1、2020-2021学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1i是虚数单位，复数z1i在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A“第一枚出现奇数点”，事件B“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系是（）A互斥B互为对立C相互独立D相等3已知向量，则（）A与同向B与反向CD4袋中装有大小质地完全相同的5个球，其中2个红球，3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球颜色不同的概率是（）ABCD5已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，（）A若mn，n，则mB若n，m，nm，则C若，
2、m，则mD若m，n，m，n，则6如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值是（）A0BCD7若满足ACB30，BC2的ABC有且只有一个，则边AB的取值范围是（）A1，2）B12，+）C（2，+）D2，+）8已知向量，满足，则在上的投影向量的模长为（）ABCD二、多项选择题（共4小题，每小题3分，共12分）9已知i是虚数单位，复数z（1i）i，则（）Az的实部为1Bz的共轭复数是1iC|z|2Dz22i10如图是甲、乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图，（）A若甲、乙射击成绩的平均数分别为，则B若甲、乙射击成绩的方差分别为s12，s22，则s12
3、s22C乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数D乙比甲的射击成绩稳定11在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是线段B1C上动点，F是BD1的中点，则（）AAP平面A1DC1BAPBD1C直线BB1与平面BPD1所成角可以是D1BB1D二面角C1BD1C的平面角是C1FC12在ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，且BC6，AD2，则（）AABC面积最大值是12BC不可能是5D三、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）13已知一组数据：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则该组数据的众数是 14已知向量，满足，且，则与夹角的余弦值是 15已知某运动员每次投篮命中的
4、概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生0999之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中如图，在R软件的控制平台，输入“sample（0：999，20，replaceF）”，按回车键，得到0999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 16已知四面体ABCD的所有棱长均为4，点O满足OAOBOCOD，则以O为球心，为半径的球与四面体ABCD表面所得交线总长度为 四、解答题（共6小题，
5、共52分）17已知向量，（）若m0，求；（）若，求实数m的值18如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3，（）求长方体的表面积；（）若E是棱AA1的中点，求四棱锥EBB1C1C的体积19甲、乙两位射手对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为（）求甲两次都没有击中目标的概率；（）在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率20用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：40，
6、50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，绘制得到如图所示的频率分布直方图（）估计男生成绩样本数据的第80百分位数；（）在区间40，50）和90，100内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进行调查，求调查对象来自不同分组的概率；（）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差21在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ca2bcosA，b3（）求B的大小；（）若，求ABC的面积；（）求的最大值22如图，四棱台ABCDEFGH的底面是矩形，EHDH1，
7、AD2，AB4，ADDH（）证明：BC平面DCG；（）设平面DBG与平面ADHE的交线为l，求直线l与平面BCG所成角的正弦值的取值范围参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1i是虚数单位，复数z1i在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：复数z1i在复平面上对应的点的坐标为（1，1），位于第四象限故选：D2抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A“第一枚出现奇数点”，事件B“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系是（）A互斥B互为对立C相互独立D相等解：由题可知，抛掷两枚质地均匀的骰子，第一枚和第二枚出现点数的分类情况如下，（奇数，奇数），（奇数，偶数），
