1、2019-2020学年北京市通州区高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1复数2+i的共轭复数是（）A2+iB2+iC2iD2i2在下列各组向量中，互相垂直的是（）A（1，2），（2，1）B（0，1），（1，2）C（3，5），（6，10）D（2，3），（，）3在ABC中，B60，b2ac，则cosA（）A0BCD4甲、乙、丙三人各自拥有一把钥匙，这三把钥匙混在了一起，他们每人从中无放回地任取一把，则甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率是（）ABCD5将一个容量为1000的样本分成若干组，已知某组的频率为0.4，则该组的频数是（）A4B40C250D4006若样本数据x1，x2，x
2、10标准差为8，则数据2x11，2x21，2x101的标准差为（）A8B16C32D647用6根火柴最多可以组成（）A2个等边三角形B3等边三角形C4个等边三角形D5个等边三角形8已知直线a平面，直线b平面，则“直线m”是“ma，且mb”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件9关于两个互相垂直的平面，给出下面四个命题：一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的无数条直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一平面；在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题的个数是（）A0
3、B1C2D310如图，在正方体ABCDA1B1C1D中，点E，F分别是棱C1D1，A1D1上的动点给出下面四个命题：若直线AF与直线CE共面，则直线AF与直线CE相交；若直线AF与直线CE相交，则交点一定在直线DD1上；若直线AF与直线CE相交，则直线DD1与平面ACE所成角的正切值最大为；直线AF与直线CE所成角的最大值是其中，所有正确命题的序号是（）ABCD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11若空间中两直线a与b没有公共点，则a与b的位置关系是 12棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是 13已知23名男生的平均身高是170.6cm，27名女生的平均身高是160
4、.6cm，则这50名学生的平均身高为 14样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，该组数据的第50百分位数是 ，第75百分位数是 15为了考察某校各班参加书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据由小到大依次为 三、解答题：本大题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16已知（2，0），|1（）若与同向，求；（）若与的夹角为120，求+17在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a13，c15（）sinC能否成立？请说明理
5、由；（）若A，求b18某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动，从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照0，20，（20，40，（40，60，（60，80，（80，100分组，绘成频率分布直方图（如图）（）求x的值；（）分别求出抽取的20人中得分落在组0，20和（20，40内的人数；（）估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和众数19某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了跳绳、踢毽两项健身活动，为了了解学生的运动状况，采用样本按比例分配的分层随机抽样方法，从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试，如表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）学生编号12345跳绳
6、个数179181170177183踢毽个数8276797380（）求高一、高二两个年级各有多少人？（）从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过75的概率；（）高二年级学生的两项运动的成绩哪项更稳定？20如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ADE平面ABCD，（）求证：CD平面ABFE；（）求证：平面ABFE平面CDEF；（）在线段CD上是否存在点N，使得FN平面ABFE？说明理由21在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的动点，将AED，DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A1（）若点E，F分别
