1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 4.2 三角函数的图象与性质 考纲解读 考点 考纲内容 要求 浙江省五年高考统计 2013 2014 2015 2016 2017 1.三角函数的图象及其变换 1.能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象 . 2.了解函数 y=Asin(x+) 的物理意义 ;能画出 y=Asin(x+) 的图象 ,了解参数 A, 对函数图象变化的影响 . 理解 4,5分 5(文 ), 5分 3(文 ), 5分 11(文 ), 6分 2.三角函数的性质及其应用 1.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质 . 2.了解三角函数的周期性 . 理解 6(文 ),
2、5分 10,5分 11,6分 5,5分 18,约 7分 分析解读 1.三角函数的图象与性质主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性及图象的平移和伸缩变换等 ,多以小而活的选择题与填空题的形式出现 ,有时也会出现以函数性质为主的结合图象的综合题 ,考查数形结合思想 . 2.考查形如 y=Asin(x+) 或通过三角恒等变换化为 y=Asin(x+) 的图象和性质 ,其中 asin x+bcos x= sin(x+) 尤其重要 (例 :2016浙江 5题 ). 3.对 y=Asin(x+) 中 A, 的考查是重点 ,图象与性质及平移、伸缩变换也是重点考查对象 (例 :2014浙江 4题 ).
3、 4.预计 2019年高考中 ,本节内容仍是考查热点 ,复习时应高度重视 . 五年高考 考点一 三角函数的图象及其变换 1.(2014浙江 ,4,5分 )为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x的图象 ,可以将函数 y= cos 3x的图象 ( ) A.向右平移 个单位 B.向左平移 个单位 C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位 答案 C 2.(2017天津文 ,7,5分 )设函数 f(x)=2sin(x+),xR, 其中 0,|0) 个单位长度后得到函数 g(x-)=2sin =2sin =f(x)的图象 ,所以 x-+ =2k+x+ ,kZ,此时 = -2k - ,kZ, 当 k
4、=-1时 , 有最小值 ,为 . 9.(2014山东 ,16,12分 )已知向量 a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数 f(x)=ab, 且 y=f(x)的图象过点和点 . (1)求 m,n的值 ; (2)将 y=f(x)的图象向左平移 (00)个单位长度得到点 P.若 P位于函数 y=sin 2x的图象上 ,则 ( ) A.t= ,s的最小值为 B.t= ,s的最小值为 C.t= ,s的最小值为 D.t= ,s的最小值为 答案 A 11.(2013湖北 ,4,5分 )将函数 y= cos x+sin x(xR) 的图象向左平移 m(m0)个单位长度后 ,所得到的图象关于
5、y轴对称 ,则 m的最小值是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A. B. C. D. 答案 B 12.(2013四川 ,5,5分 )函数 f(x)=2sin(x+) 0, - 0) 个单位长度 ,得到 y=g(x)的图象 .若 y=g(x)图象的一个对称中心为 ,求 的最小值 . 解析 (1)根据表中已知数据 ,解得 A=5,=2,= - . 数据补全如下表 : x+ 0 2 x Asin(x+ 0 5 0 -5 0 =【 ;精品教育资源文库 】 = ) 且函数表达式为 f(x)=5sin . (2)由 (1)知 f(x)=5sin , 得 g(x)=5sin . 因为 y=sin
6、x的对称中心为 (k,0),kZ. 令 2x+2 - =k,kZ, 解得 x= + -,kZ. 由于函数 y=g(x)的图象关于点 中心对称 , 令 + -= ,kZ, 解得 = - ,kZ. 由 0 可知 ,当 k=1时 , 取得最小值 . 15.(2015福建 ,19,13分 )已知函数 f(x)的图象是由 函数 g(x)=cos x的图象经如下变换得到 :先将 g(x)图象上所 有点的纵坐标伸长到原来的 2倍 (横坐标不变 ),再将所得到的图象向右平移 个单位长度 . (1)求函数 f(x)的解析式 ,并求其图象的对称轴方程 ; (2)已知关于 x的方程 f(x)+g(x)=m在 0,2
7、) 内有两个不同的解 ,. (i)求实数 m的取值范围 ; (ii)证明 :cos( -)= -1. 解析 (1)将 g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2倍 (横坐标不变 )得到 y=2cos x的图象 ,再将y=2cos x的图象向右平移 个单位长度后得到 y=2cos 的图象 ,故 f(x)=2sin x. 从 而函数 f(x)=2sin x图象的对称轴方程为 x=k+ (kZ). (2)(i)f(x)+g(x)=2sin x+cos x= = sin(x+) . 依题意知 ,sin(x+)= 在 0,2) 内有两个不同的解 , 当且仅当 1,故 m的取值范围是 (-
