1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 6 讲 双曲线 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 双曲线的概念 平面内与两个定点 F1， F2(|F1F2| 2c0)的距离的差的绝对值为常数 (小于 |F1F2|且不等于零 )的点的轨迹叫做 双曲线 这两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距 集合 P M|MF1| |MF2| 2a， |F1F2| 2c，其中 a、 c 为常数且 a0， c0： (1)当 ac 时， P 点不存在 考点 2 双曲线的 标准方程和几何性质 =【 ;精品教育资源文库 】 = 必会结论 双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为 b
2、. (2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线 (3)双曲线为等轴双曲线 ?双曲线的离心率 e 2?双曲线的两条渐近线互相垂直 (位置关系 ) (4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 2b2a . (5)过双曲线焦点 F1的弦 AB 与双曲线交在同支上，则 AB 与另一个焦点 F2构成的 ABF2的周长为 4a 2|AB|. (6)双曲线的离心率公式可表示为 e 1 b2a2. 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)平面内到两点 F1( 1,0)， F2(1,0)的距离之差等于 1 的点的轨迹是双曲线 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 =
3、(2)方程 x2my2n 1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线 ( ) (3)与双曲线 x2my2n 1(mn0)共渐近线的双曲线方程可设为x2my2n ( 0) ( ) (4)等轴双曲线的离心率等于 2，且渐近线互相垂直 ( ) (5)若双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)与x2b2y2a2 1(a0， b0)的离心率分别是 e1， e2，则1e211e22 1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线 ) ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2 课本改编 双曲线 y2 x2 2 的渐近线方程是 ( ) A y x B y 2x C y 3x D y 2 x 答案 A 解
4、析 由题意知 y22x22 1， y x. 3 2018 广东模拟 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0)，离心率等于 32，则 C 的方程是 ( ) A.x24y25 1 B.x24y25 1 C.x22y25 1 D.x22y25 1 答案 B 解析 由题意设 C 的方程为 x2a2y2b2 1(a0， b0) 由右焦点为 F(3,0)，可知 c 3，又因为离心率等于 32，所以 ca 32，所以 a 2.由 c2 a2 b2，知 b2 5，故双曲线 C 的方程为 x24y25 1.故选 B. 4 2018 福州质检 设 F1、 F2分别是双曲线 x2 y29 1 的左、右焦
5、点若点 P 在双曲线上，且 |PF1| 5，则 |PF2| ( ) A 5 B 3 C 7 D 3 或 7 答案 D 解析 |PF1| |PF2| 2， |PF2| 7 或 3. 5 2017 北京高考 若双曲线 x2 y2m 1 的离心率为 3，则实数 m _. 答案 2 解析 由双曲线的标准方程知 a 1， b2 m， c 1 m， =【 ;精品教育资源文库 】 = 故双曲线的离心率 e ca 1 m 3， 1 m 3，解得 m 2. 6 2017 全国卷 双曲线 x2a2y29 1(a0)的一条渐近线方程为 y35x，则 a_. 答案 5 解析 双曲线的标准方程为 x2a2y29 1(a
6、 0)， 双曲线的渐近线方程为 y 3ax. 又双曲线的一条渐近线方程为 y 35x， a 5. 板块二 典例探究 考向突破 考向 双曲线的定义及标准方程 例 1 (1)2017 天津高考 已知双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的左焦点为 F，离心率为2.若经过 F 和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 ( ) A.x24y24 1 B.x28y28 1 C.x24y28 1 D.x28y24 1 答案 B 解析 由题意可得 ca 2，即 c 2a. 又左焦点 F( c,0)， P(0,4)， 则直线 PF 的方程为 y 04 0 x c0 c，
7、化简即得 y 4cx 4.结合已知条件和图象易知直线 PF 与 y bax 平行， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 4c ba，即 4a bc. 故? c 2a，4a bc，a2 b2 c2，解得? a2 8，b2 8， 故双曲线方程为 x28y28 1.故选 B. (2)2017 全国卷 已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的一条渐近线方程为 y52x，且与椭圆 x212y23 1 有公共焦点，则 C 的方程为 ( ) A.x28y210 1 B.x24y25 1 C.x25y24 1 D.x24y23 1 答案 B 解析 由 y 52 x 可得 ba 52 .
