1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标 第 21 讲 正弦定理和余弦定理 解密考纲 本考点考查利用正弦定理和余弦定理求解三角形、判断三角形的形状、求三角形的面积等，三种形式均有呈现一般排在选择题、填空题的中间位置或解答题靠前的位置，题目难度较易或中等 一、选择题 1在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 a 1， b 3， A 6 ，则 B( B ) A 3 B 3 或 23 C 6 或 56 D 23 解析 根据正弦定理 asin A bsin B，得 1sin 6 3sin B， sin B 32 ， B 3 或 23 . 2在 ABC 中，若 AB 2
2、， AC2 BC2 8，则 ABC 面积的最大值为 ( C ) A 2 B 2 C 3 D 3 解析 AC2 BC22 AC BC， AC BC4. cos C AC2 BC2 AB22AC BC ， cos C12， 02， 三角形仅有一解， c 3.设 BC 边上的高为 h，则 h csin B 3 32 . 5钝角三角形 ABC 的面积是 12， AB 1， BC 2，则 AC ( B ) A 5 B 5 C 2 D 1 解 析 S 12AB BCsin B 121 2sin B 12， sin B 22 ， B 4 或 34 .当 B 34时，根据余弦定理得 AC2 AB2 BC2 2
3、AB BCcos B 1 2 2 5， AC 5，此时 ABC为钝角三角形，符合题意；当 B 4 时，根据余弦定理得 AC2 AB2 BC2 2AB BCcos B 1 2 2 1， AC 1，此时 AB2 AC2 BC2， ABC 为直角三角形，不符合题意，故 AC 5. 6在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c.若 c2 (a b)2 6， C 3 ，则 ABC 的面积是 ( C ) A 3 B 9 32 C 3 32 D 3 3 解析 c2 (a b)2 6， c2 a2 b2 2ab 6. C 3 ， c2 a2 b2 2abcos 3 a2 b2 ab.
4、 由 ，得 ab 6 0，即 ab 6. S ABC 12absin C 126 32 3 32 . 二、填空题 7 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 a， b， c 成等比数列若 sin B 513， cos B 12ac，则 a c 的值为 _3 7_. 解析 a， b， c 成等比数列， b2 ac. sin B 513， cos B 12ac， ac 13， b2 a2 c2 2accos B， a2 c2 37， (a c)2 63， a c 3 7. =【 ;精品教育资源文库 】 = 8 (2017 浙江卷 )已知 ABC， AB AC 4， BC
5、 2.点 D 为 AB 延长线上一点， BD 2，连接 CD，则 BDC 的面积是 _ 152 _， cos BDC _ 104 _. 解析 在 ABC 中， AB AC 4， BC 2，由余弦定理得 cos ABC AB2 BC2 AC22AB BC 42 22 42242 14，则 sin ABC sin CBD154 ，所以 S BDC12BD BCsin CBD152 .因为 BD BC 2，所以 BDC 12 ABC，则 cos BDC cos ABC 12 104 . 9在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c.若 b c 14a， 2sin B 3si
6、n C，则 cos A 的值为 _ 14_. 解析 由 2sin B 3sin C 及正弦定理得 2b 3c，即 b 32c.又 b c 14a， 12c 14a，即 a 2c.由余弦定理，得 cos A b2 c2 a22bc 94c2 c2 4c22 32c2 34c23c2 14. 三、解答题 10 (2018 河北邢台质检 )在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且 b2asin B， tan A 0. (1)求角 A 的大小； (2)若 b 1， c 2 3， ABC 的面积为 S，求 aS. 解析 (1) b 2asin B， sin B 2sin A
7、sin B， sin B0， sin A 12， tan A0， A 为锐角， A 6. (2) a2 b2 c2 2bccos A 1 12 4 3 32 7， a 7. 又 S 12bcsin A 32 ， aS 2 213 . 11 (2018 河南重点高中期中 )在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且sin2A2 c b2c . (1)判断 ABC 的形状并加以证 明； (2)当 c 1 时，求 ABC 周长的最大值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 (1) 1 cos A2 12 b2c，即 cos A bc， b ccos A c b2 c2
8、a22bc ，即 c2 b2 a2， ABC 为直角三角形 (2) c 为直角 ABC 的斜边，当 c 1 时， 周长 L 1 sin A cos A 1 2sin? ?A 4 . 0c.已知 BA BC 2， cos B 13， b 3，求： (1)a 和 c 的值； (2)cos(B C)的值 解析 (1)由 BA BC 2，得 c acos B 2，又 cos B 13，所以 ac 6. 由余弦定理，得 a2 c2 b2 2accos B 又 b 3，所以 a2 c2 9 22 13.由? ac 6，a2 c2 13， 解得 a 2， c 3 或 a 3， c 2. 因为 ac，所以 a 3， c 2. (2)在 ABC 中， sin B 1 cos2B 1 ? ?13 2 2 23 . 由正弦定理，得 sin C cbsin B 23 2 23 4 29 . 因为 a bc，所以 C 为锐角，因此 cos C 1 sin2C 1 ? ?4 29 2 79.于是 cos(B C) cos Bcos C sin Bsin C 13 79 2 23 4 29 2327.