7、是AB，BC的中点（如图），求证：A1DEF；求三棱锥A1EDF的体积；（）设BEx，BFy，当x，y满足什么关系时，A，C两点才能重合于点A1？参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1复数2+i的共轭复数是（）A2+iB2+iC2iD2i【分析】直接利用共轭复数的概念得答案解：复数2+i的共轭复数是2i故选：C2在下列各组向量中，互相垂直的是（）A（1，2），（2，1）B（0，1），（1，2）C（3，5），（6，10）D（2，3），（，）【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，得出结论解：由两个向量垂直
8、的性质，可得，两个向量、垂直，即满足 0，对于选项A，12+210，满足条件；对于选项B，01+1（2）2，不满足条件；对于选项C，36+51068，不满足条件；对于选项D，2+（3）（），不满足条件；故选：A3在ABC中，B60，b2ac，则cosA（）A0BCD【分析】由余弦定理且B60得b2a2+c2ac，再由b2ac，得a2+c2acac，得ac，得ABC60，可求cosA的值解：由余弦定理得：b2a2+c22accosBa2+c2ac，又b2ac，a2+c2acac，（ac）20，ac，ABC60，cosA故选：B4甲、乙、丙三人各自拥有一把钥匙，这三把钥匙混在了一起，他们每人从中无
9、放回地任取一把，则甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率是（）ABCD【分析】基本事件总数n6，甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙包含的基本事件个数2，由此能求出甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率解：甲、乙、丙三人各自拥有一把钥匙，这三把钥匙混在了一起，他们每人从中无放回地任取一把，基本事件总数n6，甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙包含的基本事件个数2，则甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率p故选：B5将一个容量为1000的样本分成若干组，已知某组的频率为0.4，则该组的频数是（）A4B40C250D400【分析】利用频率的定义求解解：一个容量为1000的样本分成若干组，某组的频率为0.4
10、，该组的频数为：10000.4400故选：D6若样本数据x1，x2，x10标准差为8，则数据2x11，2x21，2x101的标准差为（）A8B16C32D64【分析】由已知结合方差的性质即可直接求解解：由方差的性质可知，D（ax+b）a2D（x），因为样本数据x1，x2，x10标准差为8，即方差为64，则数据2x11，2x21，2x101的方差为4，4256，即标准差为16故选：B7用6根火柴最多可以组成（）A2个等边三角形B3等边三角形C4个等边三角形D5个等边三角形【分析】用6根火柴，要使搭的个数最多，就要搭成立体图形，即三棱锥解：要使搭的个数最多，就要搭成三棱锥，这时最多可以搭4个一样的
11、三角形图形如下：故选：C8已知直线a平面，直线b平面，则“直线m”是“ma，且mb”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据线面垂直的性质及判定以及充分必要条件判断即可解：直线a平面，直线b平面，则“直线m”能推出“ma，且mb”，是充分条件，反之“ma，且mb”，则“直线m或m，不是必要条件，故选：A9关于两个互相垂直的平面，给出下面四个命题：一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的无数条直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一平面；在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于
12、另一个平面其中正确命题的个数是（）A0B1C2D3【分析】根据面面垂直的定义，线面垂直的定义，面面垂直的性质定理判断每个命题的真假即可解：如果两个平面垂直，两平面内的直线并不都相互垂直，从而判断命题不正确；如果两个平面垂直，另一个平面内，必有无数条直线和这个平面垂直，从而判断命题正确；如果两个平面垂直，当其中一个平面内的一条直线平行于两个平面的交线时，这条直线与另一个平面平行，所以并不是平面内的所有直线都和另一个平面垂直，从而判断命题不正确；根据面面垂直的性质定理可判断命题正确，正确的命题个数为2故选：C10如图，在正方体ABCDA1B1C1D中，点E，F分别是棱C1D1，A1D1上的动点给出
13、下面四个命题：若直线AF与直线CE共面，则直线AF与直线CE相交；若直线AF与直线CE相交，则交点一定在直线DD1上；若直线AF与直线CE相交，则直线DD1与平面ACE所成角的正切值最大为；直线AF与直线CE所成角的最大值是其中，所有正确命题的序号是（）ABCD【分析】利用平面的性质，以及直线与平面所成角，判断选项的正误即可解：在正方体ABCDA1B1C1D中，点E，F分别是棱C1D1，A1D1上的动点如果点E在C1，F在A1时满足直线AF与直线CE共面，若直线AF与直线CE是平行线，可得直线AF与直线CE共面，则直线AF与直线CE不一定相交，不正确；因为空间3个平面两两相交有3条交线，要么互
