1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第四单元 导数及其应用 教材复习课 “ 导数 ” 相关基础知识一课过 导数的基本运算 过双基 1 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x) c(c 为常数 ) f( x) 0 f(x) xn(n Q*) f( x) nxn 1 f(x) sin x f( x) cos_x f(x) cos x f( x) sin_x f(x) ax f( x) axln_a f(x) ex f( x) ex f(x) logax(a0， 且 a1) f( x) 1xln a f(x) ln x f( x) 1x 2导数的运算法则 (1)f(x) g(x) f( x)
2、g( x)； (2)f(x) g(x) f( x)g(x) f(x)g( x)； (3)? ?f xg x f x g x f x g xg x 2 (g(x)0) 小题速通 1下列求导运算正确的是 ( ) A.? ?x 1x 1 1x2 B (log2x) 1xln 2 C (3x) 3xlog3e D (x2cos x) 2sin x 解析：选 B ? ?x 1x 1 1x2； (log2x) 1xln 2； (3x) 3xln 3； (x2cos x) 2xcos x x2sin x，故选 B. 2函数 f(x) (x 2a)(x a)2的导数为 ( ) A 2(x2 a2) B 2(x
3、2 a2) C 3(x2 a2) D 3(x2 a2) 解析：选 C f(x) (x 2a)(x a)2 x3 3a2x 2a3， =【 ;精品教育资源文库 】 = f( x) 3(x2 a2) 3函数 f(x) ax3 3x2 2，若 f( 1) 4，则 a 的值是 ( ) A.193 B.163 C.133 D.103 解析：选 D 因为 f( x) 3ax2 6x， 所以 f( 1) 3a 6 4， 所以 a 103. 4 (2016 天津高考 )已知函数 f(x) (2x 1)ex， f( x)为 f(x)的导函数，则 f(0)的值为 _ 解析：因为 f(x) (2x 1)ex， 所以
4、 f( x) 2ex (2x 1)ex (2x 3)ex， 所以 f(0) 3e0 3. 答案： 3 清易错 1利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如 (xn) nxn 1中 n0 且 n Q*， (cos x) sin x. 2注意公式不要用混，如 (ax) axln a，而不是 (ax) xax 1. 1已知函数 f(x) sin x cos x，若 f( x) 12f(x)，则 tan x 的值为 ( ) A 1 B 3 C 1 D 2 解析：选 B f( x) (sin x cos x) cos x sin x， 又 f( x) 12f(x)， cos x sin x 12
5、sin x 12cos x， tan x 3. 2若函数 f(x) 2x ln x 且 f( a) 0，则 2aln 2a ( ) A 1 B 1 C ln 2 D ln 2 解析：选 A f( x) 2xln 2 1x，由 f( a) 2aln 2 1a 0，得 2aln 2 1a，则 a2 aln 2 1，即 2aln 2a 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 导数的几何意义 过双基 函数 f(x)在点 x0处的导数 f( x0)的几何意义是在曲线 y f(x)上点 P(x0， y0)处的 切线的斜率 (瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数 )相应地，切线方程为 y y0f
6、( x0)( x x0) 小题速通 1.(2018 郑州质检 )已知 y f(x)是可导函数，如图，直线 y kx 2 是曲线 y f(x)在 x 3 处的切线，令 g(x) xf(x)， g( x)是 g(x)的导函数，则 g(3) ( ) A 1 B 0 C 2 D 4 解析：选 B 由题图可知曲线 y f(x)在 x 3 处切线的斜率等于 13， f(3) 13， g(x) xf(x)， g( x) f(x) xf( x)， g(3) f(3) 3f(3) ，又由题图可知 f(3) 1，所以 g(3) 1 3 ? ? 13 0. 2设函数 f(x) xln x，则点 (1,0)处的切线方
7、程是 _ 解析：因为 f( x) ln x 1，所以 f(1) 1，所以切线方程为 x y 1 0. 答案： x y 1 0 3已知曲线 y 2x2的一条切线的 斜率为 2，则切点的坐标为 _ 解析：因为 y 4x，设切点为 (m， n)，则 4m 2，所以 m 12，则 n 2 ? ?12 2 12，则切点的坐标为 ? ?12， 12 . 答案： ? ?12， 12 4函数 y f(x)的图象在点 M(1， f(1)处的切线方程是 y 3x 2，则 f(1) f(1) _. 解析：因为函数 y f(x)的图象在点 M(1， f(1)处的切线方程是 y 3x 2，所以 f(1) 3，且 f(1
8、) 31 2 1，所以 f(1) f(1) 1 3 4. 答案： 4 清易错 1求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者 2曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有=【 ;精品教育资源文库 】 = 差别 1若存在过点 (1,0)的直线与曲线 y x3和 y ax2 154x 9 都相切，则 a 等于 ( ) A 1 或 2564 B 1 或 214 C 74或 2564 D 74或 7 解析：选 A 因为 y x3，所以 y 3x2， 设过点 (1,0)的直线与 y x3相切于点 (x0， x30)， 则在该
