1、2019-2020学年北京市大兴区高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1复数1+i2（）A0B2C2iD1i2在平行四边形ABCD中，（）ABCD3某中学高一年级有280人，高二年级有320人，高三年级有400人，为了解学校高中学生视力情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，则高一年级应抽取的人数为（）A14B16C28D404若单位向量，的夹角为，则（）ABCD15若a和b是异面直线，a和c是平行直线，则b和c的位置关系是（）A平行B异面C异面或相交D相交、平行或异面6甲、乙、丙、丁四组人数分布如图所示，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为（）A
2、150B250C300D4007已知复数z满足（z1）i1+i，则z（）A2iB2+iC2+iD2i8若长方体所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别是3，2，1，则这个球面的面积为（）A9B12C14D189设，为非零向量，则“|+|+|”是“与共线”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件10已知ABC是等腰三角形，ABAC5，BC6，点P在线段AC上运动，则的取值范围是（）A3，4B，6C6，8D，8二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11设复数z1+i，则z的模|z| 12数据19，20，21，23，25，26，27，则这组数据的方差是 13三棱
3、锥的三条侧棱两两垂直，长分别为1，2，3，则这个三棱锥的体积为 14已知（1，2），（2，y），|+|，则y 15在ABC中，b10，A若a5，则角B大小为 ；若角B有两个解，则a的取值范围是 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16已知复数z（m2m）+（m+3）i（mR）在复平面内对应点Z（）若m2，求z；（）若点Z在直线yx上，求m的值17已知三个点A（2，1），B（3，2），D（1，4）（）求证：ABAD；（）若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所成锐角的余弦值18为了解某小区7月用电量情况，通过抽样，获得了100户居民7月用电量
4、（单位：度），将数据按照50，100），100，150），300，350分成六组，制成了如图所示的频率分布直方图（）求频率分布直方图中x的值；（）已知该小区有1000户居民，估计该小区7月用电量不低于200度的户数，并说明理由；（）估计该小区85%的居民7月用电量的值，并说明理由19如图，在ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上，且AD4DC（）求BD的长；（）求sinBDC的值20如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA11（）求证：BDA1C；（）求证：平面BDC1平面A1B1C；（）用一张正方形的纸把正方体ABCDA1B1C1D1完全包住，不将纸撕开，求所需纸的
5、最小面积（结果不要求证明）21如图所示，在四棱锥PABCD中，BC平面PAD，BCAD，E是PD的中点（）求证：BCAD；（）求证：CE平面PAB；（）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN平面PAB？说明理由参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1复数1+i2（）A0B2C2iD1i【分析】直接利用虚数单位i的运算性质化简求值解：i21，1+i2110故选：A2在平行四边形ABCD中，（）ABCD【分析】利用向量平行四边形法则即可得出解：由向量平行四边形法则可得：，故选：B3某中学高一年级有280人，高二年级有32
6、0人，高三年级有400人，为了解学校高中学生视力情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，则高一年级应抽取的人数为（）A14B16C28D40【分析】先求出抽取样本的比例是多少，再计算从高一学生中应抽取的人是多少解：根据题意，得；抽取样本的比例是，从高一学生中应抽取的人数为28014故选：A4若单位向量，的夹角为，则（）ABCD1【分析】直接利用向量的数量积求解即可解：单位向量，的夹角为，则故选：B5若a和b是异面直线，a和c是平行直线，则b和c的位置关系是（）A平行B异面C异面或相交D相交、平行或异面【分析】借助正方体模型，找出三条直线a，b，c，符合题意，判断b，c的位
