1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 讲 等比数列及其前 n 项和 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 等比数列的有关概念 1定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于 同一常数 (不为零 )，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的 公比 ，通常用字母 q 表示，定义的表达式为an 1an q. 2等比中项 如果 a， G， b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项即： G 是 a 与 b 的等比中项?a， G， b 成等比数列 ?G2 ab(ab0) 考点 2 等比数列的有关公式 1通项公式： an a1qn 1. 2前 n 项和公式
2、： Sn? na1， q 1，a1?1 qn?1 q a1 anq1 q ， q1.必会结论 等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广： an am qn m(n， m N*) (2)若 m n p q 2k(m， n， p， q， k N*)，则 am an ap aq a2k. (3)若数列 an， bn(项数相同 )是等比数列，则 a n， ? ?1an， a2n， an bn， ? ?anbn( 0)仍然是等比数列 (4)在等比数列 an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an， an k， an 2k， an 3k， ? 为等比数列，公比为 qk. (5)公比不为 1 的等比
3、数列 an的前 n 项和为 Sn，则 Sn， S2n Sn， S3n S2n仍成等比数列，其公比为 qn. (6)等比数列 an满足? a10，q1 或 ? a10，01 时， an是递减数列 考点自测 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一 项的比都是常数，则这个数列是等比数列 ( ) (2)满足 an 1 qan(n N*， q 为常数 )的数列 an为等比数列 ( ) (3)G 为 a， b 的等比中项 ?G2 ab.( ) (4)如果 an为等比数列， bn a2n 1 a2n，则数列
4、 bn也是等比数列 ( ) (5)如果数列 an为等比数列，则数列 ln an是等差数列 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2 2018 河南名校联考 在各项均为正数的等比数列 an中， a1 3， a9 a2a3a4，则公比 q 的值为 ( ) A. 2 B. 3 C 2 D 3 答案 D 解析 由 a9 a2a3a4得 a1q8 a31q6，所以 q2 a21，因为等比数列 an的各项都为正数，所以 q a1 3.故选 D. 3 课本改编 等比数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 S3 a2 10a1， a5 9，则 a1 ( ) A.13 B 13 C.19 D 1
5、9 答案 C 解析 由已知条件及 S3 a1 a2 a3，得 a3 9a1，设数列 an的公比为 q，则 q2 9. 所以 a5 9 a1 q4 81a1，得 a1 19.故选 C. 4 2018 黄冈调研 设等比数列 an中，公比 q 2，前 n 项和为 Sn，则 S4a3的值 ( ) A.154 B.152 C.74 D.72 答案 A 解析 根据等比数列的公式，得 S4a3a1?1 q4?1 qa1q2 1 q4?1 q?q21 24?1 2?2 2154. 5 2015 全国卷 在数列 an中， a1 2， an 1 2an， Sn为 an的前 n 项和若 Sn 126，则 n _.
6、答案 6 解析 a1 2， an 1 2an， 数列 an是首项为 2，公比为 2 的等比数列 又 Sn 126， 2?1 2n?1 2 126， n 6. 6 2018 衡中检测 在等比数列 an中，若 a4 a2 6， a5 a1 15，则 a3 _. 答案 4 或 4 解析 设等比数列 an的公比为 q(q0) ，则 =【 ;精品教育资源文库 】 = ? a1q3 a1q 6，a1q4 a1 15， 两式相除，得q1 q225，即 2q2 5q 2 0，解得 q 2 或 q 12. 所以? a1 1，q 2 或 ? a1 16，q 12. 故 a3 4 或 a3 4. 板块二 典例探究
7、考向突破 考向 等比数列的基本运算 例 1 (1)2017 全国卷 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题： “ 远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ” 意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯 ( ) A 1 盏 B 3 盏 C 5 盏 D 9 盏 答案 B 解析 设塔的顶层的 灯数为 a1，七层塔的总灯数为 S7，公比为 q，则由题意知 S7 381，q 2， S7 a1?1 q7?1 q a1?1 27?1 2 381，解得 a1 3.故选 B. (2)2017 江苏高考 等比数列 an的各项