14、相平行，要么相交与一点，因为直线AF与直线CE相交，所以则交点一定在直线DD1上，所以正确；若直线AF与直线CE相交，则直线DD1与平面ACE所成角的正切值最大值，应该是E，F与D1重合，此时直线DD1与平面ACE所成角的正切值最大为，所以正确；直线AF与直线CE所成角的最大值就是E，F与D1重合时取得，夹角是，所以正确；故选：D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11若空间中两直线a与b没有公共点，则a与b的位置关系是平行或异面【分析】可考虑无公共点的两直线a，b是否在同一个平面内，可得a，b的位置关系解：空间中两直线a与b没有公共点，若a，b在同一个平面内，则a，b为平行直线；
15、若a，b不同在任何一个平面内，则a，b为异面直线故答案为：平行或异面12棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是【分析】取BC中点E，连结AE、ED，可得AED是二面角的平面角，再由余弦定理求解解：如图，三棱锥ABCD的棱长都相等，取BC中点E，连结AE、ED，三棱锥ABCD各棱长均相等，AEBC，EDBC，AED是二面角ABCD的平面角，设棱长AB2，则AEED，cosAED即棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是故答案为：13已知23名男生的平均身高是170.6cm，27名女生的平均身高是160.6cm，则这50名学生的平均身高为165.2cm【分析】由已知结合已知数
16、据直接可求解：由题意可知，165.2cm，故答案为：165.214样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，该组数据的第50百分位数是5，第75百分位数是7【分析】先把样本数据从小到大排列，由1050%5，得到该组数据的第50百分位数第5个数与第6个数的平均数；由1075%7.5，得到第75百分位数第8个数解：样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，从小到大排列为：0，1，2，3，4，6，6，7，8，9，1050%5，该组数据的第50百分位数是，1075%7.5，第75百分位数是7故答案为：5，715为了考察某校各班参加书法
17、小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据由小到大依次为4，6，7，8，10【分析】由已知结合平均数及方差公式，分析数据特点即可求解解：设5个数据分别为a，b，c，d，e，由题意可得，a+b+c+d+e35，（a7）2+（b7）2+（c7）2+（d7）2+（e7）220，由于5个数的平方和为20，则必为0+1+1+9+920，由|x7|3可得x10或4，由|x7|1可得x8或6，故样本数据为4，6，7，8，10故答案为：4，6，7，8，10三、解答题：本大题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演
18、算步骤或证明过程16已知（2，0），|1（）若与同向，求；（）若与的夹角为120，求+【分析】（I）由已知根据向量共线定理即可求解；（II）由已知结合向量数量积的定义及数量积的坐标表示即可求解解：（I）设（x，y），由题意可得，存在实数0，使得，即（x，y）（2，0）（2，0），所以x2，y0，由|1可得421，即或（舍），所以（1，0），（II）设（x，y），所以|cos12021，又因为（2，0）（x，y）2x，故2x1即x，因为|1，所以x2+y21，故y，当y，x时，+（），当y，x时，+（）17在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a13，c15（）sinC能否成
19、立？请说明理由；（）若A，求b【分析】（）利用反证法，结合三角形的性质即可判断；（）根据余弦定理即可求出解：（）sinC不成立，sinC，C，ac，AC，B，这与ABC为锐角三角形矛盾，（）A，由余弦定理可得a2b2+c22bccosA169b2+225215b，整理可得b215b+560解得b8，或b7，当b7时，cosC0，C为钝角，与题意不符合，b818某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动，从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照0，20，（20，40，（40，60，（60，80，（80，100分组，绘成频率分布直方图（如图）（）求x的值；（）分别求出抽取的20人中得分落在组0，20
20、和（20，40内的人数；（）估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和众数【分析】（）由频率分布直方图的性质能求出x（）由频率分布直方图的性质能求出得分落在0，20内的人数和得分落在（20，40内的人数（）由频率分布直方图的性质得能估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和所有参赛选手得分的众数解：（）由频率分布直方图的性质得：（0.0050+0.0075+0.0125+0.0150）201，解得x0.0100（）由频率分布直方图能求出：得分落在0，20内的人数为：200.0050202，得分落在（20，40内的人数为：200.0075203（）估计所有参赛选手得分的平均数为：0.00502010+0
