1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 1 讲 数列的概念与简单表示法 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 数列的定义 按照 一定顺序 排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 项 考点 2 数列的分类 考点 3 数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是 列表法 、 图象法 和 解析法 考点 4 数列的通项公式 如果数列 an的第 n 项与 序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 必会结论 1若数列 an的前 n 项和为 Sn，通项公式为 an， 则 an? S1， n 1，Sn Sn 1， n2. =【 ;精品教育资源文库 】 =
2、 2在数列 an中，若 an最大，则? an an 1，an an 1. 若 an最小，则? an an 1，an an 1. 3数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列 考点自测 1判断下列结论的 正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个 ( ) (2)数列： 1,0,1,0,1,0， ? ，通项公式只能是 an 1 ? 1?n 12 .( ) (3)如果数列 an的前 n 项和为 Sn，则对 ? n N*，都有 an 1 Sn 1
3、Sn.( ) (4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 课本改编 数列 1， 23， 35， 47， 59， ? 的一个通项公式 an是 ( ) A. n2n 1 B. n2n 1 C. n2n 3 D. n2n 3 答案 B 解析 由已知得，数列可写成 11， 23， 35， ? ，故该数列的一个通项公式为 n2n 1.故选 B. 3 课本改编 在数列 an中， a1 1， anan 1 an 1 ( 1)n(n2 ， n N*)，则 a3a5的值是( ) A.1516 B.158 C.34 D.38 答案 C 解析 由已知得 a
4、2 1 ( 1)2 2， 2a3 2 ( 1)3， a3 12， 12a4 12 ( 1)4， a4 3， 3a5 3 ( 1)5， a5 23， a3a5 12 32 34.故选 C. 4已知 f(1) 3， f(n 1) f?n? 12 (n N*)则 f(4) _. 答案 54 解析 由 f(1) 3，得 f(2) 2， f(3) 32， f(4) 54. 5 2018 山东师大附中月考 已知数列 an的前 n 项和 Sn n 1n 2，则 a5 a6 _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 124 解析 a5 a6 S6 S4 6 16 2 4 14 2 78 56 124. 6
5、 课本改编 在数列 an中， a1 2， an 1 an 1n?n 1?，则数列 an _. 答案 3 1n 解析 由题意，得 an 1 an 1n?n 1? 1n 1n 1， an (an an 1) (an 1 an 2) ? (a2 a1) a1 ? ?1n 1 1n ? ?1n 2 1n 1 ? ? ?12 13 ? ?1 12 2 3 1n. 板块二 典例探究 考向突破 考向 由数列的前几项求数列的通项公式 例 1 写出下面各数 列的一个通项公式： (1) 1,7， 13,19， ? ； (2)32， 1， 710， 917， ? ； (3)12， 14， 58， 1316， 293
6、2， 6164， ? ； (4)1,3,6,10,15， ? ； (5)3,33,333,3333， ?. 解 (1)符号问题可通过 ( 1)n 或 ( 1)n 1 表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对 值总比前面数的绝对值大 6，故通项公式为 an ( 1)n(6n 5) (2)将数列统一为 32， 55， 710， 917， ? ，对于分子 3,5,7,9， ? ，是序号的 2 倍加 1，可得分子的通项公式为 bn 2n 1，对于分母 2,5,10,17， ? ，联想到数列 1,4,9,16， ? ，即数列 n2，可得分母的通项公式为 cn n2 1，因此可得它的一个通项公式为
7、 an 2n 1n2 1. (3)各项的分母分别为 21,22,23,24， ? ，易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为 2 32 ，原数列可化为 21 321 ，22 322 ，23 323 ，24 324 ， ? ， 所以 an ( 1)n 2n 32n . (4)将数列改写为 122 ， 232 ， 342 ， 452 ， 562 ， ? ，因而有 an n?n 1?2 ，也可用逐差法 a2 a1 2， a3 a2 3， a4 a3 4， a5 a4 5， ? ， an an 1 n，各式累加得 an n?n 1?2 . =【 ;精品教育资源文库 】 =
