1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第二单元 函数的概念及其性质 教材复习课 “ 函数 ” 相关基础知识一课过 函数的基本概念 过双基 1 函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A， B 设 A， B 是 非空的数集 设 A， B 是 非空的集合 对应关系 f：A B 如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的 任意 一个数 x，在集合 B 中都有 唯一确定 的数 f(x)与之对应 如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的 任意 一个元素x，在集合 B 中都有 唯一确定 的元素 y 与之对应 名称 称 f： A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 称对应 f： A B
2、 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 记法 y f(x)， x A 对应 f： A B 2函数的定义域、值域 (1)在函数 y f(x)， x A 中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的 定义域 ；与 x的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)|x A叫做函数的 值域 (2)函数的三要素是： 定义域 、 值域 和对应关系 3表示函数的常用方法 列表法 、 图象法 和解析法 4分段函数 在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的 对应关系 ，这种函数称为分段函数 分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的 并集 ，值 域是各段值域的 并集
3、 小题速通 1若函数 y f(x)的定义域为 M x| 2 x2 ，值域为 N y|0 y2 ，则函数 y f(x)的图象可能是 ( ) 答案： B =【 ;精品教育资源文库 】 = 2下列函数中，与函数 y x 相同的函数是 ( ) A y x2x B y (3 x2)32 C y lg 10x D y 2log2x 解析：选 C A y x2x x(x0) 与 y x 的定义域不同，故不是相 同的函数； B y (3 x2)32 |x|与 y x 的对应关系不相同，故不是相同的函数； C y lg 10x x 与 y x 的定义域、值域与对应关系均相同，故是相同的函数； D y 2log2
4、x 与 y x 的对应关系不相同，故不是相同的函数 3已知函数 f(x)? log12x， x1，2 16x， x1 ，则 f? ?f? ?14 ( ) A 2 B 4 C 2 D 1 解析：选 A 因为函数 f(x)? log12x， x1，2 16x， x1 ，所以 f? ?14 2 1614 4， 则 f? ?f? ?14 f(4) log124 2. 4已知 f? ?12x 1 2x 5，且 f(a) 6，则 a 等于 ( ) A.74 B 74 C.43 D 43 解析：选 A 令 t 12x 1，则 x 2t 2， f(t) 2(2t 2) 5 4t 1，则 4a 1 6，解得 a
5、 74. 清 易错 1解决函数有关问题时，易忽视 “ 定义域优先 ” 的原则 2易混 “ 函数 ” 与 “ 映射 ” 的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从 A 到B 的一个映射， A， B 若不是数集，则这个映射便不是函数 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1 (2018 合肥八中模拟 )已知函数 f(x) 2x 1(1 x3) ，则 ( ) A f(x 1) 2x 2(0 x2) B f(x 1) 2x 1(2 x4) C f(x 1) 2x 2(0 x2) D f(x 1) 2x 1(2 x4) 解析：选 B 因为 f(x) 2x 1，所以 f(x 1) 2x 1.因为函数 f(
6、x)的定义域为 1,3，所以 1 x 13 ，即 2 x4 ，故 f(x 1) 2x 1(2 x4) 2下列对应关系： A 1,4,9， B 3， 2， 1,1,2,3， f： x x 的平方根； A R， B R， f： x x 的倒数； A R， B R， f： x x2 2； A 1,0,1， B 1,0,1， f： A 中的数平方 其中是 A 到 B 的映射的是 ( ) A B C D 解析：选 C 由映射的概念知 中集合 B 中有两个元素对应， 中集合 A 中的 0 元素在集 合 B 中没有对应， 是映射故选 C. 函数定义域的求法 过双基 函数 y f(x)的定义域 小题速通 1.