21、.00752030+0.01502050+0.01252070+0.0100209056设所有的参赛选手得分的中位数为a，则0.005020+0.007520+0.0150（a40）0.5，解得a56.67所有参赛选手得分的众数近似为：5019某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了跳绳、踢毽两项健身活动，为了了解学生的运动状况，采用样本按比例分配的分层随机抽样方法，从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试，如表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）学生编号12345跳绳个数179181170177183踢毽个数8276797380（）求高一、高二两个年级各有
22、多少人？（）从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过75的概率；（）高二年级学生的两项运动的成绩哪项更稳定？【分析】（）直接利用抽样关系式的应用求出结果（）利用古典概型的应用求出结果（）利用平均值和方差的关系式的应用求出结果解：（）高一年级的学生人数为336高二年级的学生人数为（）设“该学生每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过75”为事件A，由表中的数据可知：高二年级选出的5名学生中每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过75的共有3人，所以从5人中任选一人，事件A发生的概率为，由此估计从高二年级的学生中任选一人，事件A发生的概率为（）由表中的数据可以估计
23、：高二年级的学生每分钟跳绳的个数的平均数为高二年级的学生每分钟跳绳的个数的方差为20高二年级的学生每分钟踢毽的个数的平均数为高二年级的学生每分钟踢毽的个数的方差为，由于，所以高二年级学生的踢毽的成绩更稳定20如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ADE平面ABCD，（）求证：CD平面ABFE；（）求证：平面ABFE平面CDEF；（）在线段CD上是否存在点N，使得FN平面ABFE？说明理由【分析】（） 推导出ABCD由此能证明CD平面ABFE（） 推导出AEDE，ABAD，从而AB平面ADE，进而 ABDE，由此能证明DE平面ABFE，从而平面ABFE平面CDEF（
24、）取CD的中点N，连接FN，推导出四边形EDNF是平行四边形，从而FNDE，由DE平面ABFE，能证明FN平面ABFE【解答】（本小题满分14分）证明：（） 在五面体ABCDEF中，因为四边形ABCD是正方形，所以ABCD因为CD平面ABFE，AB平面ABFE，所以CD平面ABFE（） 因为，AD2，所以AE2+DE2AD2，所以AED90，即AEDE因为四边形ABCD是正方形，所以ABAD因为平面ADE平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面ADE因为DE平面ADE，所以 ABDE因为ABAEA，所以DE平面ABFE因为DE平面CDEF，所以平面ABFE平面C
25、DEF（）在线段CD上存在点N，使得FN平面ABFE证明如下：取CD的中点N，连接FN由（）知，CD&平面ABFE，又CD平面CDEF，平面ABFE平面CDEFEF，所以CDEF因为，所以EFDN所以四边形EDNF是平行四边形所以FNDE由（）知，DE平面ABFE，所以FN平面ABFE21在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的动点，将AED，DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A1（）若点E，F分别是AB，BC的中点（如图），求证：A1DEF；求三棱锥A1EDF的体积；（）设BEx，BFy，当x，y满足什么关系时，A，C两点才能重合于点A1？【分析】（）运用线面
26、垂直的判定和性质，先证A1D平面A1EF，即可得证；判断FA1E为直角三角形，求得面积，再判断A1D为棱锥的高，运用棱锥的体积公式，计算可得所求值；（）分别讨论：（1）当E，F不是端点，即0x2，0y2时，A，C两点重合于A1，A1，E，F有且只有共线和不共线两种情况分别讨论，可得x，y的关系式；（2）当E，F中有一个与B重合时，另一个也与B重合，可得xy0解：（）证明：由题意可得A1DA1F，A1DA1E，又A1F平面A1EF，A1E平面A1EF，A1FA1EA1，所以A1D平面A1EF，因为EF平面A1EF，所以A1DEF；由已知可得A1EA1F1，EF，A1E2+A1F2EF2，所以FA
27、1E90，所以FA1E的面积为S11，由A1D平面A1EF，又A1D2，所以三棱锥A1EDF的体积VSA1D2；（）（1）当E，F不是端点，即0x2，0y2时，A，C两点重合于A1，A1，E，F有且只有共线和不共线两种情况若点A1，E，F共线，则AE+CFEF；若A1，E，F不共线，则AE+CFEF，且|AECF|EF，由|AECF|EF，可得|（2x）（2y）|（0x2，0y2），从而xy0，这在取值范围内恒成立所以只需考虑AE+CFEF，可得（2x）+（2y）（0x2，0y2），即4（x+y），两边平方可得168（x+y）+（x+y）2x2+y2，即168（x+y）+2xy0，即y（x4）4（x2），即y4+（2）当E，F中有一个与B重合时，另一个也与B重合，此时xy0，而根据题意，E不能与A重合，F也不能与C重合综上可得，当x，y满足y4+（0x2，0y2），或xy0时，A，C两点才能重合于点A1
