1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第八节 解三角形 A组 基础题组 1.如图 ,两座灯塔 A和 B与海洋观察站 C的距离相等 ,灯塔 A在观察站南偏西 40 方向上 ,灯塔 B在观察站南偏东 60 方向上 ,则灯塔 A在灯塔 B的 ( ) A.北偏东 10 方向上 B.北偏西 10 方向上 C.南偏东 80 方向上 D.南偏西 80 方向上 2.一艘海轮从 A处出发 ,以每小时 40海里的速度沿南偏东 40 的方向直线航行 ,30分钟后到达 B处 ,在 C处有一座灯塔 ,海轮在 A处观察灯塔 ,其方向是南偏东 70, 在 B处观察灯塔 ,其方向是北偏东 65, 那么B,C 两点间的距离 是 (
2、 ) A.10 海里 B.10 海里 C.20 海里 D.20 海里 3.(2016 江西联考 )某位居民站在离地 20 m高的阳台上观测到对面楼房房顶的仰角为 60, 楼房底部的俯角为 45, 那么这栋楼房的高度为 ( ) A.20 m B.20(1+ )m C.10( + )m D.20( + )m 4.某人向正东方向走 x km后 ,向右转 150, 然后朝新方向走 3 km,结果他离出发点恰好是 km,那么 x的值为 ( ) A. B.2 C. 或 2 D.3 5.如图 ,一条河的两岸平行 ,河的宽度 d=0.6 km,一艘客船从码头 A出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知AB=1 km
3、,水的流速为 2 km/h,若客船从码头 A驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min,则客船在静水中的速度为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.8 km/h B.6 km/h C.2 km/h D.10 km/h 6.如图 ,为了测量 A,C两点间的距离 ,选取同一平面上的 B,D两点 ,测出四边形 ABCD各边的长度 (单位 :km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且 B 与 D 互补 ,则 AC的长为 km. 7.某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶 ,在点 A处测得电视塔 S在电动车的北偏东30 方向上 ,15 min后到点 B 处 ,测得
4、电视塔 S在电动车的北偏东 75 方向上 ,则点 B与电视塔的距离是 km. 8.如图 ,在山顶上有一座铁塔 BC,在塔顶 B处测得地面上一点 A的俯角 =60, 在塔底 C处测得 A处的俯角 =45, 已知铁塔 BC 的高为 24 m,则山高 CD= m. 9.隔河看两目标 A与 B,但不能到达 ,在岸边选取相距 千米的 C、 D两点 ,测得ACB=75,BCD=45,ADC=30,ADB=45 (A、 B、 C、 D在同一平面内 ),求两目标 A、 B之间的距离 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 10.为扑灭某着火点 ,现场安排了两支水枪 ,如图 ,D是着火点 ,A、 B分别是水枪位置
5、 ,已知 AB=15 m,在 A处看着火点的仰角为 60,ABC=30,BAC=105( 其中 C为 D在地面上的射影 ),求 A、 B两支水枪的喷射距离至少分别是多少 . B组 提升题组 11.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱 ,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度 ,某人在喷水柱正西方的点 A处测得水柱顶端的仰角为 45, 从点 A向北偏东 30 方向 前进 100 m到达点 B,在 B点处测得水柱顶端的仰角为 30, 则水柱的高度是 ( ) A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m 12.如图 ,航空测量组驾驶飞机飞行的航线和山顶在同一铅直平面内 ,已知飞机的飞行高度为
6、 10 000 m,速度为 50 m/s,某一时刻飞机看山顶的俯角为 15, 经过 420 s后看山顶的俯角为 45, 则山顶的海拔为 m.(取 =1.4, =1.7) 13.如图 ,一栋建筑物 AB的高为 (30-10 )m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔 CD.在它们之间的地面上的 点 M(B,M,D三点共线 )处测得楼顶 A,塔顶 C的仰角分别是 15 和 60, 在楼顶 A处测得塔顶 C的仰角为 30, 则通信塔 CD的高为 m. =【 ;精品教育资源文库 】 = 14.如图 ,在海岸 A处发现北偏东 45 方向上 ,距 A处 ( -1)海里的 B处有一艘走私船 .在 A处北偏西 7
7、5方向上 ,距 A处 2海里的 C处的我方缉私船奉命以 10 海里 /时的速度追截走私船 ,此时走私船正以 10海里 /时的速度 ,从 B处向北偏东 30 方向逃窜 .缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船 ?并求出所需时间 . 15.(2016辽宁沈阳二中月考 )在一个特定时 段内 ,以点 E 为中心的 7海里以内海域被设为警戒水域 .点 E正北 55 海里处有一个雷达观测站 A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船位于点 A的北偏东 45 且与点 A相距 40 海里的位置 B,经过 40分钟又测得该船已行驶到点 A北偏东45+ 且与点 A相距 10 海里的位置 C. (1)求该船的行驶速度 (单
