1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 平面向量与三角形的应用举例 一、 平面向量与三角形 的 心 1、重心（中线交点） （ 1） G 是 ABC? 的重心 ? 0GA GB GC? ? ? （ 2） G 是 ABC? 的重心 ? 1 ()3PG PA PB PC? ? ?（ P 是平面上的点） 证明 ： P G P A A G P B B G P C C G? ? ? ? ? ? 3 ( ) ( )P G A G B C G P A P B P C? ? ? ? ? ? G 是 ABC? 的重心 GA GB GC? 0GAGBGC? ? AG BG CG? 0AGBGC? ，即 3PG PA PB
2、 PC? ? ? 由此可得 1 ()3P G P A P B P C? ? ?。 例如： 已知向量 1 2 3,OP OP OP ，满足条件 1 2 3 0OP OP OP? ? ?， 1 2 3| | | | | | 1O P O P O P? ? ?， 求证： 321 PPP? 是正三角形。 分析： 对于本题中的条件 1 2 3| | | | | | 1OP OP OP? ? ?，容易想到，点 O 是 321 PPP? 的外心，而另一个条件 1 2 3 0OP OP OP? ? ?表明，点 O 是 321 PPP? 的重心。 故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形
3、一定是正三角形。又如，若 一个三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与 本题实质是相同的。 显然，本题中的条件 1 2 3| | | | | | 1OP OP OP? ? ?可改为 1 2 3| | | | | |OP OP OP?。 2、垂心（高线交点） （ 1） H 是 ABC? 的垂心 ? H A H B H B H C H C H A? ? ? ? ? 由 ( ) 0 0H A H B H B H C H B H C H A H B A C H B A C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 同理 HC AB? ， HA BC? 。故 H 是 ABC? 的垂
4、心 。 反之亦然 。 =【 ;精品教育资源文库 】 = （ 2） H 是 ABC? （ 非直角三角形 ） 的垂心，则 有 CBASSS A H BA H CB H C t a n:t a n:t a n: ? 且 0t a nt a nt a n ? HCCHBBHAA 。 3、外心（边垂直平分线交点，外接圆圆心） （ 1） O 是 ABC? 的外心 ? OCOBOA ? （点 O 到 ABC? 的三个顶点距离相等） （ 2） O 是 ABC? 的外心 ? 0)()()( ? CAOAOCBCOCOBABOBOA （ O 为三边垂直平分线交点） （ 3） O 是 ABC? 的外心，则 有 CB
5、AA O BA O CB O CSSS A O BA O CB O C 2s i n:2s i n:2s i ns i n:s i n:s i n: ? 且 02s i n2s i n2s i n ? OCCOBBOAA 。 4、内心（角平分线交点，内切圆圆心） （ 1） O 是 ABC? 的内心 ? 0? OCcOBbOAa （ 2） O 是 ABC? 的内心 ? ( ) ( ) ( ) 0| | | | | | | | | | | |A B A C B A B C C A C BO A O B O CA B A C B A B C C A C B? ? ? ? ? ? ? ? ?（ 3）
6、引进单位向量，使条件变得更简洁。记 AB ， BC ， CA 的单位向量为 1 2 3,eee ，则 O 是 ABC?的内心 ? 0)()()( 322131 ? eeOCeeOBeeOA （ 4） O 是 ABC? 的内心，则 cbaSSS AO BAO CBO C : ? 故 0? OCcOBbOAa 或 0s i ns i ns i n ? OCCOBBOAA （ 5） P 是 ABC? 的内心 ? | | | | | | 0A B P C B C P A C A P B P? ? ? ? （ 6） 向量 ( )( 0 )| | | |AB ACAB AC?所在直线过 ABC? 的内心
