1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 36 讲 直接证明与间接证明 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点 2了解间接证明的一种基本方法 反证法；了解反证法的思考过程和特点 . 2017 全国卷 ， 9 2017 北京卷， 14 2016 江苏卷， 20 2016 浙江卷， 20 直接证明与间接证明一般考查以不等式、数列、解析几何、立体几何、函数、三角函数为背景的证明问题 . 分值： 7 10 分 1直接证明 (1)综合法 定义：利用已知条件和某些数学 定义、定理、公理等，经过一系列的 ！ _推理论证 _#，最后推导出所
2、要证明的结论 ！ _成立 _#，这种证明方法叫做综合法 框图表示： P?Q1 Q1?Q2 Q2?Q3 ? Qn?Q (其中 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等， Q 表示所要证明的结论 ) (2)分析法 定义：从要证明的 ！ _结论 _#出发，逐步寻求使它成立的 ！ _充分条件_#，直至最后把要证明的结论归结为判定一个 明显成立的条件 (已知条件、定理、定义、公理等 )为止，这种证明方法叫做分析法 框图表示： Q?P1 P1?P2 P2?P3 ? 得到一个明显成立的条件 . 2间接证明 反证法：假设原命题 ！ _不成立 _#(即在原命题的条件下，结论不成立 )，经过正确的推理，最后得出
3、 ！ _矛盾 _#，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)综合 法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件 ( ) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件 ( ) (3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程 ( ) 解析 (1)正确 (2)错误分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件，不是充要条件 (3)错误用反证法证明时，推出的矛盾可以与已知
4、、公理、定理、事实或者假设等相矛盾 (4)正确 2用分析法证 明：欲使 A B，只需 C D，这里 是 的 ( B ) A充分条件 B必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析 由题意可知，应有 ? ，故 是 的必要条件 3用反证法证明命题 “ 三角形三个内角至少有一个不大于 60” 时，应假设 ( B ) A三个内角都不大于 60 B三个内角都大于 60 C三个内角至多有一个大于 60 D三个内角至多有两个大于 60 解析 “ 至少有一个不大于 60” 的反面是 “ 都大于 60” 4在 ABC 中，三个内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且 A， B， C 成等差
5、数列， a，b， c 成等比数列，则 ABC 的形状为 ！ _等边三角形 _#. 解析 由题意 2B A C，又 A B C ， B 3. 又 b2 ac，由余弦定理得 b2 a2 c2 2accos B a2 c2 ac， a2 c2 2ac 0，即 (a c)2 0， a c， A C， A B C 3 ， ABC 为等边三角形 5下列条件： ab 0； ab 0； a 0， b 0； a 0， b0 且 ab0，即 a， b 不为 0 且同号即可，故符合的条件有 ，共 3 个 =【 ;精品教育资源文库 】 = 一 分析法 分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条
6、件，而当这些判断恰恰都是已证的命题 (定义、公理、定理、法则、公式等 )或要证命题的已知条件时命题得证 【例 1】 已知 a 0，求证： a2 1a2 2 a 1a 2. 证明 欲证 a2 1a2 2 a 1a 2， 只需证 a2 1a2 2 a 1a 2， a0， 故只需证 ? ?a2 1a2 2 2 ? ?a 1a 2 2， 即 a2 1a2 4 a2 1a2 4 a2 2 1a2 2 2? ?a 1a 2， 从而只需证 2 a2 1a2 2? ?a 1a ， 只需证 4? ?a2 1a2 2 ? ?a2 2 1a2 ，即 a2 1a22 ， 而上述不等式显然成立，故原不等式成立 二 综合
7、法 综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性 【例 2】 (1)设 a， b， c， d 均为正数，且 a b c d，若 abcd，证明： a b c d； |a b|cd，得 ( a b)2( c d)2，所以 a b c d. 因为 (a b)2 (a b)2 4ab， (c d)2 (c d)2 4cd，由题意可知 a b c d，=【 ;精品教育资源文库 】 = abcd，所以 (a b)2 4ab0， a1b1
