1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 5 讲 椭圆 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 椭圆的概念 在平面内到两定点 F1、 F2的距离的和等于常数 (大于 |F1F2|)的点的轨迹 (或集合 )叫做椭圆 这两定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点间的距离叫做 焦距 集合 P M|MF1| |MF2| 2a， |F1F2| 2c，其中 a0， c0，且 a， c 为常数： (1)若 ac，则集合 P 为椭圆； (2)若 a c，则集合 P 为线段； (3)若 ab0)上任意一点 P(x， y)，则当 x 0 时， |OP|有最小值 b， P 点在短轴端点处；当 x a 时， |OP|有最大
2、值 a， P 点在长轴端点处 (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中 a 为斜边， a2 b2 c2. (3)已知过焦点 F1的弦 AB，则 ABF2的周长为 4a. (4)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦之长为 2b2a . (5)椭圆离心率 e 1 b2a2. 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)平面内与两个定点 F1， F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 ( ) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形 ( ) (3)椭圆上一点 P 与两焦点 F1， F2构成 PF1F2的周长为 2a 2c(其中 a 为椭圆的长半轴长， c
3、 为椭圆的半焦距 ) ( ) (4)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆 ( ) (5)方程 mx2 ny2 1(m0， n0， m n)表示的曲线是椭圆 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2 2017 浙江高考 椭圆 x29y24 1 的离心率是 ( ) A. 133 B. 53 C.23 D.59 答案 B 解析 椭圆方程为 x29y24 1， a 3， c a2 b2 9 4 5. e ca 53 .故选 B. 3 2018 广东模拟 已知椭圆 x225y2m2 1(m0)的左焦点为 F1( 4,0)，则 m ( ) A 2 B 3 C
4、 4 D 9 答案 B 解析 由 4 25 m2(m0)?m 3，故选 B. 4 课本改编 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于 13，则椭圆 C的方程是 ( ) A.x24y23 1 B.x24y23 1 C.x24y22 1 D.x29y28 1 答案 D 解析 依题意，设椭圆方程为 x2a2y2b2 1(ab0)，所以 ? c 1，ca13，c2 a2 b2，解得 a2 9， b2 8. 故椭圆 C 的方程为 x29y28 1. 5椭圆 x2 my2 1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍，则 m _. 答案 14 解析 椭圆 x2 my2 1 可化为
5、 x2 y21m 1， 因为其焦点在 y 轴上，所以 a2 1m， b2 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 依题意知 1m 2，解得 m 14. 6 2018 上海联考 若椭圆的方程为 x210 ay2a 2 1，且此椭圆的焦距为 4，则实数 a _. 答案 4 或 8 解析 当焦点在 x 轴上时， 10 a (a 2) 22，解得 a 4； 当焦点在 y 轴上时， a 2 (10 a) 22，解得 a 8. 板块二 典例探究 考向突破 考向 椭圆的定义及标准方程 例 1 (1)2018 杭州模拟 已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左、 右焦点为 F1， F2，离心率为 3
6、3 ，过 F2的直线 l 交 C 于 A， B 两点若 AF1B 的周长为4 3，则 C 的方程为 ( ) A.x23y22 1 B.x23 y2 1 C.x212y28 1 D.x212y24 1 答案 A 解析 由题意及椭圆的定义知 4a 4 3，则 a 3，又 ca c3 33 ， c 1， b2 2， C 的方程为 x23y22 1，选 A. (2)设 F1， F2分别是椭圆 x225y216 1 的左、右焦点， P 为椭圆上一点， M 是 F1P 的中点，|OM| 3，则 P 点到椭圆左焦点的距离为 _ 答案 4 解析 连接 PF2，则 OM 为 PF1F2的中位线， |OM| 3，
7、 |PF2| 6. |PF1| 2a |PF2| 10 6 4. 触类旁通 (1)在利用椭圆定义解题的时候，一方面要注意到常数 2a|F1F2|这个条件；另一方 面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点所组成的 “ 焦点三角形 ” 中的数量关系 (2)待定系数法求椭圆方程，若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出 a， b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为 Ax2 By2 1(A0， B0， A B) 【变式训练 1】 (1)2018 厦门模拟 已知椭圆 x24 y2 1， F1， F2为其两焦点， P 为椭=【 ;精品教育资源
8、文库 】 = 圆上任一点则 |PF1| PF2|的最大值为 ( ) A 6 B 4 C 2 D 8 答案 B 解析 设 |PF1| m， |PF2| n，则 m n 2a 4， |PF1| PF2| mn ? ?m n2 2 4(当且仅当 m n 2 时，等号成立 )故选 B. (2)已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点 F( 2,0)，且长轴长与短轴长的比是 2 3，则椭圆 C 的方程是 _ 答案 x216y212 1 解析 设椭圆 C 的方程为 x2a2y2b2 1(ab0) 由题意知? a2 b2 c2，a b 2 3，c 2，解得 a2 16， b2 12. 所以椭圆 C 的方程为 x