7、（ 是 BAC? 的角平分线所在直线 ） （ 7）设 P 是 ABC? 所在平面内任意一点， I 为 ABC? 内心 ? a PA bPB cPCPIabc? ?例如： O 是平面上一定点， CBA , 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 =【 ;精品教育资源文库 】 = ( ) 0 , ) .| | | |A B A CO P O A A B A C? ? ? ? ? ? ?则 P 的轨迹一定通过 ABC? 的（ ） A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 分析：已知等式即 ()| | | |AB ACAP AB AC?，设 ,| | | |AB ACAE AFAB AC?，显然 ,AE
8、AF 都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故 AP 为 ABC? 的平分线，选 B 。 5、外心与重心：若 O 是 ABC? 的外心， G 是重心，则3OA OB OCOG ?6、外心与垂心：若 O 是 ABC? 的外心， H 是垂心，则 OH OA OB OC? ? ? 7、重心与垂心：若 G 是 ABC? 的重心， H 是垂心，则3HA HB HCHG ?8、 外心、重心、垂心 ：若 HGO , 分别是锐角 ABC? 的外心、重心、垂心， 则 13OG OH?证明 ： 按重心定理 ： G 是 ABC? 的重心 ? 1 ()3OG OA OB OC? ? ?； 按垂心定理
9、 ： OH OA OB OC? ? ?， 由此可得 ： 13OG OH?。 9、 三角形的外心、重心、垂心的位置关系： （ 1） 三角形的外心、重心、垂心三点共线 ，即 欧拉线； （ 2） 三角形的重心在欧拉线上，且为外 心、 垂 心 连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的 2 倍。 =【 ;精品教育资源文库 】 = 例如： 在 ABC? 中，已知 HGQ , 分别是三角形的外心、重心 、垂心。求证： HGQ , 三点共线，且 2:1: ?GHQG 。 证明：以 A 为原点， AB 所在的直线为 x 轴，建立如 上 图所示的直角坐标系。 设 )0,0(A 、 )0,( 1xB
10、 、 ),( 22 yxC ， FED , 分别为 ACBCAB , 的中点， 则有： 1 1 2 2 2 2, 0 ) ( , ) ( , )2 2 2 2 2x x x y x yEF?D （ 、 、， 由题设可设 13 2 4, ) ( , )2xQ y H x y（ 、， 1 2 2( , )33x x yG ?2 1 22 4 3( , ) ( , )2 2 2x x yA H x y Q F y? ? ? ? ?， ， 2 1( , )BC x x y? 2 2 1 2 42 2 142( ) 0()A H B C A H B C x x x y yx x xyy? ? ? ? ?
11、 ? ? ? ? =【 ;精品教育资源文库 】 = 2 1 22 2 32 2 1 232( ) ( ) 02 2 2()22x x yQ F A C Q F A C x y yx x x yyy? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 2 2 1 22 4 3 2 3 ( )( , ) , )x x x x x x yQ H x y y ? ? ? ? ? ? ?2（ 2 2 y 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2322 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2222 ( )( , ) , )3 2 3 6 3 2 22 3 ( ) 2 3 ( )11 ( , ) ( ,
12、 )6 6 6 3 2 2 2 3x x x y x x y x x x yQ G yyx x x x x y x x x x x y QHyy? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（即 =3QH QG ，故 HGQ , 三点共线，且 2:1: ?GHQG 。 二、应用举例 1、已知 PNO , 在 ABC? 所在平面内，且 ,0O A O B O C N A N B N C? ? ? ? ?，且 P A P B P B P C P C P A? ? ? ? ?，则点 PNO , 依次是 ABC? 的（ C ） A、重心 外心 垂心 B、重心 外心 内心 C、外
13、心 重心 垂心 D、外心 重心 内心 2、 O 是 ABC? 所在平面内的一点，满足 O A O B O B O C O C O A? ? ? ? ?，则点 O 是 ABC? 的 （ D ） A、 三个内角的角平分线的交点 B、 三条 边的垂直平分线的交点 C、 三条中线的交点 D、 三条高的交点 解：由 O A O B O B O C O C O A? ? ? ? ?，得 ( ) 0 ,( ) 0.OB OA OCOA OB OC? ? ? ? ? ? ,.OB CAOA BC? ? O 是 ABC? 的垂心，即三条高的交点。 3、 在同一个平面上有 ABC? 及一点 O 满足关系式：2 2
