1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8.5 空间向量及其应用 考纲解读 考点 考纲内容 要求 浙江省五年高考统计 2013 2014 2015 2016 2017 1.空间角 1.了解空间直角坐标系 ,会用空间直角坐标表示点的位置 . 2.了解空间两点间的距离公式 . 3.会用向量方法解决两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的计算问题 . 了解、 掌握 10,5分 20(2), 9分 20(文) (2),5分 17,4分 20(2), 8分 20(文) (2),8分 8,5分 7(文 ), 5分 18(文) (2),8分 18(文) (2),7分 14(文), 4分 17(2), 8分 9
2、,4分 19(2), 约8分 2.综合应用 1.了解空间向量的概念 ,了解空间向量的基本定理及其意义 ,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 . 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 . 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示 ,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 . 4.掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间的距离公式 ,并会解决简单的立体几何问题 . 5.理解直线的方向向量与平面的法向量 . 6.会用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂 直、平行关系 . 7.会用 向量方法证明直线和平面位置关系的有关命题 ,了解向量方法在研究几何问题中的作用 . 掌握 20,15分
3、 20,15分 15,6分 17(2), 8分 14,4分 19,15分 分析解读 1.空间角是立体几何中的一个突出的量化指标 ,是空间图形位置关系的具体体现 ,因此 ,空间角是高考的必考内容 . 2.考查空间角的计算 ,既可能以选择题、填空题的形式出现 ,也可能以解答题的形式出现 .以探索题、最值问题考查空间角的计算 ,常 以解答题的形式出现 ,空间角的计算主要是传统法和向量法 . 3.在立体几何 解答题中 ,建立空间直角坐标系 (或取基底向量 ),利用空间向量的数量积解决直线、平面间的位置关系、角度、长度等问题越来越受到青睐 ,特别是处理存在性问题、探索性问题、开放性问题等 ,比用传统方法
4、简便快捷 ,一直是高考的重点和热点 . 4.预计 2019年高考试题中 ,空间角的计算 ,空间向量在立体几何中的应用必是高考热点 .复习时应引起高度重视 . 五年高考 考点一 空间角 1.(2017浙江 ,9,4分 )如图 ,已知正四面体 D-ABC(所有棱长均相等的三棱锥 ),P,Q,R分别为 AB,BC,CA上的点 ,AP=PB, = =2.分别记二面角 D-PR-Q,D-PQ-R,D-QR-P的平面角为 , 则 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.= = . 所以 ,二面角 B-AD-F的平面角的余弦值为 . 6.(2017课标全国 理 ,19,12 分 )如图 ,四棱锥 P-
5、ABCD中 ,侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,BAD= ABC=90,E 是 PD 的中点 . (1)证明 :直线 CE 平面 PAB; (2)点 M在棱 PC上 ,且直线 BM与底面 ABCD所成角为 45, 求二面角 M-AB-D的余弦值 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 本题考查了线面平行的证明和线面角、二面角的计算 . (1)取 PA的中点 F,连接 EF,BF.因为 E是 PD 的中点 ,所以 EFAD,EF= AD. 由 BAD=ABC=90 得 BCAD, 又 BC= AD,所以 EF?BC,四边形 BCEF是平行四边形 ,CEBF,