9、216y212 1. (3)2017 豫北六校联考 设 F1， F2分别是椭圆 E： x2a2y2b2 1(ab0)的左，右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E 于 A， B 两点， |AF1| 3|F1B|，且 |AB| 4， ABF2的 周长为 16.则 |AF2| _. 答案 5 解析 由 |AF1| 3|F1B|， |AB| 4，得 |AF1| 3. ABF2的周长为 16， 4a 16， a 4. 则 |AF1| |AF2| 2a 8， |AF2| 8 |AF1| 8 3 5. 考向 椭圆的几何性质 例 2 (1)2017 全国卷 已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右顶
10、点分别为 A1， A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为 ( ) A. 63 B. 33 C. 23 D.13 答案 A 解析 由题意知以 A1A2为直径的圆的圆心为 (0,0)，半径为 a. 又直线 bx ay 2ab 0 与圆相切， 圆心到直线的距离 d 2aba2 b2 a，解得 a 3b， ba 13， e ca a2 b2a 1 ?ba2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1 ? ?13 2 63 .故选 A. (2)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_ 答案 35 解析 由题意知， 2a 2c 2
11、(2b)，即 a c 2b，又 c2 a2 b2，消去 b，整理 得 5c23a2 2ac，即 5e2 2e 3 0，解得 e 35或 e 1(舍去 ) 触类旁通 椭圆离心率的求解方法 求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出 a， c 的值；二是由已知条件得出关于 a， c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率 e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率 【变式训练 2】 (1)2016 全国卷 直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 14，则该椭圆的离心率为 ( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答
12、案 B 解析 不妨设直线 l 过椭圆的上顶点 (0， b)和左焦点 ( c， 0)， b0， c0，则直线 l的方程为 bx cy bc 0，由已知得 bcb2 c2 142 b，解得 b2 3c2，又 b2 a2 c2，所以 c2a214，即 e2 14，所以 e12(e12舍去 )，故选 B. (2)2018 锦州模拟 设椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2， P 是 C上的点， PF2 F1F2， PF1F2 30 ，则 C 的离心率为 _ 答案 33 解析 在 Rt PF2F1 中，令 |PF2| 1，因为 PF1F2 30 ，所以 |PF1| 2
13、， |F1F2| 3.所以 e 2c2a |F1F2|PF1| |PF2| 33 . 考向 椭圆中的焦点三角形 =【 ;精品教育资源文库 】 = 例 3 2018 漳浦县校级月考 椭圆 x24 y2 1 上的一点 P 与两焦点 F1， F2所构成的三角形称为焦点三角形 (1)求 PF1 PF2的最大值与最小值； (2)设 F1PF2 ，求证： S F1PF2 tan 2. 解 (1)设 P(x， y)， F1( 3， 0)， F2( 3， 0)， 则 PF1 PF2 ( 3 x， y)( 3 x， y) x2 y2 3 34x2 2. x2 0,4， 34x2 2 2,1 PF1 PF2的最大
14、值为 1，最小值为 2. (2)证明：由椭圆的定义可知 |PF1| |PF2| 2a， |F1F2| 2c， 在 F1PF2中，由余弦定理可得： |F1F2|2 |PF1|2 |PF2|2 2|PF1| PF2|cos (|PF1| |PF2|)2 2|PF1| PF2|(1cos )， 可得 4c2 4a2 2|PF1| PF2|(1 cos )?|PF1| PF2| 2b21 cos ， 即有 F1PF2的面积 S 12|PF1| PF2|sin F1PF2 b2 sin1 cos b2tan 2 tan 2. 触类旁通 椭圆的焦点三角形：椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形解
15、决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理 以椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)上一点 P(x0， y0)(y00) 和焦点 F1( c,0)， F2(c,0)为顶点的 PF1F2中，若 F1PF2 ，则 (1)|PF1| |PF2| 2a； (2)4c2 |PF1|2 |PF2|2 2|PF1|PF2|cos ； =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)S PF1F2 12|PF1|PF2|sin ，当 |y0| b，即 P 为短轴端点时， S PF1F2取最大值，为 bc； (4)焦点三角形的周长为 2(a c)； (5)当 P 为短轴端点时， 最大； (6)若焦点三角形的内切圆圆心为 I，延长 PI 交 F1F2于点 Q，则 |PI|IQ| |PF1|F1Q| |PF2|F2Q|，所以 |PI|IQ| |PF1| |PF2|F1Q| |F2Q| 2a2c 1e(e 为离心率 ) 【变式训练 3】 (1)如图