8、（偶数，奇数），（偶数，偶数），事件A“第一枚出现奇数点”，事件B“第二枚出现偶数点”，两个事件不相等，排除D，AB，所以不是互斥事件，排除A，B，C选项，事件A“第一枚出现奇数点”，P（A），事件B“第二枚出现偶数点”，P（B），事件AB“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”，P（AB），满足P（AB）P（A）P（B），所以事件A和事件B是相互独立事件，故选：C3已知向量，则（）A与同向B与反向CD解：向量，2，与 同向，故选：A4袋中装有大小质地完全相同的5个球，其中2个红球，3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球颜色不同的概率是（）ABCD解：设摸出的2个球颜色不同为事
9、件A，基本事件总数n5525，事件A包含的基本事件数为12，p（A），故选：D5已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，（）A若mn，n，则mB若n，m，nm，则C若，m，则mD若m，n，m，n，则解：m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，对于A，若mn，n，则m或m，故A错误；对于B，若n，m，nm，则与相交或平行，故B错误；对于C，若，m，则由面面垂直的性质、线面垂直的判断定理得m，故C正确；对于D，若m，n，m，n，则与相交或平行，故D错误故选：C6如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值是（）A0BCD解：由题意可知正三棱柱AB
10、CA1B1C1中，所有棱长相等，设棱长为1，则cos，异面直线AC1与A1B所成角的余弦值故选：B7若满足ACB30，BC2的ABC有且只有一个，则边AB的取值范围是（）A1，2）B12，+）C（2，+）D2，+）解：满足ACB30，BC2的ABC有且只有一个，如图，ABAC，或AB2，AB1或AB2，边AB的取值范围是12，+）故选：B8已知向量，满足，则在上的投影向量的模长为（）ABCD解：因为|+|，所以|+|2（|）2，所以2+2+22（22+2），所以26+20，所以16+220，所以，所以（）212，所以|222+212+22，所以在上的投影向量为，故选：A二、多项选择题（本大题共
11、4小题，每小题3分，共12分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）9已知i是虚数单位，复数z（1i）i，则（）Az的实部为1Bz的共轭复数是1iC|z|2Dz22i解：因为z（1i）i1+i，所以z的实部为1，故A错误，z的共轭复数为1i，故B正确，|z|，故C错误，z2（1+i）22i，故D正确，故选：BD10如图是甲、乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图，（）A若甲、乙射击成绩的平均数分别为，则B若甲、乙射击成绩的方差分别为s12，s22，则s12s22C乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数D乙比甲的射击成绩稳定解：甲射击测试中6
12、次命中环数为：6，7，8，9，9，10，乙射击测试中6次命中环数为：5，5，6，7，7，7，甲、乙射击成绩的平均数分别为，甲、乙射击成绩的方差分别为s12，s22，则，所以，故选项A错误；由折线图可以看出，乙的射击成绩比甲的射击成绩波动较小，所以s12s22，乙比甲的射击成绩稳定，故选项错误，选项D正确；甲射击成绩的中位数为，乙射击成绩的中位数为6.5，故选项C正确故选：CD11在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是线段B1C上动点，F是BD1的中点，则（）AAP平面A1DC1BAPBD1C直线BB1与平面BPD1所成角可以是D1BB1D二面角C1BD1C的平面角是C1FC解：以点D为坐标原
13、点建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为1，则D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，1，1），A1（1，0，1），C1（0，1，1），对于A，设P（a，1，a），则，设平面A1DC1的法向量为，则，即，令x1，则y1，z1，故，则，又AP平面A1DC1，所以AP/平面A1DC1，故选项A正确；对于B，因为B（1，1，0），D1（0，0，1），所以，所以，则APBD1，故选项B正确；对于C，当点P为B1C的中点时，直线BB1与平面BPD1所成的角可以是D1BB1，故选项C正确；对于D，因为F为BD1的中点，所以C1FBD1，但CF不垂直于BD1，此时二面C1BD1C
14、的平面角不可以是C1FC，故选项D错误故选：ABC12在ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，且BC6，AD2，则（）AABC面积最大值是12BC不可能是5D解：设ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于A，当ADBC时不等式等号成立，所以ABC面积最大值为6，故A错误；对于B，在ABD中，当时，不等式等号成立，故B正确；对于C，因为，所以，解得，因为，所以，故可能是5，故C错误；对于，所以，又，所以故选：BD三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13已知一组数据：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则该组数据的众数是 17解：该组数据从小到
15、大排列为：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，这组数据出现次数最多的是17，所以众数是17故答案为：1714已知向量，满足，且，则与夹角的余弦值是 解：向量，满足，且，（）230，cos与夹角的余弦值为故答案为：15已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生0999之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中如图，在R软件的控制平台，输入“sample（0：999，20，repla