6、又 BF?平面PAB,CE?平面 PAB,故 CE 平面 PAB. (2)由已知得 BAA D,以 A为坐标原点 , 的方向为 x轴正方向 ,| |为单位长 ,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1, ), =(1,0,- ), =(1,0,0). 设 M(x,y,z)(0|=sin 45, = , 即 (x-1)2+y2-z2=0. 又 M在棱 PC 上 ,设 = ,则 x= ,y=1,z= - . 由 解得 (舍去 ),或 所以 M ,从而 = . 设 m=(x0,y0,z0)是平面 ABM的法向量 , 则 即 =【 ;
7、精品教育资源文库 】 = 所以可取 m=(0,- ,2). 于是 cos= = . 易知所求二面角为锐角 . 因此二面角 M-AB-D的余弦值为 . 7.(2017北京理 ,16,14分 )如图 ,在四棱锥 P-ABCD中 ,底面 ABCD为正方形 ,平面 PAD 平面 ABCD,点 M在线段 PB上 ,PD 平面 MAC,PA=PD= ,AB=4. (1)求证 :M为 PB 的中点 ; (2)求二面角 B-PD-A的大小 ; (3)求直线 MC与平面 BDP所成角的正弦值 . 解析 本题考查面面垂直的性质定理 ,线面平行的性质定理 ,二面角 ,直线与平面所成的角等知识 .考查用空间向量解决立
8、体几何问题的方法 .考查空间想象能力、运算求解能力 . (1)设 AC,BD交点为 E,连接 ME. 因为 PD 平面 MAC,平面 MAC 平面 PDB=ME, 所以 PDME. 因为 ABCD是正方形 ,所以 E为 BD 的中点 . 所以 M为 PB 的中点 . (2)取 AD的中点 O,连接 OP,OE. 因为 PA=PD,所以 OPAD. 又因为平面 PAD 平面 ABCD,且 OP?平面 PAD, 所以 OP 平面 ABCD. 因为 OE?平面 ABCD,所以 OPOE. 因为 ABCD是正方形 ,所以 OEAD. 如图建立空间直角坐标系 O-xyz,则 P(0,0, ),D(2,0
9、,0),B(-2,4,0), =(4,-4,0), =(2,0,- ). 设平面 BDP的法向量为 n=(x,y,z), 则 即 令 x=1,则 y=1,z= . =【 ;精品教育资源文库 】 = 于是 n=(1,1, ). 平面 PAD的一个法向量为 p=(0,1,0). 所以 cos= = . 由题意知二面角 B-PD-A为锐角 ,所以它的大小为 . (3)由题意知 M ,C(2,4,0), = . 设直线 MC与平面 BDP所成角为 , 则 sin =|cos|= = . 所以直线 MC 与平面 BDP所成角的正弦值为 . 8.(2017天津理 ,17,13分 )如图 ,在三棱锥 P-A
10、BC中 ,PA 底面 ABC,BAC=90. 点 D,E,N 分别为棱 PA,PC,BC的中点 ,M 是线段 AD 的中点 ,PA=AC=4,AB=2. (1)求证 :MN 平面 BDE; (2)求二面角 C-EM-N的正弦值 ; (3)已知点 H在棱 PA上 ,且直线 NH 与直线 BE所成角的余弦值为 ,求线段 AH的长 . 解析 本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识 .考查用空间向量解决立体几何问题的方法 .考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力 . 如图 ,以 A为原点 ,分别以 , , 方向为 x轴、 y轴、 z轴正方向建立空间直角坐标系 .依题意可
11、得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0). =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)证明 : =(0,2,0), =(2,0,-2).设 n=(x,y,z)为平面 BDE的法向量 ,则 即 不妨设 z=1,可得 n=(1,0,1).又 =(1,2,-1),可得 n=0. 因为 MN?平面 BDE,所以 MN 平面 BDE. (2)易知 n1=(1,0,0)为平面 CEM的一个法向量 .设 n2=(x,y,z)为平面 EMN的法向量 ,则 因为 =(0,-2,-1), =(1,2,-1),所以
12、 不妨设 y=1,可得 n2=(-4,1,-2). 因此有 cos= =- , 于是 sin= . 所以 ,二面角 C-EM-N的正弦值为 . (3)依题意 ,设 AH=h(0h4), 则 H(0,0,h),进而可得 =(-1,-2,h), =(-2,2,2).由已知 ,得|cos|= = = ,整理得 10h2-21h+8=0,解得 h= 或 h= . 所以 ,线段 AH的长为 或 . 9.(2016课标全国 ,19,12 分 )如图 ,菱形 ABCD的对角线 AC 与 BD交于点 O,AB=5,AC=6,点 E,F分别在 AD,CD上 ,AE=CF= ,EF交 BD于点 H.将 DEF 沿