7、置关系解：考虑正方体ABCDABCD中，直线AB看做直线a，直线BC看做直线b，即直线a和直线b是异面直线，若直线CD看做直线c，可得a，c平行，则b，c异面；若直线AB看做直线c，可得a，c平行，则b，c相交若b，c平行，由a，c平行，可得a，b平行，这与a，b异面矛盾，故b，c不平行故选：C6甲、乙、丙、丁四组人数分布如图所示，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为（）A150B250C300D400【分析】先根据甲组人数及其所占百分比可得总人数，再求出丙、丁两组人数占总人数的百分比，即可得解解：甲组人数为120人，占总人数的百分比为30%，总人数为12030%400人，丙、丁两组
8、人数和占总人数的百分比为130%7.5%62.5%丙、丁两组人数和为40062.5%250人故选：B7已知复数z满足（z1）i1+i，则z（）A2iB2+iC2+iD2i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案解：由（z1）i1+i，得z1，z2i故选：D8若长方体所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别是3，2，1，则这个球面的面积为（）A9B12C14D18【分析】求出长方体的对角线的长度，得到外接球的直径，然后求解外接球的表面积解：长方体所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别是3，2，1，所以长方体的外接球的直径为：，外接球的半径为：则这个球面的面积为：414故选：C9
9、设，为非零向量，则“|+|+|”是“与共线”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】结合向量数量积的性质及向量共线的定义即可求解解：因为，为非零向量，由|+|+|两边平方可得，|，故夹角0，即与共线，当与共线时，夹角0或，此时|+|+|不一定成立故选：A10已知ABC是等腰三角形，ABAC5，BC6，点P在线段AC上运动，则的取值范围是（）A3，4B，6C6，8D，8【分析】以BC的中点O为坐标原点，BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立直角坐标系，分别求得B，C，A的坐标，可得直线AC的方程，设P（m，n），（0n4），即有m3n，再由向量的
10、运算和模的公式，可得n的函数，结合二次函数的最值求法，可得所求范围解：以BC的中点O为坐标原点，BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立直角坐标系，可得B（3，0），C（3，0），由|AC|5，可得A（0，4），直线AC的方程为+1，即4x+3y12，可设P（m，n），（0n4），即有m3n，则|（3m，n）+（3m，n）|（2m，2n）|222，当n0，4，可得的最小值为2；当n4时，可得的最大值为8，则的取值范围是，8故选：D二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11设复数z1+i，则z的模|z|【分析】直接代入模长公式即可解：因为复数z1+i，则z的模|z|；故答案为：12数据19，
11、20，21，23，25，26，27，则这组数据的方差是【分析】根据题意，先求出这组数据的平均数，进而由方差计算公式计算可得答案解：根据题意，数据19，20，21，23，25，26，27，其平均数（19+20+21+23+25+26+27）23，则其方差S2（1923）2+（2023）2+（2123）2+（2323）2+（2523）2+（2623）2+（2723）2；故答案为：13三棱锥的三条侧棱两两垂直，长分别为1，2，3，则这个三棱锥的体积为1【分析】由已知画出图形，再由等体积法求三棱锥的体积解：如图，三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，不妨设PA1，PB2，PC3则，由PCPA，PCPB，P
12、APBP，得PC平面PABVPABCVCPAB故答案为：114已知（1，2），（2，y），|+|，则y1【分析】可以求出，然后根据即可得出9+（y+2）21+（2y）2，解出y即可解：，9+（y+2）21+（2y）2，解得y1故答案为：115在ABC中，b10，A若a5，则角B大小为；若角B有两个解，则a的取值范围是（5，10）【分析】根据正弦定理带入计算即可；由正弦定理表示出sinB，根据B的度数确定出B的范围，要使三角形有两解确定出B的具体范围，利用正弦函数的值域求出x的范围即可解：由正弦定理可得sinB1，故B；在ABC中，b10，A，由正弦定理得：sinB，A30，0B150，要使三角
13、形有两解，得到30B150，且B90，即sinB1，1，解得：5a10，即：a（5，10）故答案为：；（5，10）三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16已知复数z（m2m）+（m+3）i（mR）在复平面内对应点Z（）若m2，求z；（）若点Z在直线yx上，求m的值【分析】（）由m求得z，再由求解；（）由题意，可得z的实部与虚部相等，由此可得关于m的方程求解解：（）m2，z2+5i，则；（）若点Z在直线yx上，则m2mm+3，即m22m30，解得m1或m317已知三个点A（2，1），B（3，2），D（1，4）（）求证：ABAD；（）若四边形ABCD为矩形，求点C