8、 , ). =【 ;精品教育资源文库 】 = (ii)证法一 :因为 , 是方程 sin(x+)=m 在 0,2) 内的两个不同的解 ,所以sin(+) = ,sin(+)= . 当 1m 时 ,+=2 ,即 -= -2(+); 当 - m1时 ,+=2 ,即 - =3 -2(+), 所以 cos( -)= -cos2(+)=2sin 2(+) -1=2 -1= -1. 证法二 :因为 , 是方程 sin(x+)=m 在 0,2) 内的两个不同的解 ,所以 sin(+)= ,sin(+)= . 当 1m 时 ,+=2 , 即 += -(+); 当 - m1时 ,+=2 , 即 +=3 -(+)
9、. 所以 cos(+)= -cos(+). 于是 cos( -)=cos(+) -(+) =cos(+)cos(+)+sin (+)sin(+) =-cos2( + )+sin( + )sin( + ) =- + = -1. 考点二 三角函数的性质及其应用 1.(2016浙江 ,5,5分 )设函数 f(x)=sin2x+bsin x+c,则 f(x)的最小正周期 ( ) A.与 b有关 ,且与 c有关 B.与 b有关 ,但与 c无关 C.与 b无关 ,且与 c无关 D.与 b无关 ,但与 c有关 答案 B 2.(2013浙江文 ,6,5分 )函数 f(x)=sin xcos x+ cos 2x
10、 的最小正周期和振幅分别是 ( ) A.,1 B.,2 C.2, 1 D.2,2 答案 A 3.(2017课标全国 理 ,6,5 分 )设函数 f(x)=cos ,则下列结论错误的是 ( ) A.f(x)的一个周期为 -2 B.y=f(x)的图象关于直线 x= 对称 =【 ;精品教育资源文库 】 = C.f(x+) 的一个零点为 x= D.f(x)在 单调递减 答案 D 4.(2015浙江 ,11,6分 )函数 f(x)=sin2x+sin xcos x+1 的最小正周期是 ,单调递减区间是 . 答案 ; (kZ) 5.(2017浙江 ,18,14分 )已知函数 f(x)=sin2x-cos2
11、x-2 sin xcos x(xR). (1)求 f 的值 ; (2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间 . 解析 本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识 ,同时考查运算求解能力 . (1)由 sin = ,cos =- , f = - -2 , 得 f =2. (2)由 cos 2x=cos2x-sin2x与 sin 2x=2sin xcos x得 f(x)=-cos 2x- sin 2x=-2sin . 所以 f(x)的最小正周期是 . 由正弦函数的性质得 +2k2x+ +2k,kZ, 解得 +kx +k,kZ. 所以 , f(x)的单调递增区间是 (kZ). 6.(2015山东
12、 ,16,12分 )设 f(x)=sin xcos x-cos2 . (1)求 f(x)的单调区间 ; (2)在锐角 ABC 中 ,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 f =0,a=1,求 ABC 面积的最大值 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 (1)由题意知 f(x)= - = - =sin 2x- . 由 - +2k2x +2k,kZ, 可得 - +kx +k,kZ; 由 +2k2x +2k,kZ, 可得 +kx +k ,kZ. 所以 f(x)的单调递增区间是 (kZ); 单调递减区间是 (kZ). (2)由 f =sin A- =0,得 sin A= , 由条件知 A
13、为锐角 ,所以 cos A= . 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, 可得 1+ bc=b2+c22bc, 即 bc2+ ,当且仅当 b=c时等号成立 . 因此 bcsin A . 所以 ABC 面积的最大值为 . 7.(2015北京 ,15,13分 )已知函数 f(x)= sin cos - sin2 . (1)求 f(x)的最小正周期 ; (2)求 f(x)在 区间 -,0 上的最小值 . 解析 (1)因为 f(x)= sin x- (1-cos x) =sin - ,所以 f(x)的最小正周期为 2. (2)因为 -x0, 所以 - x+ . =【 ;精品教育资源文库 】
14、= 当 x+ =- ,即 x=- 时 , f(x)取得最小值 . 所以 f(x)在区间 -,0 上的最小值为 f =-1- . 教师用书专用 (8 13) 8.(2017课标全国 文 ,3,5 分 )函数 f(x)=sin 的最小正周期为 ( ) A.4 B.2 C. D. 答案 C 9.(2016山东 ,7,5分 )函数 f(x)=( sin x+cos x)( cos x-sin x)的最小正周期是 ( ) A. B. C. D.2 答案 B 10.(2013北京 ,3,5分 )“=” 是 “ 曲线 y=sin(2x+) 过坐标原点 ” 的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 11.(2013江苏 ,1,5分 )函数 y=3sin 的最小正周期为 . 答案 12.(2015重庆 ,18,13分 )已知函数 f(x)=sin sin x- cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期和最大值 ; (2)讨论 f(x)在 上的单调性 . 解析 (1)f(x)=sin sin x- cos2x =cos xsin x- (1+cos 2x) = sin 2x- cos 2x- =sin - , 因此 f(x)的最 小正周期为 , 最大值为 .