16、ceF）”，按回车键，得到0999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 解：在20个不重复的整数随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数有：633，309，16，543，247，62，共6个，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：P故答案为：16已知四面体ABCD的所有棱长均为4，点O满足OAOBOCOD，则以O为球心，为半径的球与四面体ABCD表面所得交线总长度为 解：正四面体ABCD的中心与球心O重合，正四面体的棱长为4，取CD中点E，连结BE，AE，过A作AF底面BCD，交BE于F，则BE4sin602，BF，AF，又（AF
17、OF）2OF2+BF2，OF，由球的半径知球被平面截得小圆半径为r而ABC的内切圆半径为，故球被正四面体一个平面截曲线为圆弧，正四面体表面与球面的交线的总长度为：42故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共52分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知向量，（）若m0，求；（）若，求实数m的值解：（）因为m0，所以（1，1），所以11+132（）因为，所以，所以m2+1625，所以m318如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3，（）求长方体的表面积；（）若E是棱AA1的中点，求四棱锥EBB1C1C的体积解：（）因为ABAD3，AC1，又AC1，所以AA14，所以，长方体的
18、表面积为S2（33+34+34）66（）因为AA1平面BB1C1C，E是棱AA1的中点，所以点E到平面BB1C1C的距离等于A到平面BB1C1C的距离，所以四棱锥EBB1C1C的体积为VAB3431219甲、乙两位射手对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为（）求甲两次都没有击中目标的概率；（）在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率解：（）设甲两次都没有击中目标为事件A，则p（A）（1）（1）（）设甲、乙恰好各击中一次目标为事件B，甲恰好击中一次目标的概率为（1），乙恰好击中一次目标的概率为（1），甲、乙恰好各击中一次目标
19、的概率为p（B）20用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，绘制得到如图所示的频率分布直方图（）估计男生成绩样本数据的第80百分位数；（）在区间40，50）和90，100内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进行调查，求调查对象来自不同分组的概率；（）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119
20、，求总样本的平均数和方差解：（）由频率分布直方图可知，在40，80）内的成绩占比为70%，在40，90）内的成绩占比为95%，因此第80百分位数一定位于80，90）内因为80+1084，所以估计男生成绩样本数据的第80百分位数约是84（）在区间40，50）和90，100内的男生成绩样本数据分别有4个和2个，则在这6个数据中随机抽取两个的样本空间包含的样本点个数为n（）5+4+3+2+115记事件A“调查对象来自不同分组”，则事件A包含的样本点个数为n（A）428，所以P（A）（）设男生成绩样本数据为x1，x2，x40，其平均数为71，方差为187.75；女生成绩样本数据为y1，y2，y60，其
21、平均数为73.5，方差为119；总样本的平均数为，方差为s2由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，得+72.5因为s2（xi）+（yj）（xi+）+（yj+），又2（xi）（）2（）（xi）2（）（xi40）0，同理2（yj）（）0，所以s2（xi）+（）+（yj）+（）40+（）+60+（）40187.75+（7172.5）+60119+（73.572.5）148所以总样本的平均数和方差分别为72.5和14821在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ca2bcosA，b3（）求B的大小；（）若，求ABC的面积；（）求的最大值解：（）因为2ca2bcosA
22、，又，所以2sinCsinA2sinBcosA，所以2sin（A+B）sinA2sinBcos，所以2sinAcosBsinA0，因为A（0，），sinA0，所以cosB，可得B（）因为b2a2+c2ac，所以c2c60，所以c2，所以ABC的面积为SacsinB（）由a2+c2ac9，得（a+c）29+3ac，因为ac，所以（a+c）29+（a+c）2，所以3a+c6（当且仅当ac3时取等号）设ta+c，则t（3，6，所以，设f（t）（t），则f（t）在区间（3，6上单调递增，所以f（t）的最大值为f（6），所以，的最大值为22如图，四棱台ABCDEFGH的底面是矩形，EHDH1，AD2，A
23、B4，ADDH（）证明：BC平面DCG；（）设平面DBG与平面ADHE的交线为l，求直线l与平面BCG所成角的正弦值的取值范围【解答】（）证明：底面ABCD是矩形，ADDC，又ADDH，且DCDHD，AD平面DCG，又ADBC，BC平面DCG；（）解：在四棱台ABCDEFGH中，延长AE，BF，CG，DH交于SGHAB，GHAB，直线BG，AH相交，设交点为P，连结DP，SPPAH，AH平面ADHE，又PBG，BG平面DBG，且平面ADHE平面DBGl，Pl，又Dl，平面ADHE平面DBGDP过点D作DMSC，垂足为M，连结PMBC平面DCG，BC平面BCG，平面BCG平面DCG，又平面BCG平面DCGSC，DM平面BCG，则直线l与平面BCG所成的角为MPD当M与S重合时，DMSD2；当M与S不重合时，在RtDMS中，0DMSD0DM2，又DPSA2，在RtMPD中，有sin（0，直线l与平面BCG所成角的正弦值的取值范围是（0，