14、 2 2 2 2| | | | | | | | | | | |O A B C O B C A O C A B? ? ? ? ?， 则 O 为 ABC? 的 （ D ） A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 4、 已知 ABC? ， P 为三角形所在平面上的动点，且满足： 0P A P C P A P B P B P C? ? ? ? ? ?，则P 点 =【 ;精品教育资源文库 】 = 为 ABC? 的 （ D ） A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 5、已知 P 是 ABC? 所在平面内任意一点，且 3PA PB PC PG? ? ?，则 G 是 ABC? 的（ C ） A、外心 B、内
15、心 C、重 心 D、垂心 解：若 M 是 ABC? 的重心，则有 23P M P A A M P A A D? ? ? ?（ D 是 BC 的中点） ? 1 1 1( ) ( ) ( )3 3 3P A A B A C P A P B P A P C P A P A P B P C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 3PA PB PC PM? ? ?。 G 与 M 重合，即 G 是 ABC? 的重心。 6、 已知 ABC? 的顶点 CBA , 及平面内一点 P 满足： 0PA PB PC? ? ? ，则 P 为 ABC? 的 （ C ） A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 7、 已知
16、 O 是平面上一定点， CBA , 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足： ()OP OA AB AC? ? ?，则 P 的轨迹一定通过 ABC? 的 （ C ） A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 8、 已知 ABC? ， P 为三角形所在平面上的一点，且点 P 满足： 0a PA b PB c PC? ? ? ? ? ?，则 P点为 ABC? 的 （ B ） A、外心 B、内 心 C、重心 D、垂心 9、 在 ABC? 中，动点 P 满足： 222CA CB AB CP? ? ?，则 点一定通过 ABC? 的 （ B ） A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 10、已知 O 是平面
17、内的一个点， CBA , 是平面上不共线的三点，动点 P 满足 ( ) , 0 , )A B A CO P O A A B A C? ? ? ? ? ?，则点 P 的轨迹一定过 ABC? 的（ B ） A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 11、 已知 CBA , 是平面上不共线的三点， O 是 ABC? 的重心，动点 P 满足)22121(31 OCOBOAOP ? ， 则点 P 一定为 ABC? 的 （ B ） =【 ;精品教育资源文库 】 = A、 AB 边中线的中点 B、 AB 边中线的三等分点 （ 非重心 ） C、 重心 D、 AB 边的中点 分析：取 AB 边的中点 M ，则 2
18、OA OB OM? ，由 )22121(31 OCOBOAOP ? ， 得 3 32OP OM MC?， 23MP MC?，即点 P 为三角形中 AB 边中线的一个三等分点，且 P 不过重心 。 12、 非零向量 AB 与 AC 满足 且 ， 则 ABC? 为 （ D ） A、 三边均不相等的三角形 B、 直角三角形 C、 等腰非等边三角形 D、 等边三角形 13、 ABC? 的外接圆的圆心为 O ，两边上的高的交点为 H ， OH? ()m OA OB OC?，则实数 m? 。 解：当 ABC? 为 Rt? 时，不妨设 90C? ，则 O 是 AB 的中点， H 是直角顶点 C ， OA OB O?， O H O C O A O B O C? ? ? ?， 1m? 。 14、若 O 是 ABC? 的外心， O 是 ABC? 三边中点 FED , 构成的 DEF? 的外心，且 ()O O m O A O B O C? ? ?，则 m? 。 （其实 O 是 OH 的中点， 12m? ；也可用特例 Rt? 时得 12m? ） 15、在四边形 ABCD 中， AB =DC )1,1(? ， 1 1 3B A B C B DB A B C B D?，则四边形 ABCD 的面积是 。 解析