8、由椭圆 x212y23 1 的焦点为 (3,0)， ( 3,0)， 可得 a2 b2 9. 由 可得 a2 4， b2 5. 所以 C 的方程为 x24y25 1.故选 B. 触类旁通 (1)若涉及双曲线上的点，在解题时要首先想到双曲线上的任意点均满足双曲线的定义 (2)利用求待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数 a， b， c 的方程并求出 a， b， c 的值与双曲线 x2a2y2b2 1，有相同渐近线时可设所求双曲线方程为 x2a2y2b2 ( 0) =【 ;精品教育资源文库 】 = 【变式训练 1】 (1)已知双曲线 C： x2a2y
9、2b2 1 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则 C 的方程为 ( ) A.x220y25 1 B.x25y220 1 C.x280y220 1 D.x220y280 1 答案 A 解析 由已知可得双曲线的焦距 2c 10， a2 b2 25，排除 C， D，又由渐近线方程为 y bax 12x，得 12 ba，解得 a2 20， b2 5. (2)求与双曲线 x29y216 1 有共同渐近线，并且经过点 ( 3,2 3)的双曲线的方程 解 设所求双曲线方程为 x29y216 ，将点 ( 3,2 3)代入双曲线方程，得991216 ，解得 14， 所求双曲线方程为 4x29
10、y24 1. 考向 双曲线的几何性质 命题角度 1 双曲线的离心率问题 例 2 (1)2017 全国卷 若 a 1，则双曲线 x2a2 y2 1 的离心率的取值范围是 ( ) A ( 2， ) B ( 2， 2) C (1， 2) D (1,2) 答案 C 解析 由题意得双曲线的离心率 e a2 1a . e2 a2 1a2 11a2. a1， 00， b0)若矩形 ABCD 的四个顶点在E 上， AB， CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB| 3|BC|，则 E 的离心率是 _ 答案 2 解析 由已知得 |AB| |CD| 2b2a ， |BC| |AD| |F1F2| 2c. 因为
11、 2|AB| 3|BC|，所以 4b2a 6c， =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 b2 c2 a2，所以 2e2 3e 2 0， 解得 e 2，或 e 12(舍去 ) 命题角度 2 双曲线的渐近线问题 例 3 (1)已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的离心率为52 ，则 C的渐近线方程为 ( ) A y 14x B y 13x C y 12x D y x 答案 C 解析 e 52 ， ca 52 ，即 c2a254. c2 a2 b2， b2a214， ba12. 双曲线的渐近线方程为 y bax， 渐近线方程为 y 12x.故选 C. (2)2018 深圳调研 在平
12、面直角坐标系 xOy 中，双曲线的中心在原点，焦点在 y 轴上，一条渐近线方程为 x 2y 0，则它的离心率为 ( ) A. 5 B. 52 C. 3 D 2 答案 A 解析 依题意设 双曲线的方程是 y2a2x2b2 1(其中 a0， b0)，则其渐近线方程是 y abx，由题知 ab 12，即 b 2a，因此其离心率 e a2 b2a 5aa 5. 触类旁通 与双曲线的几何性质有关的问题 (1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)中，离心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 k ba满足关系式 e2 1 k2. (2)求双曲线的离心率时，将提
13、供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a， b，c 的方程或不等式，利用 b2 c2 a2和 e ca转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围 【变式训练 2】 (1)若双曲线 C： x2a2y2b2 1 的焦点分别为 F1， F2，以 F1F2为直径的圆与=【 ;精品教育资源文库 】 = 双曲线的一个交点为 M，且 sin MF1F2 15，则双曲线的离心率为 ( ) A. 2 B. 3 C 2 D. 5 答案 D 解析 由题意知， F1MF2 2 ，不妨设点 M 在第一象限，则? |MF1| |MF2| 2a，|MF2|MF1|12，解得? |MF1
14、| 4a，|MF2| 2a， 又 |MF1|2 |MF2|2 |F1F2|2，即 16a2 4a2 4c2，所以 e ca 5.故选 D. (2)已知双曲线 y2a2x29 1 的两条渐近线与以椭圆x225y29 1 的左焦点为圆心、165 为半径的圆相切，则渐近线方程为 _ 答案 4x3 y 0 解析 双曲线的渐近线方程为 ax3 y 0，椭圆的左焦点为 F( 4,0)，因为渐近线 ax 3y 0 与以 F 为圆心、 165 为半径的圆相切，所以 | 4a 0|a2 9 165 ，解得 a 4 ，故渐近线方程为 4x3 y 0. 考向 双曲线中焦点三角形 例 4 (1)已知 F1， F2是双
15、曲线 x24 y2 1 的两个焦点， P 是双曲线上一点，且 F1PF290 ，则 F1PF2的面积是 ( ) A 1 B. 52 C 2 D. 5 答案 A 解析 解法一：设 |PF1| d1， |PF2| d2， 由双曲线的定义可知 |d1 d2| 4.又 F1PF2 90 ， 于是有 d21 d22 |F1F2|2 20， 因此， S F1PF2 12d1d2 14(d21 d22 |d1 d2|2) 1. 解法二：由 x24 y2 1，知 |F1F2| 2 5. 设 P 点的纵坐标为 yP，由于 F1PF2 90 ，则 P 在以 |F1F2|为直径的圆上，即在 x2 y2 5 上 由? x2 y2 5，x2 4y2
