图象关于(0,0)对称,则函数f(x)的图象关于(1,0)对称,当x1时,f(x)x26x+8,此时若f(x)x26x+80,解可得x12,x24,又由函数f(x)的图象关于(1,0)对称,则当x1时,f(x)0有两解,为x30,x42,则函数f(x)的所有零点之和为2+4+0+(2)4;故选:B8将函数f(x)sinx(0)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间上是单调增函数,则实数的最大值为()AB1CD2解:函数f(x)sinx(0)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)sin
12、(x)的图象,由于x,所以,由于函数g(x)在区间上是单调增函数,所以,故,且,解得故选:C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的对2分,有选错的得0分。9若ab0,则下列不等式成立的是()ABCac2bc2D解:由ab0,可得,故A正确;由ab0,可得a2b2,所以,故B错误;若c0,则ac2bc2,故C错误;由ab0,可得,所以,所以ab,故D正确故选:AD10口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球,从中任取2球,事件A“取出的两球同色”,B“取出的2球中至少有一个黄球”,C“取出的2球中至少有
13、一个白球”,D“取出的两球不同色”,E“取出的2球中至多有一个白球”,下列判断中正确的是()A事件A与D为对立事件B事件B与C是互斥事件C事件C与E为对立事件D事件P(CE)1解:事件A“取出的两球同色”,D“取出的两球不同色”,件A与D为对立事件,故A对,事件BC“取出的2球为一个黄球,一个白球”,故事件B与C不是互斥事件,故B错,事件CE“取出的2球有且只有一个白球”,故事件C与E不是对立事件,故C错,事件CE为必然事件,故P(CE)1,故D对,故选:AD11ABC中,A,ABAC2,则下列结论中正确的是()A若G为ABC的重心,则B若P为BC边上的一个动点,则为定值4C若M、N为BC边上
14、的两个动点,且的最小值为D已知Q是ABC内部(含边界)一点,若AQ1,且,则+的最大值是1解:如图,以A为坐标原点,分别以AB,AC所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系则A(0,0),B(2,0),C(0,2)(2,0),(0,2)对于A,由重心坐标公式,可得G(,),则(,),+(,),+,故A错误;对于B,设t(0t1),则+t+t()t+(1t),则t+(1t)(+)t+t|+(1t)|+(1t)4t+4(1t)4,故B正确;对于C,不妨设M靠近B,|BM|x,则0x,得M(2x,x),N(2(x+),(x+)(1x,1+x)则(2x,x)(1x,1+x)(2x)(1x)+x(1+x)x
15、x+2当x时,取得最小值为,故C正确;对于D,由,且Q为ABC内一点,BQ1,得,即,则+的最大值大于1,故D错误故选:BC12已知三棱锥PABC的每个顶点都在球O的球面上,ABBC2,PAPC,ABBC,过B作平面ABC的垂线BQ,且BQAB,PQ3,P与Q都在平面ABC的同侧,则()A三棱锥PABC的体积为BPAABCPCBQD球O的表面积为9解:如图,长方体的高为1,底面是边长为2的正方形,满足ABBC2,PAPC,ABBC,三棱锥PABC的体积为,故A正确;PB,满足PA2+AB2PB2,可得PAAB,故B正确;BQ平面ABC,PD平面ABC,则BQPD,假设PCBQ,则PCPD,与P
16、D与PC相交于P矛盾,故C错误;三棱锥PABC的外接球即长方体DG的外接球,设其半径为R,则2R,即R,可得球O的表面积为,故D正确故选:ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13已知(0,),sin+cos,则tan解:sin+cos,(1),两边平方得1+2sincos,sincos0,又0,可知:sin0,cos0,sincos0,(sincos)212sincos1+,sincos,(2)由(1),(2)可得sin,cos,tan故答案为:14某办公室团建抽奖,已知5张奖券中只有2张是一等奖,甲先抽1张(不放回),乙再抽1张,则甲中一等奖乙中一等奖的概率为 解:由题意,
17、甲中一等奖乙中一等奖的概率故答案为:15已知函数f(x)|x+1|x3|,若对xR,不等式f(x)m恒成立,则实数m的取值范围是 4,+解:(1)函数f(x)|x+1|x3|,作出f(x)的图象如图所示,由图象可得函数f(x)的最大值为4,若对xR,不等式f(x)m恒成立,则m4,即实数m的取值范围是4,+故答案为:4,+16已知正数a,b满足,则a+b的最小值是 9解:a0,b0,则a+b0,设a+bx,则,由基本不等式的结论可得,即x(x8),即x28x90,所以x1(舍)或x9,即a+b9,当且仅当b2a时取等号,所以a+b的最小值为9故答案为:9四、解答题:本题共6小题,共70分.解答