14、的坐标及矩形ABCD两对角线所成锐角的余弦值【分析】（）求出向量的坐标，利用向量的数量积为0，两向量垂直证出两线垂直（）利用向量相等对应的坐标相等求出点C的坐标，求出两对角线对应的向量坐标，利用向量的数量积公式求出向量的夹角【解答】（）证明：可得，ABAD；（）由（）及四边形ABCD为矩形，得，设C（x，y），则（1，1）（x+1，y4），得，即C（0，5）；，得，设与夹角为，则，该矩形对角线所夹的锐角的余弦值18为了解某小区7月用电量情况，通过抽样，获得了100户居民7月用电量（单位：度），将数据按照50，100），100，150），300，350分成六组，制成了如图所示的频率分布直方图（）
15、求频率分布直方图中x的值；（）已知该小区有1000户居民，估计该小区7月用电量不低于200度的户数，并说明理由；（）估计该小区85%的居民7月用电量的值，并说明理由【分析】（）由概率统计相关知识，各组频率和为1，列出方程求出x的值；（）由频率分布直方图可得100户居民7月用电量不低于200度的频率为（0.0044+0.0024+0.0012）500.4，由此得解（）由频率分布直方图可得85%分位数一定位于区间（250.300）内，由此得解解：（）由频率分布直方图可得：（0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012）501，解得：x0.0044（）由频率分布直方图可得
16、，100户居民7月用电量不低于200度的频率为（0.0044+0.0024+0.0012）500.4，由此可以估计该小区有1000户居民7月用电量不低于200度的户数为10000.4400（）由频率分布直方图可得，7月用电量低于250度的频率为0.82，7月用电量低于300度的频率为0.94，所以85%分位数一定位于区间（250.300）内，由250+50262.5由此估计该小区85%的居民7月用电量约为262.5度19如图，在ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上，且AD4DC（）求BD的长；（）求sinBDC的值【分析】（I）由已知可求AC，cosA，然后结合余弦定理可求B
17、D，（II）由已知结合正弦定理即可求解解：（I）因为ABC90，AB4，BC3，所以AC5，cosA，又点D在线段AC上，且AD4DC，所以AD4，ABD 中，由余弦定理可得，BD2AB2+AD22ABADcosA，所以BD；（II）因为sinCcosA，BCD中，由正弦定理可得，所以sinBDC20如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA11（）求证：BDA1C；（）求证：平面BDC1平面A1B1C；（）用一张正方形的纸把正方体ABCDA1B1C1D1完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积（结果不要求证明）【分析】（）连结AC，推导出ACBD，BDAA1，从而BD平面A1AC，由
18、此能证明BDA1C（）推导出BC1B1C，A1B1BC1，由此能证明BC1平面A1B1C，从而平面BDC1平面A1B1C；（）所需纸的最小面积为8解：（）证明：连结AC，在正方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，ACBD，AA1平面ABCD，BDAA1，AA1ACA，BD平面A1AC，A1C平面A1AC，BDA1C（）证明：侧面BCC1B1是正方形，BC1B1C，A1B1平面BCC1B1，A1B1BC1，A1B1B1CB1，BC1平面A1B1C，BC1平面BDC1，平面BDC1平面A1B1C；（）用一张正方形的纸把正方体ABCDA1B1C1D1完全包住，不将纸撕开，所需纸的最小
19、面积为821如图所示，在四棱锥PABCD中，BC平面PAD，BCAD，E是PD的中点（）求证：BCAD；（）求证：CE平面PAB；（）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN平面PAB？说明理由【分析】（）根据线面平行的性质定理即可证明；（）取PA的中点F，连接EF，BF，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明；（）取AD中点N，连接CN，EN，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明【解答】证明：（）在四棱锥PABCD中，BC平面PAD，BC平面ABCD，平面ABCD平面PADAD，BCAD，（）取PA的中点F，连接EF，BF，E是PD的中点，EFAD，EFAD，又由（）可得BCAD，BCAD，BCEF，BCEF，四边形BCEF是平行四边形，CEBF，CE平面PAB，BF平面PAB，CE平面PAB（）取AD中点N，连接CN，EN，E，N分别为PD，AD的中点，ENPA，EN平面PAB，PA平面PAB，EN平面PAB，又由（）可得CE平面PAB，CEENE，平面CEN平面PAB，M是CE上的动点，AN平面CEN，MN平面PAB，线段AD存在点N，使得MN平面PAB
