1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 平面的基本性质 考点 2 空间两条直线的位置关系 1位置关系的分类 =【 ;精品教育资源文库 】 = 共面直线 ? 相交 直线：同一平面内，有且只有 一个 公共点； 平行 直线：同一平面内， 没有 公共点 . 异面直线：不同在 任何 一个平面内， 没有 公共点 2平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相 平行 3等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平 行，那么这两个角 相等或互补 4异面直线所成的角 (1)定义：设 a， b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O
2、作直线 a a， b b，把 a与 b 所成的 锐角 (或直角 )叫做异面直线 a 与 b 所成的角 (2)范围： ? ?0， 2 . 考点 3 空间直线、平面的位置关系 必会结论 1公理 2 的三个推论 =【 ;精品教育资源文库 】 = 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论 3：经过两条平行直线有且只有一个 平面 2异面直线判定的一个定理 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分 (
3、 ) (2)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC.( ) (3)已知 a， b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b 不可能是平行直线 ( ) (4)没有公共点的两条直线是异面直线 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 2018 福州质检 已知命题 p： a， b 为异面直线，命题 q：直线 a， b 不相交，则 p是 q 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若直线 a， b 不相交，则 a， b 平行或异面，所以 p 是 q 的充分不必要条件故选A. 3 课本改编 若直线 a b，且直
4、线 a 平面 ，则直线 b与平面 的位置关系是 ( ) A b? B b C b? 或 b D b 与 相交或 b? 或 b 答案 D 解析 b 与 相交或 b? 或 b 都可以故选 D. 4 2018 衡中调研 已知直线 a， b， c，有下面四个命题： 若 a， b 异面， b， c 异面，则 a， c 异面； 若 a， b 相交， b， c 相交，则 a， c 相交； 若 a b，则 a， b 与 c 所成的角相等； 若 a b， b c，则 a c. 其中真命题的序号是 _ 答案 解析 a， c 可能相交、平行或异面； a， c 可能相交、平行或异面； 正确； a，c 可能相交、平行或
5、异面 5.2018 大连模拟 如图，在三棱锥 C ABD 中， E， F 分别是 AC 和 BD 的中点，若 CD 2AB 4， EF AB，则 EF 与 CD 所成的 角是 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 30 解析 取 CB 的中点 G，连接 EG， FG， EG AB， FG CD， EF 与 CD 所成的角为 EFG 或其补角 又 EF AB， EF EG. 在 Rt EFG， EG 12AB 1， FG 12CD 2， sin EFG 12， EFG 30 ， EF 与 CD 所成的角为 30. 板块二 典例探究 考向突破 考向 平面基本性质的应用 例 1 如图所示，在正
6、方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别是 AB 和 AA1的中点求证： =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)E， C， D1， F 四点共面； (2)CE， D1F， DA 三线共点 证明 (1)如图所示，连接 EF， CD1， A1B. E， F 分别是 AB， AA1的中点， EF BA1. 又 A1B D1C， EF CD1. E， C， D1， F 四点共面 (2) EF CD1， EFCD1， CE 与 D1F 必相交，设交点为 P. 则由 P CE， CE? 平面 ABCD，得 P 平面 ABCD. 同理 P 平面 ADD1A1. 又平面 ABCD 平面 ADD1
7、A1 DA， P 直线 DA， CE， D1F， DA 三线共点 触类旁通 1证明三点共线的两种方法 (1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，则这三点都在交线上，即三点共线 (2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上，从而得三点共线 2证明三线共点的思路 先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归为证明点在直线上的问题通常是先证两条直线的交点在两个平面的交线上，而第三条直线恰好是两个平面的交线 【变式训练 1】 如图，空间四边形 ABCD 中， E， F 分别 是 AB、 AD 的中点， G， H 分别在 BC， CD 上，且 BG GC