9、点处的切线斜率为 k 3x20， 所以切线方程为 y x30 3x20(x x0)，即 y 3x20x 2x30，又 (1,0)在切线上，则 x0 0 或x0 32，当 x0 0 时，由 y 0 与 y ax2 154x 9 相切，可得 a 2564， 当 x0 32时，由 y 274x 274 与 y ax2 154x 9 相切，可得 a 1，所以选 A. 2.(2017 兰州一模 )已知直线 y 2x 1 与 曲线 y x3 ax b 相切于点 (1,3)，则实数 b的值为 _ 解析：因为函数 y x3 ax b 的导函数为 y 3x2 a，所以此函数的图象在点 (1,3)处的切线斜率为
10、3 a， 所以? 3 a 2，3 1 a b， 解得 ? a 1，b 3. 答案： 3 利用导数研究函数的单调性 过双基 1函数 f(x)在某个区间 (a， b)内的单调性与 f( x)的关系 (1)若 f( x)0，则 f(x)在这个区间上是增加的 (2)若 f( x)0 或 f( x)0 时，由导函数 f( x) ax2 bx c 的图象可知，导函数在区间 (0， x1)内的值是大于 0 的，则在此区间内函数 f(x)单调递增只有 D 选项符合题意 3已知 f(x) x2 ax 3ln x 在 (1， ) 上是增函数，则实数 a 的取值范围为 ( ) A ( ， 2 6 B.? ? ， 6
11、2 C 2 6， ) D 5， ) 解析：选 C 由题意得 f( x) 2x a 3x 2x2 ax 3x 0 在 (1， ) 上恒成立 ?g(x) 2x2 ax 30 在 (1， ) 上恒成立 ? a2 240 或? a2 240， a41 ，g 5 a0?2 6 a2 6或 a2 6?a 2 6，故选 C. 清易错 若函数 y f(x)在区间 (a， b)上单调递增，则 f( x)0 ，且在 (a， b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数 y f(x)在区间 (a， b)上单调递减，则 f( x)0 ，且在 (a， b)的任意子区间，等号不恒成立 若函数 f(x) x3 x2 mx 1 是
12、 R 上的单 调增函数，则 m 的取值范围是 _ 解析： f(x) x3 x2 mx 1， f( x) 3x2 2x m. 又 f(x)在 R 上是单调增函数， f( x)0 恒成立， 4 12m0 ，即 m 13. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： ? ?13， 利用导数研究函数的极值与最值 过双基 1 函数的极大值 在包含 x0的一个区间 (a， b)内，函数 y f(x)在任何一点的函数值都 小于 x0点的函数值，称点 x0为函数 y f(x)的极大值点，其函数值 f(x0)为函数的极大值 2函数的极小值 在包含 x0的一个区间 (a， b)内，函数 y f(x)在任何一点的函数
13、值都 大于 x0点的函数值，称点 x0为函数 y f(x)的极小值点，其函数值 f(x0)为函数的极小值极大值与极小值统称为 极值 ，极大值点与极小值点统称为极值点 3函数的最值 (1)在闭区间 a， b上连续的函数 f(x)在 a， b上必有最大值与最小值 (2)若函数 f(x)在 a， b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值， f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在 a， b上单调 递减，则 f(a)为函数的最大值， f(b)为函数的最小值 小题速通 1如图是 f(x)的导函数 f( x)的图象，则 f(x)的极小值点的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析：选 A 由
14、图象及极值点的定义知， f(x)只有一个极小值点 2若函数 f(x) x3 ax2 3x 9 在 x 3 时取得极值，则 a 的值为 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 解析：选 D f( x) 3x2 2ax 3，由题意知 f( 3) 0，即 3( 3)2 2a( 3) 3 0，解得 a 5. 3 (2017 济宁一模 )函数 f(x) 12x2 ln x 的最小值为 ( ) A.12 B 1 C 0 D不存在 解析：选 A f( x) x 1x x2 1x ，且 x0.令 f( x)0，得 x1；令 f( x)0)， 因为函数 f(x) 12x2 ax ln x 有极值， 令 g(x)
15、 x2 ax 1，且 g(0) 10， 所以? a20，g? ?a2 a24 12. 答案： (2， ) 5设 x1， x2是函数 f(x) x3 2ax2 a2x 的两个极值点，若 x12，a30 可得 x1 或 x0 且 a1) ，若 f(1) 1，则 a ( ) A e B.1e C.1e2 D.12 解析：选 B 因为 f( x) 1xln a，所以 f(1) 1ln a 1，所以 ln a 1，所以 a 1e. 2直线 y kx 1 与曲线 y x2 ax b 相切于点 A(1,3)，则 2a b 的值为 ( ) A 1 B 1 C 2 D 2 解析：选 C 由曲线 y x2 ax b，得 y 2x a， 由题意可得? k 1 3，k 2 a，1 a b 3，解得? k 2，a 0，b 2，所以 2a b 2. 3函数 y 2x3 3x2的极值情况为 ( ) A在 x 0 处取得极大值 0，但无极小值 B在 x 1 处取得极小值 1，但无极大值 C在 x 0 处取得极大值 0，在 x 1 处取得极小值 1 D以上都不对 解析：选 C y 6x2 6x， 由 y