18、应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知,(1)求A的值;(2)若b3,求ABC外接圆的面积解:(1)因为,所以由正弦定理可得,即tanA,因为A(0,),所以A(2)因为b3,c2,A,所以由余弦定理可得a,所以ABC外接圆的半径R,可得ABC外接圆的面积SR218为响应十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召,某市旅游局投入若干经费对全市各旅游景区的环境进行综合治理,并且对各旅游景区收益的增加值做了初步的估计,根据旅游局的治理规划方案,针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如下频率分布直方图,由于版式设置不当导致打印时图中横轴
19、的数据丢失,但可以确实横轴是从0开始计数的(1)利用频率分布直方图估算收益增加值的第90百分位数;(2)利用频率分布直方图估算全市旅游景区收益增加值的平均数和方差s2(以各组的区间中点值代表该组的取值)解:(1)设组距为a,则有(0.08+0.10+0.14+0.12+0.04+0.02)a1,解得a2,所以横轴的数据依次为0,2,4,6,8,10,12,因为1012所占频率为20.020.04,810所占频率为20.040.08,故812所占频率为0.120.10,故第90百分位数在8,10之间,即为10;(2)由频率分布直方图可得,(10.08+30.10+50.14+70.12+90.0
20、4+110.02)25;s2(15)20.08+(35)20.10+(55)20.14+(75)20.12+(95)20.04+(115)20.0227.0419在一次猜灯谜活动中,共有20道灯谜,两名同学独立竞猜,甲同学猜对了12个,乙同学猜对了8个,假设猜对每道灯谜都是等可能的,试求:(1)任选一道灯谜,恰有一个人猜对的概率;(2)任选一道灯谜,甲、乙都没有猜对的概率解:(1)设事件A表示“甲猜对”,事件B表示“乙猜对”,则P(A),P(B),任选一道灯谜,恰有一个人猜对的概率为:P(A+)P(A)P()+P()P(B)+(1)(2)任选一道灯谜,甲、乙都没有猜对的概率为:P()P()P(
21、)(1)(1)20已知点A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)是函数图象上的任意两点,且角的终边经过点,当|f(x1)f(x2)|4时,|x1x2|的最小值为(1)求函数f(x)的单调减区间;(2)求函数f(x)在内的值域;(3)若方程3f(x)2f(x)+m0在内有两个不相等的实数解,求实数m的取值范围解:(1)由题意,角的终边经过点,则有,又,则,因为当|f(x1)f(x2)|4时,|x1x2|的最小值为,则,所以3,故f(x)2sin(3x),令,解得,所以函数f(x)的单调减区间为;(2)因为,则,所以,故f(x)(0,2),所以函数f(x)在内的值域为(0,2);(3)由(2)可
22、知,函数f(x)在内的值域为(0,2),令tf(x),则t(0,2),问题转化为方程3t2t+m0在(0,2)上仅有一个根或两个相等的根,即m3t2t,t(0,2),则ym与y3t2t的图象在t(0,2)上只有一个交点,作出函数ym与y3t2t在t(0,2)上图象,由图象可知,当m或0m10时,两个图象只有一个交点,解得m或10m0,故实数m的取值范围为21如图,矩形ABCD所在的平面与半圆弧所在的平面垂直,AB2,AD,M是上异于C,D的动点(1)证明:平面AMD平面BMC;(2)设BM和平面ABCD所成角为,求sin的最大值【解答】(1)证明:由题意可知,平面CMD平面ABCD,且平面CM
23、D平面ABCDCD,又BCCD,BC平面ABCD,故BC平面CMD,又DM平面CMD,所以BCDM,因为M是上异于C,D的动点,且CD为直径,所以DMCM,又BCCMC,BC,CM平面BMC,所以DM平面BMC,又DM平面AMD,故平面AMD平面BMC;(2)解:过点M作MHCD,交CD于点H,连接HB,MC,由平面DMC平面ABCD,且平面CMD平面ABCDCD,所以MH平面ABCD,则MBH为MB与平面ABCD所成角,即MBH,不妨设HCx,(0x2),所以DH2x,则由射影定理可得,MH2x(2x)2xx2,又,所以,故,令,故,当且仅当x时取等号,所以sin的最大值为22已知f(x)x
24、2+x+a2+a,g(x)x2x+a2a,且函数f(x)和g(x)的定义域均为R,用M(x)表示f(x),g(x)的较大者,记为M(x)maxf(x),g(x),(1)若a1,试写出M(x)的解析式,并求M(x)的最小值;(2)若函数M(x)的最小值为3,试求实数a的值解:f(x)g(x)x2+x+a2+a(x2x+a2a)2(x+a),当xa时,f(x)g(x),当xa时,f(x)g(x),故M(x)maxf(x),g(x),(1)当a1时,M(x),当x1时,M(x)minf(),当x1时,M(x)g(x)g(1)2,故M(x)min,(2)函数f(x)和g(x)的对称轴分别为x、x,当a,即a时,M(x)在(,)上单调递减,在(,+)上单调递增,故M(x)minf()3,即a2+a0,解得a或a(舍去),当a,即a时,M(x)在(,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增,故M(x)minf(a)3,即2a23,解得a(舍去),当a,即a时,M(x)在(,)上单调递减,在(,+)上单调递增,故M(x)minf()3,即a2a0,解得a或a(舍去),综上所述,a