7、函数 f(x) 1 |x 1|ax 1 (a 0 且 a1) 的定义域为 _ 解析：由? 1 |x 1|0 ，ax 10 ? 0 x2 ，x0 ?0 x2 ， 故所求函数的定义域为 (0,2 答案： (0,2 2函数 y lg(1 2x) x 3的定义域为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：由题意可知? 1 2x0，x 30 ， 求解可得 3 x0，得 t1 或 t1，即 f(x) lgx 3x 1的定义域为 (1， ) 答案： (1， ) 2已知函数 f(x)的定义域为 0,2，则函数 g(x) f(2x) 8 2x的定义域为 _ 解析：因为函数 f(x)的定义域为 0,2， 所以
8、对于函数 f(2x)， 02 x2 ，即 0 x1 ， 又因为 8 2x0 ，所以 x3 ， 所以函数 g(x) f(2x) 8 2x的定义域为 0,1 答案： 0,1 函数的单调性与最值 过双基 1 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1， x2 当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是 下降的 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)单调区间的定义 如果函数 y f(x)在区间 D 上是 增函数
9、 或 减函数 ，那么就说函数 y f(x)在这一区间具有 (严格的 )单调性，区间 D 叫做函数 y f(x)的单调区间 2函数的最值 前提 设函数 y f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 条件 (1)对于任意的 x I，都有 f(x) M； (2)存在 x0 I，使得 f(x0) M (3)对于任意的 x I，都有 f(x) M； (4)存在 x0 I，使得 f(x0) M 结论 M 为最大值 M 为最小值 小题速通 1 (2018 珠海摸底 )下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是 ( ) A y 2 x B y x C y log2x D y 1x 解析：选 B 由题知，只
10、有 y 2 x与 y x 的定义域为 R，且只有 y x 在 R 上是增函数 2函数 f(x) |x 2|x 的单调减区间是 ( ) A 1,2 B 1,0 C 0,2 D 2， ) 解析：选 A 由于 f(x) |x 2|x? x2 2x， x2 ， x2 2x， xf(1) C f(m) f(1) D f(m)与 f(1)大小不能确定 解析：选 A 由题意可知 3 m m2 m 0， 所以 m 3 或 m 1， 又因为函数 f(x) x2 m是定义在区间 3 m， m2 m上的奇函数， 所以 2 m 是奇数，且 2 m0， 所以 m 1，则 f(x) x3，定义域为 2,2且在 2,2上是
11、增函数， 所以 f(m)0，log2 x ， x0 时， x0， f( x) log2( x) f(x) 故 f( x) f(x)， f(x)为偶函数 答案：偶函数 =【 ;精品教育资源文库 】 = 函数的周期性 过双基 1 周期函数 对于函数 y f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有f(x T) f(x)，那么就称函数 y f(x)为 周期函数，称 T 为这个函数的周期 2最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数，那么这个 最小正数 就叫作 f(x)的最小正周期 3重要结论 周期函数的定义式 f(x T) f(x)对定义域内
12、的 x 是恒成立的，若 f(x a) f(x b)，则函数 f(x)的周期为 T |a b|. 若在定义域内满足 f(x a) f(x)， f(x a) 1f x ， f(x a) 1f x (a0)则f(x)为周期函数，且 T 2a 为它的一个周期 4对称性与周期的 关系 (1)若函数 f(x)的图象关于直线 x a 和直线 x b 对称，则函数 f(x)必为周期函数， 2|a b|是它的一个周期 (2)若函数 f(x)的图象关于点 (a,0)和点 (b,0)对称，则函数 f(x)必为周期函数， 2|ab|是它的一个周期 (3)若函数 f(x)的图象关于点 (a,0)和直线 x b 对称，则
13、函数 f(x)必为周期函数， 4|a b|是它的一个周期 小题速通 1已知函数 f(x)? sin x4 ， x0，f x ， x0 ，则 f( 5)的值为 ( ) A 0 B. 22 C 1 D. 2 解析：选 B 由 f(x)? sin x4 ， x0，f x ， x0 ，可得 f( 5) f(1) sin 4 22 . 2已知定义在 R上的函数 f(x)满足 f( x) f(x)， f(x 1) f(1 x)，且当 x 0,1时， f(x) log2(x 1)，则 f(31) ( ) A 0 B 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 1 D 2 解析：选 C 由 f( x) f(x)
14、可得函数 f(x)是奇函数，所以 f(x 1) f(1 x)f(x 1) 令 x 1 t，则 x t 1，所以 f(t 2) f(t)， 则 f(t 4) f(t 2) f(t)， 即函数 f(x)的最小正周期为 4. 又因为当 x 0,1时， f(x) log2(x 1)， 所以 f(31) f(31 48) f(1) log2(1 1) 1. 3 (2018 晋中模拟 )已知 f(x)是 R 上的奇函数， f(1) 2，且对任意 x R 都有 f(x6) f(x) f(3)成立，则 f(2 017) _. 解析： f(x)是 R 上的奇函数， f(0) 0，又对任意 x R 都有 f(x
15、6) f(x) f(3)， 当 x 3 时， 有 f(3) f( 3) f(3) 0， f( 3) 0， f(3) 0， f(x 6) f(x)，周期为 6. 故 f(2 017) f(1) 2. 答案： 2 清易错 在利用周期性定义求解问题时，易忽视定义式 f x T f x T 的使用而致误 . 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并且 f(x 2) 1f x ，当 2 x3 时， f(x) x，则 f(105.5) _. 解析：由已知，可得 f(x 4) f(x 2) 2 1f x 1 1f x f(x) 故函数 f(x)的周期为 4. f(105.5) f(427 2.5) f( 2.5) f(2.5) 22.53 ， f(2.5) 2.5. f(105.5) 2.5. 答案： 2.5