8、a2b2 (a1b2 a2b1) (b1 b2)( a1 a2)0， a1b1 a2b2 12 a1b1 a2b2 ?a1 a2? ?b1 b2?2 12a1b1 a2b2 (a1b2 a2b1) 12(b1 b2)( a1 a2)0， 则 a1b1 a2b2的值最大 故选 A 3设 a， b， c 均为正数，且 a b c 1，证明： (1)ab bc ac 13； (2)a2bb2cc2a1. 证明 (1)由 a2 b22 ab， b2 c22 bc， c2 a22 ac，得 a2 b2 c2 ab bc ca.由题设得 (a b c)2 1， 即 1 a2 b2 c2 2ab 2bc 2
9、ca ab bc ca 2ab 2bc 2ca， 所以 3(ab bc ca)1 ，即 ab bc ca 13. (2)因为 a2b b2 a，b2c c2 b，c2a a2 c， 故 a2bb2cc2a (a b c)2( a b c)， 即 a2bb2cc2a a b c.所以a2bb2cc2a1. 4已知 a0 ，证明：关于 x 的方程 ax b 有且只有一个根 证明 由于 a0 ，因此方程至少有一个根 x ba. 假设 x1， x2是它的两个不同的根，即 ax1 b， ax2 b， 由 ，得 a(x1 x2) 0， 因为 x1 x2，所以 x1 x20 ， =【 ;精品教育资源文库 】
10、 = 所以 a 0，这与已知矛盾，故假设不成立 所以当 a0 时，方程 ax b 有且只有一个根 易错点 不熟悉反证法 错因分析：有些结论，直接证明不易入手时，忽略使用反证法 【例 1】 设 x， y， z 都是正实数， a x 1y， b y 1z， c z 1x，则 a， b， c 三个数 ( ) A至少有一个不大于 2 B都小于 2 C至少有一个不小于 2 D都大于 2 解析 若 a， b， c 都小于 2，则 a b c 6， 而 a b c x 1x y 1y z 1z6 ， 显然 与 矛盾，所以 C 项正确 答案 C 【跟踪训练 1】 设 a0， b0，且 a2 b2 1a2 1b
11、2.证明： a2 a0， b0，所以 ab 1. 因为 a2 b22 ab 2(当且仅当 a b 1 时等号成立 )， a b2 ab 2(当且仅当 a b 1 时等号成立 )， 所以 a2 a b2 b2 ab 2 ab 4(当且仅当 a b 1 时等号成立 )，这与假设矛盾，故假设错误 所以 a2 abc，且 a b c 0，求证 b2 ac0 B a c0 C (a b)(a c)0 D (a b)(a c)Q B P Q C Pb B ab0 且 ab C ab0 且 ab 或 abb0，且 ab 1，若 0q B p0，则三个数 yx yz， zx zy， xz xy( C ) A都
12、大于 2 B至少有一个大于 2 C至少有一个不小于 2 D至少有一个不大于 2 解析 因为 x 0， y 0， z 0，所以 ? ?yx yz ? ?zx zy ? ?xz xy ? ?yx xy ? ?yz zy ? ?xz zx6 ，当且仅当 x y z 时等号成立，则三个数中至少有一个不小于 2.故选 C 二、填空题 7设 a 3 2 2， b 2 7，则 a， b 的大小关系为 ！ _a b_#. 解析 a 3 2 2， b 2 7两式的两边分别平方，可得 a2 11 4 6， b2 11 4 7，显然 6 7. a b. 8用反证法证明命题 “ 若实数 a， b， c， d 满足 a
13、 b c d 1， ac bd1，则 a， b，c， d 中至少有一个是非负数 ” 时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是 ！_a， b， c， d 全是负数 _#. 解析 “ 至少有一个 ” 的否定是 “ 一个也没有 ” ，故结论的否定是 “ a， b， c， d 中没有一个是非负数，即 a， b， c， d 全是负数 ” 9设 a， b 是两个实数，给出下列条件： a b1； a b 2； a b2； a2 b22； ab1. 其中能推出 “ a， b 中至少有一个大于 1” 的条件是 ！ _ _#(填序号 ) 解析 若 a 12， b 23，则 a b 1， =【 ;精品教育资
14、源文库 】 = 但 a 1， b 1，故 推不出； 若 a b 1，则 a b 2，故 推不出； 若 a 2， b 3，则 a2 b2 2，故 推不出； 若 a 2， b 3，则 ab 1，故 推不出； 对于 ，即 a b 2，则 a， b 中至少有一个大于 1， 反证法：假设 a1 且 b1 ， 则 a b2 与 a b 2 矛盾， 因此假设不成立，故 a， b 中至少有一个大于 1，故 能推出 三、解答题 10若 abcd0 且 a d b c, 求证： d a b c. 证明 要证 d a b c， 只需证 ( d a)2 ( b c)2， 即证 a d 2 ad b c 2 bc， 因为 a d b c， 所以只需证 ad bc，即证 ad bc， 设 a d b c t， 则 ad bc (t d)d (t c)c (c d)(c d t) 0，
