1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例 A组 基础题组 1.已知 =(2,1),点 C(-1,0),D(4,5),则向量 在 方向上的投影为 ( ) A.- B.-3 C. D.3 2.(2017 北京东城二模 )已知向量 a=(1,2),b=(x,4),且 ab, 那么 x的值为 ( ) A.-2 B.-4 C.-8 D.-16 3.(2015 北京通州一模 )在正方形 ABCD中 ,已知 AB=3,E是 CD 的中点 ,则 等于 ( ) A. B.6 C. D. 4.设向量 a,b满足 |a|=1,|a-b|= ,a(a -b)=0,则 |2a+b|=
2、( ) A.2 B.2 C.4 D.4 5.(2018 北京海淀期末 )在 ABC 中 ,AB=AC=1,D是 AC边的中点 ,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 6.(2017 北京东城期末 )ABC 的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若 a=5,b=7,c=8,则 等于 . 7.(2015 北京朝阳一模 )已知平面向量 a,b满足 |a|=|b|=1,a 与 b的夹角为 60, 则a(a+b)= . 8.(2016 北京西城二模 )设平面向量 a,b满足 |a|=|b|=2,a(a+b)=7, 则向量 a,b 夹角的余弦值为 . 9.已知 |a|=4,|b|=3,
3、(2a-3b)(2a+b)=61. (1)求 a 与 b的夹角 ; (2)求 |a+b|和 |a-b|. =【 ;精品教育资源文库 】 = 10.在平面直角坐标系 xOy中 ,已知向量 m= ,n=(sin x,cos x),x . (1)若 mn, 求 tan x的值 ; (2)若 m 与 n的夹角为 ,求 x 的值 . B组 提升题组 11.(2016北京西城一模 )在平面直角坐标系 xOy中 ,向量 =(-1,2), =(2,m),若 O,A,B三点能构成三角形 ,则 ( ) A.m=-4 B.m -4 C.m1 D.mR 12.(2015北京十三中模拟 )ABC 外接圆的半径为 1,圆
4、心为 O,且 3 +4 +5 =0,则 的值为( ) A.- B. C.- D. 13.(2017北京东城一模 )已知 ABC 中 ,A=120, 且 AB=AC=2,那么 BC= , = . 14.(2017北京 ,12,5分 )已知点 P在圆 x2+y2=1上 ,点 A的坐标为 (-2,0),O为原点 ,则 的最大值为 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 15.(2017北京海淀二模 )已知 O为原点 ,点 P为直线 2x+y-2=0上的任意一点 ,非零向量 a=(m,n).若 a恒为定值 ,则 = . 16.(2017北京丰台期末 )如图 ,边长为 2的正三角形 ABC放置在平面直角坐
5、标系 xOy 中 ,AC在 x轴上 ,顶点 B与 y轴上的定点 P重合 .将正三角形 ABC沿 x轴正方向滚动 ,即先以顶点 C为旋转中心顺时针旋转 ,当顶点 B落在 x轴上时 ,再以顶点 B为旋转中心顺时针旋转 ,如此继续 .当 ABC 滚动到 A 1B1C1时 ,顶点 B运动轨迹的长度为 ;在滚动过 程中 , 的最大值为 . 17.已知在 ABC 中 ,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),mn=sin 2C. (1)求角 C的大小 ; (2)若 sin A,sin C,sin B成等差数列 ,且 ( - )=18,
6、求 c. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案精解精析 A组 基础题组 1.C 因为点 C(-1,0),D(4,5),所以 =(5,5),又 =(2,1),所以向量 在 方向上的投影为| |cos= = = . 2.C a=(1,2 ),b=(x,4),且 ab, x+8=0,x= -8. 3.C 由题意得 = ( - )=| |2- | |2= ,故选 C. 4.B 由 a(a -b)=0,可得 ab=a 2=1, 由 |a-b|= ,可得 (a-b)2=3,即 a2-2ab+b 2=3,解得 b2=4.故 (2a+b)2=4a2+4ab+b 2=12,所以 |2a+b|=2 . 5.A
7、在 ABC 中 ,AB=AC=1,D是 AC的中点 , = , =( - ) =- + =- + cos A. cos A( -1,1), - + cos A ,故选 A. 6. 答案 44 解析 由 a=5,b=7,c=8, 得 cos A= = = . =cbcos A=87 =44. 7. 答案 解析 a(a+b)=|a| 2+ab=1+|a|b|cos 60=1+cos 60= . =【 ;精品教育资源文库 】 = 8. 答案 解析 |a|=|b|=2, 且 a(a+b)=7,aa+ab=7. |a| 2+|a|b|cos=7. 4+4cos=7. cos= . 9. 解析 (1)由
8、(2a-3b) (2a+b)=4|a|2-4ab -3|b|2=61 及 |a|=4,|b|=3得 ab= -6, cos = = =- . 又 0, , = . (2)|a+b|= = = = . 同理 ,|a-b|= = . 10. 解析 (1)mn,mn=0, 故 sin x- cos x=0,tan x=1. (2)m 与 n的夹角为 , cos= = = , 故 sin = . =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 x , x - , 则 x- = ,即 x= ,故 x的值为 . B组 提升题组 11.B =(-1,2), =(2,m), 若 O,A,B三点能构成三角形 , 则 与
9、不能平行 ,即 . m -4.故选 B. 12.A 因为 3 +4 +5 =0, 所以 3 +4 =-5 , 两边平方得 ,9 +24 +16 =25 , 由题意可知 ,| |=| |=| |=1, 代入 式可得 =0, 所以 =- (3 +4 )( - )=- (3 -3 +4 -4 )=- .故选 A. 13. 答案 2 ;-6 解析 ABC 中 ,A=120, 且 AB=AC=2, 由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2ABACcos A=2 2+22-222cos 120=12, BC=2 . =( - )( - )=- + =-22+22cos 120= -6. 14. 答案 6
10、=【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 解法一 : 表示 在 方向上的投影与 | |的乘积 ,当 P在 B点时 , 有最大值 ,此时 =23=6. 解法二 :设 P(x,y),则 =(2,0)(x+2,y)=2x+4, 由题意知 -1x1, x=1 时 , 取最大值 6, 的最大值为 6. 15. 答案 2 解析 设点 P(t,2-2t), 则 =(t,2-2t), 所以 a=tm+(2 -2t)n.设 a=, 则 =tm+(2 -2t)n,(m-2n)t+2n=, 当 m-2n=0时 , a 恒为定值 , 此时 =2. 16. 答案 ;2 解析 根据题意知 ,点 B的轨迹为两个圆弧和一个点
11、,且圆弧所对的圆心角为 ,圆弧的半径为 2, 顶点 B运动轨迹的长度为 22 = . =(0, ), 设 B(x,y), 没滚动前点 B的坐标为 (0, ), =3; 第一次滚动过程中点 B的纵坐标 y2, 2 ; 第二次滚动过程中点 B的 坐标为 (3,0), =【 ;精品教育资源文库 】 = =0; 第三次滚动过程中点 B的纵坐标 y2; 2 . 的最大值为 2 . 17. 解析 (1)mn=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B), 在 ABC 中 ,A+B= -C,0C , sin(A+B)=sin C, mn=sin C, 又 mn=sin 2C, sin 2C=sin C,cos C= , 则 C= . (2)由 sin A,sin C,sin B成等差数列 , 可得 2sin C=sin A+sin B, 由正弦定理 得 2c=a+b. ( - )=18, =18, 即 abcos C=18,ab=36. 由余弦弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab, c 2=4c2-336, c 2=36,c=6.
