1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 不等式选讲 第 1 课 绝对值不等式 过双基 1绝对值三角不等式 定理 1：如果 a， b 是实数，则 |a b| |a| |b|，当且仅当 ab0 时，等号成立 定理 2：如果 a， b， c 是实数，那么 |a c| a b| |b c|，当且仅当 (a b)(b c)0时，等号成立 2绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式 |x|a 的解集 不等式 a0 a 0 aa x|xa或 x0)型不等式的解法： |ax b| c? c ax b c； |ax b| c?ax b c 或 ax b c. (3)|x a| |x b| c， |x a| |x b
2、| c(c0)型不等式的解法： 利用绝对值不等式的几何意义求解； 利用零点分段法求解； 构造函数，利用函数的图 象求解 小题速通 1不等式 |x 1| |x 2|1 的解集是 _ 解析： f(x) |x 1| |x 2|? 3， x 1，2x 1， 11， 所以不等式的解集为 x|x1 . 答案： x|x1 2若存在实数 x 使 |x a| |x 1|3 成立，则实数 a 的取值范围是 _ 解析： |x a| |x 1|( x a) (x 1)| |a 1|， =【 ;精品教育资源文库 】 = 要使 |x a| |x 1|3 有解，可使 |a 1|3 ， 3 a 13 ， 2 a4. 答案：
3、2,4 3若不等式 |kx 4|2 的解集为 x|1 x3 ，则实数 k _. 解析：由 |kx 4|2 ?2 kx6. 不等式的解集为 x|1 x3 ， k 2. 答案： 2 4设不等式 |x 1| |x 2|k 的解集为 R，则实数 k 的取值范围为 _ 解析： |x 1| |x 2|3 ， 3| x 1| |x 2|3 ， k (|x 1| |x 2|)的最小值， 即 k 3. 答案： ( ， 3) 清易错 1对形如 |f(x)|a 或 |f(x)|a b| B |a b|a b|. 2若 |x 1|1 ， |y 2|1 ，则 |x 2y 1|的最大值为 _ 解析： |x 2y 1| |
4、(x 1) 2(y 2) 2| x 1| 2|y 2| 25. 答案： 5 绝对值不等式的解法 典例 设函数 f(x) |x 1| |x 1| a(a R) (1)当 a 1 时，求不等式 f(x)0 的解集； (2)若方程 f(x) x 只有一个实数根，求实数 a 的取值范围 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 (1)依题意，原不等式等价于： |x 1| |x 1| 10， 当 x0， 即 10，此时解集为 ?； 当 1 x1 时， x 1 (x 1) 10， 即 x 12，此时 121 时， x 1 (x 1) 10， 即 30，此时 x1. 综上所述，不等式 f(x)0 的解集为 ?
5、?xx 12 . (2)依题意，方程 f(x) x 等价于 a |x 1| |x 1| x， 令 g(x) |x 1| |x 1| x. g(x)? x 2， x1. 画出函数 g(x)的图象如图所示， 要使原方程只有一个实数根，只需 a1 或 a12时，原不 等式转化为 4x6 ?125 时，不等式可化为 (x 1) (x 5)0 的解集 (1)求 M； (2)求证：当 x， y M 时， |x y xy|12，当 x0，得 x3，舍去； 当 2 x 12时，由 3x 10，得 x 13， 即 1312时，由 x 30，得 x0. (1)当 a 1 时，求不等式 f(x)1 的解集； (2)
6、若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围 解 ： (1)当 a 1 时， f(x)1 化为 |x 1| 2|x 1| 10. 当 x 1 时，不等式化为 x 40，无解； 当 10，解得 230，解得 1 x1 的解集为 ? ?x23a.所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A? ?2a 13 ， 0 ， B(2a 1,0)，C(a， a 1)， ABC 的面积为 23(a 1)2. 由题设得 23(a 1)26，故 a2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 a 的取值范围为 (2， ) 3 (2016 江苏高考 )设 a 0，
7、|x 1| a3， |y 2| a3，求证： |2x y 4| a. 证明：因为 |x 1| a3， |y 2| a3， 所以 |2x y 4| |2(x 1) (y 2)|2| x 1| |y 2| 2 a3 a3 a. 4 (2013 全国卷 )已知函数 f(x) |2x 1| |2x a|， g(x) x 3. (1)当 a 2 时，求不等式 f(x) g(x)的解集； (2)设 a 1，且当 x ? ? a2， 12 时， f(x) g(x)，求 a 的取值范围 解： (1)当 a 2 时，不等式 f(x) g(x)可化为 |2x 1| |2x 2| x 3 0. 设函数 y |2x
8、1| |2x 2| x 3，则 y? 5x， x 12， x 2， 12 x1 ，3x 6， x 1.其图象如图所示 从图象可知，当且仅当 x (0,2)时， y32时，不等式 可化为 (2x 3) (2x 1) 4x 46 ，解得 321 时，等价于 a 1 a2 a 13，解得 11，x 1 2x 13 ， 解得 1 x 12或 12 x1 或 ?. 所以原不等式解集为 x| 1 x1 (2)因为 x a， ) ，所以 f(x) |x a| |2x 1| x a |2x 1|2 a x， 即 |2x 1|3 a 有解，所以 a0 ， 所以不等式化为 2x 13 a 有解， 即 2a 13 a，解得 a1 ， 所以 a 的取值范围为 1， ) 5设函数 f(x) |2x a| 2a. (1)若不等式 f(x)6 的解集为 x| 6 x4 ，求实数 a 的值；