8、位 :海里 /时 ); (2)若该船不改变航行方向继续行驶 ,判断它是否会进入警戒水域 ,并说明理由 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案精解精析 A组 基础题组 1.D 由条件及题图可知 ,A=ABC=40, 因为 BCD=60, 所以 CBD=30 , 所以 DBA=10, 因此灯塔 A 在灯塔 B南偏西 80 方向上 . 2.A 如图所示 ,易知在 ABC 中 ,AB=20海里 ,CAB=30,ACB=45, 根据正弦定理得 = , 解得 BC=10 (海里 ). 3.B 如图 ,设 AB 为阳台的高度 ,CD为楼房的高度 ,AE为水平线 .由题意知 AB=DE=20 m,DAE=
9、45,CAE=60, 故 AE=20 m,CE=20 m. 所以 CD=20(1+ )m.故选 B. 4.C 由题意作出示意图 ,如图所示 ,由余弦定理得 ( )2=x2+32-2x3cos 30, 整理得 x2-3 x+6=0,解得 x= 或 2 .故选 C. 5.B 连接 AB,设 AB与河岸线所成的锐角为 , 客船在静水中的速度为 v km/h,由题意知 ,sin = = , 从而 cos = ,结合已知及余弦定理可得 = +12-2 21 , =【 ;精品教育资源文库 】 = 解得 v=6 .选 B. 6. 答案 7 解析 8 2+52-285cos( -D)=32+52-235cos
10、 D,cos D= - , 在 ACD 中 ,由余弦定理可计算得 AC= =7,则 AC 的长为 7 km. 7. 答案 3 解析 由题意 知 AB=24 =6 km,在 ABS 中 ,BAS=30,AB=6 km,ABS=180 -75=105,ASB=45, 由正弦定理知 = , BS= =3 (km). 8. 答案 36+12 解析 tanBAD= ,tanCAD= , 则 tanBAC=tan(BAD -CAD) = = = = , 又 tanBAC=tan(60 -45)=2 - , =2- , 解得 CD=36+12 m. 9. 解析 在 ACD 中 ,ACD=120,CAD=AD
11、C=30, 所以 AC=CD= 千米 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 在 BCD 中 ,BCD=45,BDC=75,CBD=60, 由正弦定理知 BC= = 千米 . 在 ABC 中 ,由余弦定理 ,得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=( )2+ -2 cos 75=3+2+ - =5,所以 AB= 千米 , 所以两目标 A,B之间的距离为 千米 . 10. 解析 在 ABC 中 ,可知 ACB=45, 由正弦定理得 = , 解得 AC=15 m. CAD=60, AD=30 m,CD=15 m, 在 ABC 中 ,由正弦定理 得 = , 解得 BC= m. 由勾股定理可
12、得 BD= =15 m. 综上可知 ,A,B两支水枪的喷射距离至少分别为 30 m,15 m. B组 提升题组 11.A 如图 ,设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在 ABC 中 ,BAC=60,AC=h m,AB=100 m,BC= h m,根据余弦定理得 ( h)2=h2+1002-2h100cos 60, 即 h2+50h-5 000=0,即 (h-50)(h+100)=0,解得h=50(舍负 ),故水柱的高度是 50 m. =【 ;精品教育资源文库 】 = 12. 答案 2 650 解析 如图 ,作 CD垂直于直线 AB 于点 D,A=15,DBC=45, ACB=30, 又在
13、ABC 中 , = ,AB=50420=21 000(m), BC= sin 15 =10 500( - )(m). CDAD, CD=BCsinDBC=10 500( - ) =10 500( -1)=7 350(m). 故山顶的海拔 h=10 000-7 350=2 650(m). 13. 答案 60 解析 如图 ,在 RtABM 中 ,AM= = = = =20 (m). 易知 MAN =AMB=15, 所以 MAC=30+15=45, 又 AMC=180 -15 -60=105, 所以 ACM=30. 在 AMC 中 ,由正弦定理得 = ,解得 MC=40 (m). 在 RtCMD 中
14、 , CD=40 sin 60=60(m), 故通信塔 CD 的高为 60 m. =【 ;精品教育资源文库 】 = 14. 解析 如图 ,设缉私船应沿 CD 方向行驶 ,t小时才能最快截获 (在 D点 )走私船 , 则 CD=10 t海里 ,BD=10t海里 , 在 ABC 中 ,由余弦定理 ,有 BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC =( -1)2+22-2( -1)2cos 120=6, 解得 BC= (海里 ). = , sinABC= = = ,可知 ABC=45, B 点在 C点的正东方向上 , CBD=90+30=120, 在 BCD 中 ,由正弦定理 ,得 = , si
15、nBCD= = = . 可知 BCD=30. 在 BCD 中 ,CBD=120,BCD=30,D=30, BD=BC, 即 10t= . t= 小时 ,易知 小时 15 分钟 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 缉私船应沿北偏东 60 的方向行驶 ,才能最快截获走私船 ,大约需 要 15分钟 . 15. 解析 (1)如图 ,AB=40 海里 , AC=10 海里 ,BAC=. 由于 090,sin = , 所以 cos = = . 由余弦定理得 BC = =10 (海里 ). 所以该船的行驶速度为 =15 (海里 /时 ). (2)该船会进入警戒水域 .理由如下 : 如图所示 ,设直线 AE与直线 BC相交于点 Q. 在 ABC 中 ,由余弦定理得 , cosABC= = = . 从而 sinABC= = = .
