1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 5 讲 简单的三角恒等变换 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考点 2 二倍角的正弦、余弦、正切公式 公式名 公式 二倍角的正弦 sin2 2sin cos 二倍角的余弦 cos2 cos2 sin2 1 2sin2 2cos2 1 二倍角的正切 tan2 2tan1 tan2 必会结论 1降幂公式： cos2 1 cos22 ， sin2 1 cos22 . 2升幂公式： 1 cos2 2cos2 ， 1 cos2 2sin2 . 3公式变形： tan tan tan( )(1?tan tan ) 4辅助角
2、公式： asinx bcosx a2 b2sin(x )， =【 ;精品教育资源文库 】 = 其中 sin ba2 b2， cos aa2 b2 . 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 ， 是任意的 ( ) (2)存在实 数 ， ，使等式 sin( ) sin sin 成立 ( ) (3)在锐角 ABC 中， sinAsinB 和 cosAcosB 大小不确定 ( ) (4)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角 ( ) (5)存在角 ，使得 sin2 2sin 成立 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4)
3、 (5) 2 2018 江西九江模拟 计算 sin12 3cos12的值为 ( ) A 0 B 2 C 2 D. 2 答案 B 解析 sin12 3cos12 2? ?12sin12 32 cos12 2sin? ?12 3 2sin? ? 4 2.故选 B. 3 2017 山东高考 已知 cosx 34，则 cos2x ( ) A 14 B.14 C 18 D.18 答案 D 解析 cos2x 2cos2x 1 2 ? ?34 2 1 18.故选 D. 4 2018 山西四校联考 已知 sin? ? 2 12， 2 0，则 cos? ? 3 的值是( ) A.12 B.23 C 12 D 1
4、 答案 C 解析 由已知得 cos 12， sin 32 ， cos? ? 3 12cos 32 sin 12. 5 2017 江苏高考 若 tan? ? 4 16，则 tan _. 答案 75 解析 解法一： tan? ? 4 tan tan 41 tan tan 4=【 ;精品教育资源文库 】 = tan 11 tan 16， 6tan 6 1 tan (tan 1)， tan 75. 解法二： tan tan? ? ? 4 4 tan? ? 4 tan 41 tan? ? 4 tan 416 11 161 75. 6 2017 全国卷 函数 f(x) 2cosx sinx 的最大值为 _
5、 答案 5 解析 f(x) 2cosx sinx 5? ?2 55 cosx 55 sinx ， 设 sin 2 55 ， cos 55 ，则 f(x) 5sin(x )， 函数 f(x) 2cosx sinx 的最大值为 5. 板块二 典例探究 考向突破 考向 三角函数的化简求值 例 1 (1)2018 衡水中学二调 3cos10 1sin170 ( ) A 4 B 2 C 2 D 4 答案 D 解析 3cos10 1sin170 3cos10 1sin10 3sin10 cos10sin10cos10 2sin?10 30 ?12sin20 2sin2012sin20 4. (2)4cos
6、50 tan40 ( ) A. 2 B. 2 32 C. 3 D 2 2 1 答案 C 解析 4cos50 tan40 4sin40cos40 sin40cos40 2sin80 sin40cos40 2sin100 sin40cos40 2sin?60 40 ? sin40cos40 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2 32 cos40 2 12sin40 sin40cos40 3. 触类旁通 三角函数式化简的常用方法 (1)异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数 (2)异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角
7、公式等实现名称的统一 (3)异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次 【变式训练 1】 (1)2018 九江模拟 化简sin235 12cos10cos80 等于 ( ) A 2 B 12 C 1 D 1 答案 C 解析 sin235 12cos10cos80 1 cos702 12cos10sin10 12cos7012sin20 1. (2)计算： tan20 4sin20 _. 答案 3 解析 原式 sin20cos20 4sin20 sin20 4sin20cos20cos20 sin20 2sin40cos20 sin?30 10 ? 2sin?30 10 ?co