8、均为实数，其前 n 项和为 Sn.已知 S3 74， S6 634 ，则 a8 _. 答案 32 解析 设 an的首项为 a1，公比为 q， 则? a1?1 q3?1 q 74，a1?1 q6?1 q 634 ，两式相除得 1 q31 q61 q3?1 q3?1 q3?19， 解得? a114，q 2，所以 a8 142 7 25 32. 触类旁通 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量 a1， n， q， an，Sn，一般可以 “ 知三求二 ” ，通 过列方程 (组 )所求问题可迎刃而解解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于
9、运用整体代换思想简化运算的过程 =【 ;精品教育资源文库 】 = 【变式训练 1】 (1)2018 东北师大附中月考 已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn， a1 a3 52，且 a2 a4 54，则 Snan ( ) A 4n 1 B 4n 1 C 2n 1 D 2n 1 答案 D 解析 设等比数列的公比为 q，由题意， 得? a1?1 q2? 52，a1q?1 q2? 54，解得? a1 2，q 12， 则 an a1 ? ?12 n 1 a12n 1， Sna1? ?1 ? ?12 n1 12 a1?2n 1?2n 1 ，所以Snan 2n 1.故选 D. (2)2018 安徽皖江名
10、校联考 已知 Sn是各项均为正数的等比数列 an的前 n 项和，若a2 a4 16， S3 7，则 a8 _. 答案 128 解析 a2 a4 a23 16， a3 4(负值舍去 )， a3 a1q2 4， S3 7， q1 ， S2 a1?1 q2?1 q 4q2?1 q?1 q?1 q 3， 3q2 4q 4 0，解得 q 23或 q 2， an0， q 23舍去， q 2， a1 1， a8 27 128. =【 ;精品教育资源文库 】 = 考向 等比数列的性质 命题角度 1 等比数列性质的应用 例 2 (1)已知各项均为正数的等比数列 an中， a1a2a3 5， a7a8a9 10，
11、则 a4a5a6( ) A 5 2 B 7 C 6 D 4 2 答案 A 解析 (a1a2a3)( a7a8a9) a65 50， a4a5a6 a35 5 2.选 A. (2)等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 an0， q1， a3 a5 20， a2a6 64，则 S5 _. 答案 31 解析 a3a5 a2a6 64，因为 a3 a5 20，所以 a3和 a5为方程 x2 20x 64 0 的两根，因为 an0， q1，所以 a30 的思维定式的影响，遗漏当 q0 时， S3 1 q 1q1 2 q 1q 3，当且仅当 q 1 时，等号成立； 当公比 q0 时，数列中的各项符号相
12、同；用等比数列前 n 项 和公式时，如果其公比q 不确定，要分 q 1 和 q1 两种情况进行讨论 . 跟踪训练 已知 an为等比数列， a4 a7 2， a5a6 8，则 a1 a10 ( ) A 7 B 5 C 5 D 7 答案 D 解析 由已知得? a4 a7 2，a5a6 a4a7 8， 解得? a4 4，a7 2 或 ? a4 2，a7 4. 当 a4 4， a7 2 时，易得 a1 8， a10 1， 从而 a1 a10 7； 当 a4 2， a7 4 时，易得 a10 8， a1 1， 从而 a1 a10 7. =【 ;精品教育资源文库 】 = 板块四 模拟演练 提能增分 A 级
13、 基础达标 1在等比数列 an中， Sn表示前 n 项和，若 a3 2S2 1， a4 2S3 1，则公比 q 等于 ( ) A 3 B 3 C 1 D 1 答案 A 解析 两等式相减得 a4 a3 2a3，从而求得 a4a3 3 q.故选 A. 2已知等比数列 an满足 a1 14， a3a5 4(a4 1)，则 a2 ( ) A 2 B 1 C.12 D.18 答案 C 解析 设等比数列 an的公比为 q， a1 14， a3a5 4(a4 1)，由题可知 q1 ，则 a1q2 a1q4 4(a1q3 1)， 116 q6 4? ?14 q3 1 ， q6 16q3 64 0， (q3 8
14、)2 0， q3 8， q 2， a2 12.故选 C. 3 2018 江西九江一模 已知单调递增的等比数列 an中， a2 a6 16， a3 a5 10，则数列 an的前 n 项和 Sn ( ) A 2n 2 14 B 2n 1 12 C 2n 1 D 2n 1 2 答案 B 解析 因为 a2 a6 16，所以 a3 a5 16，又 a3 a5 10，等比数列 an单调递增，所以 a3 2， a5 8，所以公比 q 2， a1 12，所以 Sn12?1 2n?1 2 2n 1 12.故选 B. 4 2018 延庆模拟 等差数列 an的公差为 2，若 a2， a4， a8成等比数列，则 an
15、的前n 项和 Sn ( ) A n(n 1) B n(n 1) C.n?n 1?2 D.n?n 1?2 答案 A 解析 a2， a4， a8成等比数列， a24 a2 a8，即 (a1 3d)2 (a1 d)(a1 7d)， 将 d 2 代入上式，解得 a1 2， Sn 2n n?n 1?22 n(n 1)故选 A. 5 2015 全国卷 已知等比数列 an满足 a1 3， a1 a3 a5 21，则 a3 a5 a7( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 21 B 42 C 63 D 84 答案 B 解析 设等比数列 an的公比为 q，则 a1(1 q2 q4) 21，又 a1 3，所以 q4 q2 6 0，所以 q2 2(q2 3 舍去 )，所以 a3 6， a5 12， a7 24，所以 a3 a5 a7 42.故选 B.
