1、第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算【考点分类】考点一 空间向量及其加减运算1、 空间向量的有关概念（1） 定义：在空间中，我们把既有大小又有方向的量称为空间向量（2） 长度：向量的大小叫作向量的长度或模。（3）表示方法：几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为|字母表示法：可以用字母a，b，c，表示，模为|a|，|b|，|c|，2、 几类特殊的向量： (1)零向量：长度为0的向量称为零向量，记作0(2)单位向量：模长为1的向量称为单位向量(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量(4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向
2、量(5)平行（共线）向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合通常规定零向量与任意向量平行(6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面3、空间向量的线性运算加法：ab减法：ab数乘：给定一个实数与任意一个空间向量a，则实数与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作a其中：当0且a0时，a的模为|a|，而且a的方向：()当0时，与a的方向相同；()当0时，与a的方向相反当0或a0时，a0 运算律：aa()a；(ab)ab考点二 共线向量和共面向量1、 共线向量（1） 定义：若表
3、示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量。（2）共线向量定理：对于空间中任意的两个向量a，b，ab充要条件是存在实数，使a=b.此定理可分解为以下两个命题： ab（b0）存在唯一实数，使得a=b； 存在唯一实数，使得a=b（b0），则ab 注意: b0不可丢掉，否则实数就不唯一（2）2、 共面向量 （1）定义：通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 （注意：空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了）（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在唯一的有序 实数对（），使推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有
4、序实数对，使 或对空间任一点，有，上式叫做平面的向量表达式考点三 空间向量的数量积1、 空间向量的夹角（1） 定义：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作a，b，则叫做向量a，b的夹角，记作。（2） 范围：02、 空间向量的数量积（1） 定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab注意：ab中的圆点是数量积运算的符号，不能省略，也不能用“”代替。（2） 数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律：（a）b=（ab） 交换律：ab=ba分配律：a（b+c）=ab+ac（3） 数量积的性质 垂直：若a，b是非零向量，则abab=0 共线：同向：ab=；
5、反向：ab=- 模：；夹角：为a，b的夹角，则典型例题类型一 概念的辨析例1、下列命题中正确的是_（填序号）单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形ABCD是平行四边形的充要条件是；模为0是一个向量方向不确定的充要条件。例2、 有下列命题： 若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量。其中正确的命题个数是（ ）A.0 B.1 C.2 D.3辨析跟踪【变式1】在下列命题中：若向量共线，则所在的直线
6、平行；若向量所在的直线是异面直线，则一定不共面；若三个向量两两共面，则三个向量一定也共面；已知三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为.其中正确命题的个数为（ ）A0B1C2D3【变式2】给出下列命题 将空间中所有的单位向量移到同一个点作为起点，则它们的终点构成一个圆；若空间向量a，b满足，则a=b；若空间向量m，n，p满足m=n，n=p则m=p；空间中任意两个单位向量必相等；零向量没有方向。其中假命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【变式3】下列命题中正确的是（ ）A. 若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B. 向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面C. 若两个非零空间
7、向量与满足,则D. 若ab，则存在唯一的实数，使a=b类型二 空间向量的线性运算例3、（多选题）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为的有（ ） 例4、在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中：（1） 化简;（2） 化简例5、在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（ ）ABCD辨析跟踪【变式1】在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F分别是AC，A1C1的中点：（1） 写出与向量相反的向量；（2） 写出与向量平行的向量；（3） 写出与向量相等的向量。【变式2】如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则+（-）等于（ ）A B C
8、 D【变式3】在空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是（ ） 类型三 共线、共面向量定理的运用例6、 已知正四棱锥P-ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值。（1） ;（2） .例7、 如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE。求证：向量共面。例8、 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且满足,点F在对角线A1C上，且满足.求证：E,F,B三点共线。辨析跟踪【变式1】在四棱锥P-ABCD中，底面AB
9、CD为正方形，E是PD的中点，若a，b，c，则( )A. a-b+c B.a-b-c C.a-b+c D.a-b+c【变式2】在棱长为1的正方体中，分别在棱上，且满足，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则A.B.C.D.【变式3】若点P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且,点G在AH上，且。若G，B，P，D四点共面，求m的值。【变式4】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M是AD1的中点，N是BD的中点，判断与是否共线。类型四 空间向量的数量积例9、已知平行六面体ABCDABCD中，AB4，AD3，AA5，BAD90，BAADAA60.（1）求AC的长（2）求与的夹
10、角的余弦值例10、已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则的值为（ ）A. -1 B.0 C.1 D.2例11、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC所成的角.例12、在直二面角的棱上有两点A、B，AC和BD各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱AB，设AB=8cm，AC=6cm，BD=24cm，求CD的长。辨析跟踪【变式1】在棱长为1的正四面体A-BCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则等于（ ） A.0 B. C. D.【变式2】已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点。求向量
11、与向量所成角的余弦值。【变式3】如图所示，在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，OAC=45，OAB=60，求异面直线OA与BC所成角的余弦值。【变式4】如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点。（1）求证：MN为AB和CD的公垂线；（2）求MN的长；（3）求异面直线AN与MC所成角的余弦值。课后练习1.已知四边形ABCD中，O为空间任意一点，且,则四边形ABCD是（ ）A. 平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形2.若空间四边形OABC的四个面均为等边三角形，则的值为 A. B. C. D. 03.如果向
12、量满足,则（ ） A. B. C.与同向 D.与同向4.给出下列几个命题：向量，共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的；若，则存在唯一的实数，使其中真命题的个数为 A. 0B. 1C. 2D. 35.若平面的法向量为，直线l的方向向量为，直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是（ ）A. B. C. D.6.（多选）已知为正方体，下列说法中正确的是ABC向量与向量的夹角是D正方体的体积为7. 已知a+b+c=0，则向量a与b之间的夹角为（ ）A. B. C. D.以上都不对8. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，,则x+y+z=_。9. 在长方体A
13、BCD-A1B1C1D1中，化简向量表达式的结果是_.10.给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量，满足，则；在正方体中，必有；若空间向量，满足，则其中不正确的命题的序号为_11.已知，则 _。12.已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数，m，n，使，那么+m+n的值为_.13.已知正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使，则=_.14.如图所示，在正六棱柱中 化简，并在图中标出表示化简结果的向量化简，并在图中标出表示化简结果的向量15.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F，G分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积：（1）；（2）；（3）；（4）16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于600，M是PC的中点，设（1）试用表示出向量；（2）求的长