8、s20 32cos10 32 sin10cos20 3? ?32 cos10 12sin10cos20 3cos?30 10 ?cos20 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 考向 三角函数的条件求 值 命题角度 1 给值求值问题 例 2 (1)2016 全国卷 若 cos? ? 4 35，则 sin2 ( ) A.725 B.15 C 15 D 725 答案 D 解析 解法一： sin2 cos? ? 2 2 cos? ?2? ? 4 2cos2? ? 4 1 2 ? ?35 2 1 725.故选 D. 解法二： cos? ? 4 22 (cos sin ) 35?cos sin 3 2
9、5 ?1 sin2 1825， sin2 725.故选 D. (2)2017 全国卷 已知 ? ?0， 2 ， tan 2，则 cos? ? 4 _. 答案 3 1010 解析 cos? ? 4 cos cos 4 sin sin 4 22 (cos sin ) 又由 ? ?0， 2 ， tan 2，知 sin 2 55 ， cos 55 ， cos? ? 4 22 ? ?55 2 55 3 1010 . 命题角度 2 给值求角问题 例 3 (1)2018 江苏徐州质检 已知 cos 17， cos( ) 1314，且 00， 00， 00)求周期； 根据自变量的范围确定 x 的范围，根据相应
10、的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值； 根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数 y Asin(x ) t 或 y Acos(x ) t 的单调区间 【变式训练 2】 已知函数 f(x) cos2x cos2? ?x 6 ， x R. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在 ? ? 3 ， 4 上的最大值和最小值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 (1)f(x) cos2x cos2? ?x 6 1 cos2x2 1 cos? ?2x 32 34 sin2x 34cos2x 1 32 sin? ?2x 3 1， 则函数 f(x)的最小正周期 T 22 . (2)函数 f(x)在
11、 ? ? 3 ， 12 上单调递增，在 ? ?12， 4 上单调递减 f? ? 3 14， f? ?12 32 1， f? ? 4 1 34 ， f(x)min 14， f(x)max 32 1. 核心规律 重视三角函数的 “ 三变 ” ： “ 三变 ” 是指 “ 变角、变名、变式 ” ；变角：对角的拆分要尽可能化成同 名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求 (或所证明 )问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形 满分策略 1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要
12、注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意 “1” 的各种变通 2.三角变换的应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为最简形式 y Asin(x )再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征 ，注意利用整体思想解决相关问题 . 板块三 启智培优 破译高考 =【 ;精品教育资源文库 】 = 规范答题系列 2 逆向思维构造辅助角公式解题 2017 北京高考 已知函数 f(x) 3cos? ?2x 3 2sinxcosx. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求证：当 x ? ? 4 ， 4 时， f(x) 12. 解题视点 (1)根据三角恒等变 换公式
13、将函数解析式化简为 “ 一角一函数 ” 的形式， (2)证明 f(x) 12时注意 x 的取值范围 解 (1)f(x) 32 cos2x 32sin2x sin2x 12sin2x 32 cos2x sin? ?2x 3 ， 所以 f(x)的最小正周期 T 22 . (2)证明：因为 4 x 4 ， 所以 6 2 x 3 56 . 所以 sin? ?2x 3 sin ? ? 6 12， 所以当 x ? ? 4 ， 4 时， f(x) 12. 答题模 板 第一步：将 f(x)化为 asinx bcosx 的形式； 第二步：构造 f(x) a2 b2? sinx aa2 b2 cosx ?ba2 b2 ； 第三步：和差公式逆用 f(x) a2 b2sin(x )(其中 为辅助角 )； 第四步：利用 f(x) a2 b2sin(x )研究三角函数的性质 ； 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范 化简时公式的准确应用是灵魂； 研究三角函数性质时注意整体思想的应用 跟踪训练 已知函数 f(x) 2sinxsin? ?x 6 . (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)当 x ? ?0， 2 时，求函数 f(x)的值域 解 (1)f(x)