13、 EF折到 DEF 的位置 ,OD= . (1)证明 :DH 平面 ABCD; (2)求二面角 B-DA-C的正弦值 . 解析 (1)证明 :由已知得 ACBD,AD=CD. 又由 AE=CF得 = ,故 ACEF. 因此 EFHD, 从而 EFDH.(2 分 ) 由 AB=5,AC=6得 DO=BO= =4. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 EFAC 得 = = . 所以 OH=1,DH=DH=3. 于是 DH2+OH2=32+12=10=DO2,故 DHOH.(4 分 ) 又 DHEF, 而 OHEF=H, 所以 DH 平面 ABCD.(5分 ) (2)如图 ,以 H为坐标原点 ,
14、的方向为 x轴正方向 ,建立空间直角坐标系 H-xyz.则 H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D(0,0,3), =(3,-4,0), =(6,0,0), =(3,1,3).(6分 ) 设 m=(x1,y1,z1)是平面 ABD的法向量 , 则 即 所以可取 m=(4,3,-5).(8分 ) 设 n=(x2,y2,z2)是平面 ACD的法向量 , 则 即 所以可取 n=(0,-3,1).(10分 ) 于是 cos= = =- . sin= . 因此二面角 B-DA-C的正弦值是 .(12分 ) 10.(2015陕西 ,18,12分 )如图 1,在直
15、角梯形 ABCD中 ,ADBC,BAD = ,AB=BC=1,AD=2,E是 AD的中点 ,O是 AC与 BE的交点 .将 ABE 沿 BE 折起到 A 1BE的位置 ,如图 2. (1)证明 :CD 平面 A1OC; (2)若平面 A1BE 平面 BCDE,求平面 A1BC与平面 A1CD夹角的余弦值 . 解析 (1)证明 :在题图 1中 ,因为 AB=BC=1,AD=2,E是 AD的中点 ,BAD= , =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 BEAC. 即在题图 2中 ,BEOA 1,BEOC, 从而 BE 平面 A1OC, 又 CDBE, 所以 CD 平面 A1OC. (2)因为平面
16、A1BE 平面 BCDE, 又由 (1)知 ,BEOA 1,BEOC, 所以 A 1OC为二面角 A1-BE-C 的平面角 , 所以 A 1OC= . 如图 ,以 O为原点 ,建立空间直角坐标系 , 因为 A1B=A1E=BC=ED=1,BCED, 所以 B ,E ,A1 ,C , 得 = , = , = =(- ,0,0). 设平面 A1BC 的法向量 n1=(x1,y1,z1),平面 A1CD的法向量 n2=(x2,y2,z2),平面 A1BC与平面 A1CD 夹角为 , 则 得 取 n1=(1,1,1); 得 取 n2=(0,1,1), 从而 cos =|cos|= = , 即平面 A1
17、BC 与平面 A1CD夹角的余弦值为 . 11.(2014福建 ,17,13分 )在平面四边形 ABCD中 ,AB=BD=CD=1,ABBD,CDBD. 将 ABD 沿 BD折起 ,使得平面ABD 平面 BCD,如图 . (1)求证 :ABCD; (2)若 M为 AD中点 ,求直线 AD与平面 MBC所成角的正弦值 . 解析 (1)证明 : 平面 ABD 平面 BCD,平面 ABD 平面 BCD=BD,AB?平面 ABD,ABBD, AB 平面 BCD. 又 CD?平面 BCD,ABCD. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)过点 B在平面 BCD内作 BEBD, 如图 . 由 (1)知
18、AB 平面 BCD,BE?平面 BCD,BD?平面 BCD, ABBE,ABBD. 以 B为坐标原点 ,分别以 , , 的方向为 x轴 ,y 轴 ,z 轴的正方向建立空间直角坐标系 . 依题意 ,得 B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),M , 则 =(1,1,0), = , =(0,1,-1). 设平面 MBC的法向量为 n=(x0,y0,z0), 则 即 取 z0=1,得平面 MBC的一个法向量为 n=(1,-1,1). 设直线 AD与平面 MBC所成角为 , 则 sin =|cos|= = , 即直线 AD与平面 MBC所成角的正弦值为 . 教师用书专用 (12
