1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 32 讲 一元二次不等式及其解法 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 3会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图 . 2017 江苏卷， 7 2016 江苏卷， 5 2015 山东卷， 1 对一元二次不等式的考查，主要以考查解法为主，同时也考查一元二次方程的判别式、根的存在性及二次函数的图象与性质等另外，以函数、数列为载体，以一元二次不等式的解法为手段求参数的取值范围 也是热点 . 分值： 5 分 三个二次之间的关系 判别式
2、b2 4ac 0 0 0 二次函数 y ax2 bxc(a 0)的图象 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)的根 有两相异实根 x1， x2(x1 x2) 有两相等实根 x1 x2b2a 没有实数根 ax2 bx c 0(a 0)的解集 x|x x1或 x x2 错误 ! R ax2 bx c 0(a 0)的解集 x|x1 x x2 ? ? 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)若不等式 ax2 bx c 0 的解集为 (x1， x2)，则必有 a 0.( ) (2)若不等式 ax2 bx c 0 的解集是 ( ， x1) (x2， ) ，则方程 ax2 bx c 0的两个
3、根是 x1和 x2.( ) (3)若方程 ax2 bx c 0(a0) 没有实数根，则不等式 ax2 bx c 0 的解集为=【 ;精品教育资源文库 】 = R.( ) (4)不等式 ax2 bx c0 在 R 上恒成立的条件是 a 0 且 b2 4ac0.( ) (5)若二次函数 y ax2 bx c 的图象开口向下，则不等式 ax2 bx c 0 的解集一定不是空集 ( ) 解析 (1)正确由不等式解集为 (x1， x2)可知 a 0. (2)正确由不等式的解集可知命题正确 (3)错误当 a 0 时，不等式的解集为 ?. (4)错误不等式恒成立的条件为? a 0， 0 或 ? a b 0，
4、c0. (5)正确图象开口向下，则一定有小于 0 的部分 2已知全集 U R，集合 A ? x? ?x 13 x 0 ， B ? x| y 4 2x ，则 A B ( D ) A (1,2) B (2,3) C 2,3) D (1,2 解析 x 13 x 0， (x 1)(x 3) 0， 1 x 3.又 4 2x0 ， 42 x， x2 ， A B x|1 x2 故选 D 3不等式 x(2 x) 0 的解集为 _(0,2)_. 解析 x(2 x) 0， x(x 2) 0， 0 x 2，故解集为 (0,2) 4关于 x 的不等式 ax2 bx 2 0 的解集是 ? ? 12， 13 ，则 a b
5、 _ 14_. 解析 由题意可知 a 0，且 12和 13是方程 ax2 bx 2 0 的两个根， ? 12 13 ba， 12 13 2a，解得? a 12，b 2， a b 14. 5不等式 x2 ax 40 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是 _( ， 4 4， ) _. 解析 由题意可知 a2 160 ，解得 a4 或 a 4. 一 一元二次不等式的解法 (1)解一元二次不等式的一般步骤 =【 ;精品教育资源文库 】 = 化为标准形式 (二次项系数大于 0)； 确定判别式 的符号； 若 0 ，则求出该不等式对应的二次方程的根，若 0， 解方程 2x2 x 3 0 得 x1 1，
6、x2 32， 不等式 2x2 x 30 的解集为 ( ， 1) ? ?32， ， 即原不等式的解集为 ( ， 1) ? ?32， . (2)原不等式可化为 ax2 (a 2)x 20. 当 a 0 时，原不等式化为 x 10 ，解得 x 1. 当 a 0 时，原不等式化为 ? ?x 2a (x 1)0 ，解得 x 2a或 x 1. 当 a 0 时，原不等式化为 ? ?x 2a (x 1)0. 当 2a 1，即 a 2 时，解得 1 x 2a； 当 2a 1，即 a 2 时，解得 x 1 满足题意； 当 2a 1，即 20，x a2 2，g? 2?0 ，即? a2 4?3 a?0， a2 2，4
7、 2a 3 a0? a2或 a0，x a2 2，g?2?0 ，即? a2 4?3 a?0， a2 2，7 a0? a2或 a0，且 f( 1) 1. 若 f(x) t2 2at 1 对所有的 x 1,1都成立，则当 a 1,1时， t 的取值范围=【 ;精品教育资源文库 】 = 是 ( D ) A 2,2 B ? ? ， 12 0 ? ?12， C ? ? 12， 12 D ( ， 2 0 2， ) 解析 由题设条件知 f(x)是奇函数，在 1,1上是增函数，且 f( 1) 1，所以在 1,1上， f(x)max f(1) f( 1) 1.f(x) t2 2at 1 对所有的 x 1,1都成立
8、，即1 t2 2at 1，即 t2 2at0 恒成立设 g(a) t2 2at， a 1,1，则? g?1?0 ，g? 1?0 ，即? t2 2t0 ，t2 2t0 ， 解得 t 2 或 t 0 或 t2. 故选 D 课时达标 第 32 讲 解密考纲 考查一元二次不等式的解法，常利用判别式讨论解集，常以选择题或填空题的形式出现 一、选择题 1不等式 2x 10 的解集为 x| 10 的解集为 ( A ) A ? x? ?x12 B ? x? ? 11 解析 不等式 ax2 bx 20 的解集为 x| 10，解得 x12. 故选 A 5若 ax2 bx c4，则对于函数 f(x) ax2 bx
9、c 应有( B ) A f(5)0 成立，则实数 x 的取值范围为 _( 3， 1)_. 解析 不等式可变形为 (x2 x)p 3x 3 0，令 f(p) (x2 x)p 3x 3， p 1,1 原 不 等 式 成 立 等 价 于 f(p) 0 ， p 1,1 ，则? f? 1? 0，f?1? 0， 即? x2 x 3x 3 0，x2 x 3x 3 0， 解得 3 x 1. 9已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a，且不等式 f(x)0 的解集为 (1,2)，若方程 f(x)的最大值小于 1，则 a 的取值范围是 _( 4,0)_. 解析 由题意知 a 0，可设 f(x) a(x 1)(x 2) ax2 3ax 2a， f(x)max f? ?32 a4 1， a 4，故 4 a 0.