8、(5)将数列各项改写为 93， 993 ， 9993 ， 99993 ， ? ，分母都是 3，而分子分别是 10 1,102 1,103 1,104 1， ? ，所以 an 13(10n 1) 触类旁通 观察法求通项公式的常用技巧 求数列的通项公式实际上是寻找数 列的第 n 项与序号 n 之间的关系，常用技巧有： (1)借助于 ( 1)n 或 ( 1)n 1 来解决项的符号问题； (2)项为分数的数列，可进行恰当的变形，寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系； (3)对较复杂的数列的通项公式的探求，可采用添项、还原、分割等方法，转化为熟知的数列，如等差数列、等比数列等来解决 考向 由
9、an与 Sn的关系求通项 an 例 2 (1)已知数列 an的前 n 项和 Sn 2n2 3n，则 an _. 答案 4n 5 解析 (1)a1 S1 2 3 1， 当 n2 时， an Sn Sn 1 (2n2 3n) 2(n 1)2 3(n 1) 4n 5， 由于 a1也适合此等式， an 4n 5. (2)设 Sn为数列 an的前 n 项的和，且 Sn 32(an 1)(n N*)，则 an _. 答案 3n 解析 当 n2 时， an Sn Sn 1 32(an 1) 32(an 1 1)，整理，得 an 3an 1，即 anan 1 3，又 a1 3， 数列 an是以 3 为首项，
10、3 为公比的等比数列， an 3n. (3)已知数列 an，满足 a1 2a2 3a3 ? nan 2n，则 an _. 答案 ? 2， n 1，2n 1n ， n2解析 当 n 1 时，由已知，可得 a1 21 2， 当 n2 时， a1 2a2 3a3 ? nan 2n， 故 a1 2a2 3a3 ? (n 1)an 1 2n 1， 由 得 nan 2n 2n 1 2n 1， an 2n 1n . 显然 n 1 时不满足上式， an? 2， n 1，2n 1n ， n2.触类旁通 给出 Sn与 an的递推关系，求 an的常用思路：一是利用 Sn Sn 1 an(n2) 转化为 an的递推关
11、系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出 Sn与 n 之间的关系，再求 an. =【 ;精品教育资源文库 】 = 【变式训练】 (1)已知数列 an的前 n 项和 Sn 3n 1，则 an _. 答案 ? 4， n 1，23 n 1， n2 解析 当 n 1 时， a1 S1 3 1 4； 当 n2 时， an Sn Sn 1 (3n 1) (3n 1 1) 23 n 1. 当 n 1 时， 23 1 1 2 a1， 所以 an? 4， n 1，23 n 1， n2. (2)2018 广州模拟 设数列 an满足 a1 3a2 32a3 ? 3n 1an n3，则 an _. 答案
12、 13n 解析 因为 a1 3a2 32a3 ? 3n 1an n3， 则当 n2 时， a1 3a2 32a3 ? 3n 2an 1 n 13 ， 得 3n 1an 13， 所以 an 13n(n2) 由题意知 a1 13，符合上式，所以 an 13n. (3)已知数列 an的前 n 项和为 Sn， a1 1， Sn 2an 1，则 Sn _. 答案 ? ?32 n 1 解析 由已 知 Sn 2an 1，得 Sn 2(Sn 1 Sn)， 即 2Sn 1 3Sn， Sn 1Sn 32，而 S1 a1 1， 所以 Sn ? ?32 n 1. 考向 由递推公式求数列的通项公式 命题角度 1 形如
13、an 1 anf(n)，求 an 例 3 在数列 an中， a1 4， nan 1 (n 2)an，求数列 an的通项公式 解 由递推关系得 an 1an n 2n ， 又 a1 4， =【 ;精品教育资源文库 】 = an anan 1 an 1an 2? a3a2 a2a1 a1 n 1n 1 nn 2 n 1n 3? 42 314 ?n 1? n21 4 2n(n 1)(n N*) 命题角度 2 形如 an 1 an f(n)，求 an 例 4 (1)2015 江苏高考 设数列 an满足 a1 1，且 an 1 an n 1(n N*)，求数列 ? ?1an前 10 项的和 解 由题意可
14、得， an a1 (a2 a1) (a3 a2) ? (an an 1) 1 2 3 ? nn?n 1?2 ，则1an2n?n 1? 2?1n1n 1 ，数列 ?1an的前 10 项的和为 1a1 1a2 ? 1a102? ?1 12 12 13 ? 110 111 2011. (2)若数列 an满足： a1 1， an 1 an 2n，求数列 an的通项公式 解 由题意知 an 1 an 2n， an (an an 1) (an 1 an 2) ? (a2 a1) a1 2n 1 2n 2 ? 2 1 1 2n1 2 2n1. 命题角度 3 形如 an 1 Aan B(A0 且 A1) ，求
15、 an 例 5 已知数列 an中， a1 1， an 1 2an 3，求 an. 解 设递推公式 an 1 2an 3 可以转化为 an 1 t 2(an t)，即 an 1 2an t，解得 t 3. 故递推公式为 an 1 3 2(an 3) 令 bn an 3，则 b1 a1 3 4，且 bn 1bn an 1 3an 3 2. 所以 bn是以 b1 4 为首项， 2 为公比的等比数列 所以 bn 42 n 1 2n 1，即 an 2n 1 3. 命题角度 4 形如 an 1 AanBan C(A， B， C 为常数 )，求 an 例 6 已知数列 an中， a1 1， an 1 2anan 2，求数列 an的通项公式 解 an 1 2anan 2， a1 1， an0 ， 1an 1 1an 12，即 1an 1 1an 12，又 a1 1，则 1a1 1， ? ?1an是以 1 为首项， 12为公差的等差数列， 1an