8、 DH HC 1 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求证： E， F， G， H 四点共面； (2)设 EG 与 FH 交于点 P. 求证： P， A， C 三点共线 证明 (1) E， F 分别为 AB， AD 的中点， EF BD. 在 BCD 中， BGGC DHHC 12， GH BD， EF GH， E， F， G， H 四点共面 (2)由 (1)知 EF 綊 12BD， GH 綊 23BD. 四边形 FEGH 为梯 形， GE 与 HF 交于一点，设 EG FH P， P EG， EG? 平面 ABC， P 平面 ABC.同理 P 平面 ADC. P 为平面 ABC 与
9、平面 ADC 的公共点， 又平面 ABC 平面 ADC AC， P AC， P， A， C 三点共线 考向 空间两条直线的位置关系 命题角度 1 两直线位置关系的判定 例 2 2015 广东高考 若直线 l1和 l2是异面直线， l1在平面 内， l2在平面 内，l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是 ( ) A l 与 l1， l2都不相交 B l 与 l1， l2都相交 C l 至多与 l1， l2中的一条相交 D l 至少与 l1， l2中的一条相交 答案 D 解析 由直线 l1和 l2是异面直线可知 l1与 l2不平行，故 l1， l2中至少有一条与 l相交故选 D. 命题角度
10、 2 异面直线的判定 例 3 如图所示，正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N 分别为棱 C1D1， C1C 的中点，有以下四个结论： =【 ;精品教育资源文库 】 = 直线 AM 与 CC1是相交直线； 直线 AM 与 BN 是平行直线； 直线 BN 与 MB1是异面直线； 直线 AM 与 DD1是异面直线 其中正确的结论为 _(注：把你认 为正确的结论序号都填上 ) 答案 解析 因为点 A 在平面 CDD1C1外，点 M 在平面 CDD1C1内，直线 CC1在平面 CDD1C1内， CC1不过点 M，所以 AM 与 CC1是异面直线，故 错；取 DD1中点 E，连接 AE，则 B
11、N AE，但 AE与 AM 相交，故 错；因为 B1与 BN 都在平面 BCC1B1内， M 在平面 BCC1B1外， BN 不过点 B1，所以 BN 与 MB1是异面直线，故 正确；同理 正确，故填 . 触类旁通 空间两条直线位置关系的判定方法 考向 异面直线所成的角 例 4 2017 全国卷 已知直三棱柱 ABC A1B1C1中， ABC 120 ， AB 2， BC CC1=【 ;精品教育资源文库 】 = 1，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 ( ) A. 32 B. 155 C. 105 D. 33 答案 C 解析 将直三棱柱 ABC A1B1C1补形为直四棱柱 ABCD
12、A1B1C1D1，如图所示，连接 AD1， B1D1，BD. 由题意知 ABC 120 ， AB 2， BC CC1 1， 所以 AD1 BC1 2， AB1 5， DAB 60. 在 ABD 中，由余弦定理知 BD2 22 12 221cos60 3，所以 BD 3，所以B1D1 3. 又 AB1与 AD1所成的角即为 AB1与 BC1所成的角 ， 所以 cos AB21 AD21 B1D212 AB1 AD1 5 2 32 5 2105 . 故选 C. 触类旁通 用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成
13、的角； (3)三求：解三角形，求出作出的角如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角 【变式训练 2】 如图，在三棱锥 A BCD 中， AB AC BD CD 3， AD BC 2，点 M，N 分别为 AD， BC 的中点，则异面直线 AN， CM 所成的角的余弦值是 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 78 解析 如图所示，连接 DN，取线段 DN 的中点 K，连接 MK， CK. M 为 AD 的中点， MK AN， KMC(或其补角 )为异面直线 AN， CM 所成的角 AB AC BD CD 3， AD BC 2， N 为 BC 的
14、中点，由勾股定理易求得 AN DN CM 2 2， MK 2. 在 Rt CKN 中， CK ? 2?2 12 3.在 CKM 中，由余弦定理，得 cos KMC? 2?2 ?2 2?2 ? 3?22 22 2 78，所以异面直线 AN， CM 所成的角的余弦值是78. 核心规律 1.三个公理的作用是证明点共线、点共面、线共面、线共点等几何问题 2.求异面直线所成的角就是要通过平移转化的方法，将异面直线所成的角转化成同一平面内的直线所成的角，放到同一个可解的三角形中去求解 满分策略 1.正确理解异面直线 “ 不同在任何一个平面内 ” 的含义，不要理解成 “ 不在同一个平面内 ” 2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉 “ 不共线 ” 条件 3.两条异面直线所成角的范围是 (0 ， 90. 板块三 启智培优 破译高考 题型技法系列 11 构造法判定空间线面位置关系 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2018 西安模拟 已知 m， n 是两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，有下列四个命题： 若 m ， n
